角度測量兩條線之間的旋轉或轉動。想像一下開門或轉動輪子。以度 (°)、弧度 (rad) 或梯度為單位測量。360° = 完整圓周 = 一次完整旋轉。

• 角度 = 旋轉量
• 完整圓周 = 360° = 2π rad
• 直角 = 90° = π/2 rad
• 直線 = 180° = π rad

度：將圓周分為 360 份（歷史原因）。弧度：基於圓的半徑。2π 弧度 = 360°。弧度在數學/物理學中是「自然」的。π rad = 180°，所以 1 rad ≈ 57.3°。

• 360° = 2π rad (完整圓周)
• 180° = π rad (半圓)
• 90° = π/2 rad (直角)
• 1 rad ≈ 57.2958° (轉換)

梯度：100 grad = 90° (公制角度)。角分/角秒：度的細分單位（天文學）。密位：軍事導航（6400 密位 = 圓周）。每種單位都有特定應用。

• 梯度：400 grad = 圓周
• 角分：1′ = 1/60°
• 角秒：1″ = 1/3600°
• 密位 (NATO)：6400 mil = 圓周

每圈 360°（源於巴比倫 - 約 360 天/年）。細分：1° = 60′ (角分) = 3600″ (角秒)。普遍用於導航、測量和日常使用。

• 360° = 完整圓周
• 1° = 60 角分 (′)
• 1′ = 60 角秒 (″)
• 對人類友好，具歷史性

弧度：弧長 = 半徑。2π rad = 圓周長/半徑。是微積分（sin, cos 導數）的自然單位。物理學、工程學標準。π rad = 180°。

• 2π rad = 360° (精確值)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• 數學/物理學的自然單位

梯度：400 grad = 圓周（公制角度）。100 grad = 直角。密位：軍事導航 - 北約使用 6400 密位。蘇聯使用 6000。存在不同標準。

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (直角)
• 密位 (NATO)：每圈 6400
• 密位 (USSR)：每圈 6000

rad = deg × π/180。deg = rad × 180/π。grad = deg × 10/9。在微積分中務必使用弧度！三角函數的導數需要弧度。

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• 微積分需要弧度

sin, cos, tan 將角度與比率聯繫起來。單位圓：半徑=1，角度=θ。點坐標：(cos θ, sin θ)。對物理學、工程學、圖形學至關重要。

• sin θ = 對邊/斜邊
• cos θ = 鄰邊/斜邊
• tan θ = 對邊/鄰邊
• 單位圓：(cos θ, sin θ)

角度正常加減。45° + 45° = 90°。完整旋轉：加/減 360° (或 2π)。使用模運算進行循環計算：370° = 10°。

• θ₁ + θ₂ (正常加法)
• 循環：θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• 負角度：-90° = 270°

羅盤方位：0°=北，90°=東，180°=南，270°=西。軍事上使用密位以求精確。羅盤有 32 個方位點（每個 11.25°）。GPS 使用十進制度數。

• 方位：從北方起 0-360°
• 北約密位：每圈 6400
• 羅盤方位點：32 個 (每個 11.25°)
• GPS：十進制度數

恆星位置：角秒級精度。視差：毫角秒。哈勃望遠鏡：約 50 mas 解析度。蓋亞衛星：微角秒級精度。時角：24h = 360°。

• 角秒：恆星位置
• 毫角秒：視差、VLBI
• 微角秒：蓋亞衛星
• 時角：15°/小時

坡度：百分比等級或角度。10% 等級 ≈ 5.7°。道路設計使用百分比。測量使用度/分/秒。公制國家使用梯度系統。

• 坡度：% 或度
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• 測量：DMS (度-分-秒)
• 梯度：公制測量

rad = deg × π/180。deg = rad × 180/π。快速法：180° = π rad，所以用此比例進行乘除。

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (精確值)
• 2π rad = 360° (精確值)

角度 = arctan(坡度/100)。10% 坡度 = arctan(0.1) ≈ 5.71°。反向：坡度 = tan(角度) × 100。

• θ = arctan(坡度等級/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• 陡峭：100% = 45°

1° = 60′ (角分)。1′ = 60″ (角秒)。總計：1° = 3600″。用於精確計算的快速細分。

• 1° = 60 角分
• 1′ = 60 角秒
• 1° = 3600 角秒
• DMS：度-分-秒

道路坡度為 8%。角度是多少？

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°。相對平緩的坡度！

以 135° 方位航行。這是哪個羅盤方向？

0°=北，90°=東，180°=南，270°=西。135° 介於東 (90°) 和南 (180°) 之間。方向：東南 (SE)。

一顆恆星移動了 0.5 角秒。這等於多少度？

1″ = 1/3600°。所以 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°。極微小的移動！

巴比倫人使用 60 進位制（六十進制）系統。360 有很多因數（24 個！）。約等於一年 360 天。方便於天文學和計時。它也能被 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... 整除。

弧度由弧長 = 半徑定義。這使得微積分變得優美：d/dx(sin x) = cos x（僅在弧度中成立！）。在度數中，d/dx(sin x) = (π/180)cos x（很亂）。大自然「使用」弧度！

公制角度：100 grad = 直角。在法國大革命期間隨公制系統一起嘗試推行。從未流行——度數太根深蒂固。在某些測量領域仍在使用（瑞士、北歐）。計算機上有 'grad' 模式！

1 毫角秒 ≈ 從 10 公里外看一根人類頭髮的寬度！哈勃太空望遠鏡可以分辨約 50 mas。天文學的驚人精度。用於測量恆星視差、雙星。

軍用密位：1 密位 ≈ 1 公里距離處的 1 米寬度（北約：1.02 米，足夠接近）。便於心算估計距離。不同國家使用不同的密位（每圈 6000、6300、6400）。實用的彈道學單位！

90 = 360/4（四分之一轉）。但「直」來自拉丁語 'rectus' = 挺直、筆直。直角構成垂直線。對建築至關重要——建築物需要直角才能站立！

巴比倫人使用六十進制（以 60 為基數）數字系統進行天文學和計時。他們將圓周分為 360 份，因為 360 ≈ 一年的天數（實際上是 365.25 天），而且 360 有 24 個因數——對於分數計算非常方便。

這個以 60 為基數的系統至今仍然存在：每分鐘 60 秒，每小時和每度 60 分。數字 360 的因式分解為 2³ × 3² × 5，可被 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 整除——簡直是計算機的夢想！

• 西元前 2000 年：巴比倫天文學家以度為單位追蹤天體位置
• 選擇 360° 是因為其可除性和對年份的近似
• 60 進位制給我們帶來了小時（24 = 360/15）和分/秒
• 希臘天文學家從巴比倫的星表中採用了 360°

歐幾里得的《幾何原本》（西元前 300 年）正式化了角度幾何學——直角 (90°)、餘角（和為 90°）、補角（和為 180°）。像喜帕恰斯這樣的希臘數學家使用以度為基礎的表格創建了三角學，用於天文學和測量。

中世紀的航海家使用星盤和帶有 32 個方位點（每個 11.25°）的羅盤。海員需要精確的方位；角分 (1/60°) 和角秒 (1/3600°) 應運而生，用於星表和航海圖。

• 西元前 300 年：歐幾里得的《幾何原本》定義了幾何角度
• 西元前 150 年：喜帕恰斯創建了第一批三角函數表（度）
• 1200 年代：星盤使用度數標記進行天體導航
• 1569 年：麥卡托地圖投影需要保持角度不變的數學

當牛頓和萊布尼茲發展微積分時（1670 年代），度數變得麻煩：以度計算 d/dx(sin x) = (π/180)cos x——一個醜陋的常數！羅傑·科茨 (1682-1716) 和萊昂哈德·歐拉正式化了弧度：角度 = 弧長 / 半徑。現在 d/dx(sin x) = cos x，非常優美。

詹姆斯·湯姆森在 1873 年創造了「弧度」(radian) 一詞（源自拉丁語 'radius'）。弧度成為了數學分析、物理學和工程學的標準單位。然而，度數在日常生活中仍然存在，因為人們更喜歡整數而不是 π。

• 1670 年代：微積分揭示度數會產生混亂的公式
• 1714 年：羅傑·科茨發展了「圓測量」（弧度的前身）
• 1748 年：歐拉在分析中廣泛使用弧度
• 1873 年：湯姆森將其命名為「弧度」；成為數學標準

第一次世界大戰的炮兵需要實用的角度單位：密位誕生了——1 密位 ≈ 1 公里距離處 1 米的偏差。北約標準化為 6400 密位/圈（一個很好的 2 的冪），而蘇聯使用 6000（便於十進制計算）。真正的毫弧度 = 6283/圈。

太空時代的天文學達到了毫角秒的精度（依巴谷衛星，1989 年），然後是微角秒（蓋亞衛星，2013 年）。蓋亞衛星測量恆星視差的精度為 20 微角秒——相當於從 1000 公里外看到一根人類頭髮！現代物理學普遍使用弧度；只有導航和建築仍然偏愛度數。

• 1916 年：軍事炮兵採用密位進行距離計算
• 1960 年：國際單位制 (SI) 承認弧度為相干導出單位
• 1989 年：依巴谷衛星：約 1 毫角秒精度
• 2013 年：蓋亞衛星：20 微角秒精度——繪製 10 億顆恆星的地圖

使用度：日常角度、導航、測量、建築。使用弧度：微積分、物理方程、程式設計（三角函數）。弧度是「自然」的，因為弧長 = 半徑 × 角度。像 d/dx(sin x) = cos x 這樣的導數僅在弧度中成立！

圓周長 = 2πr。半圓（直線）= πr。弧度的定義是弧長/半徑。對於半圓：弧長 = πr，半徑 = r，所以角度 = πr/r = π 弧度。因此，根據定義，π rad = 180°。

使用反正切：角度 = arctan(坡度等級/100)。範例：10% 坡度 = arctan(0.1) ≈ 5.71°。不僅僅是相乘！10% ≠ 10°。反向：坡度等級 = tan(角度) × 100。45° = tan(45°) × 100 = 100% 坡度。

角分 (′) = 1/60 度（角度）。時間分鐘 = 1/60 小時（時間）。完全不同！在天文學中，「時間分鐘」可轉換為角度：1 分鐘 = 15 角分（因為 24h = 360°，所以 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′）。

密位的設計是為了讓 1 密位 ≈ 1 公里處的 1 米（實用彈道學）。真正的數學毫弧度 = 1/1000 rad ≈ 每圈 6283。北約簡化為 6400（2 的冪，便於劃分）。蘇聯使用 6000（可被 10 整除）。瑞典使用 6300（折衷方案）。所有這些都接近 2π×1000。

是的！正數 = 逆時針（數學慣例）。負數 = 順時針。-90° = 270°（相同位置，不同方向）。在導航中，使用 0-360° 範圍。在數學/物理學中，負角度很常見。範例：-π/2 = -90° = 270°。