Góc đo lường sự quay hoặc sự xoay giữa hai đường thẳng. Hãy nghĩ đến việc mở một cánh cửa hoặc quay một bánh xe. Được đo bằng độ (°), radian (rad), hoặc gradian. 360° = một vòng tròn đầy đủ = một vòng quay hoàn chỉnh.

• Góc = lượng quay
• Vòng tròn đầy đủ = 360° = 2π rad
• Góc vuông = 90° = π/2 rad
• Đường thẳng = 180° = π rad

Độ: vòng tròn được chia thành 360 phần (lịch sử). Radian: dựa trên bán kính của vòng tròn. 2π radian = 360°. Radian là 'tự nhiên' cho toán học/vật lý. π rad = 180°, vì vậy 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (vòng tròn đầy đủ)
• 180° = π rad (nửa vòng tròn)
• 90° = π/2 rad (góc vuông)
• 1 rad ≈ 57.2958° (chuyển đổi)

Gradian: 100 grad = 90° (góc hệ mét). Phút cung/giây cung: các đơn vị nhỏ hơn của độ (thiên văn học). Mil: hàng hải quân sự (6400 mils = vòng tròn). Mỗi đơn vị dành cho một ứng dụng cụ thể.

• Gradian: 400 grad = vòng tròn
• Phút cung: 1′ = 1/60°
• Giây cung: 1″ = 1/3600°
• Mil (NATO): 6400 mil = vòng tròn

360° mỗi vòng tròn (nguồn gốc từ Babylon - ~360 ngày/năm). Được chia nhỏ: 1° = 60′ (phút cung) = 3600″ (giây cung). Phổ biến cho hàng hải, khảo sát, sử dụng hàng ngày.

• 360° = vòng tròn đầy đủ
• 1° = 60 phút cung (′)
• 1′ = 60 giây cung (″)
• Dễ cho con người, mang tính lịch sử

Radian: độ dài cung = bán kính. 2π rad = chu vi vòng tròn/bán kính. Tự nhiên cho giải tích (đạo hàm sin, cos). Tiêu chuẩn trong vật lý, kỹ thuật. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (chính xác)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Tự nhiên cho toán học/vật lý

Gradian: 400 grad = vòng tròn (góc hệ mét). 100 grad = góc vuông. Mil: hàng hải quân sự - NATO sử dụng 6400 mil. Liên Xô sử dụng 6000. Có các tiêu chuẩn khác nhau.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (góc vuông)
• Mil (NATO): 6400 mỗi vòng tròn
• Mil (USSR): 6000 mỗi vòng tròn

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Luôn sử dụng radian trong giải tích! Các hàm lượng giác cần radian cho các đạo hàm.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Giải tích yêu cầu radian

sin, cos, tan liên hệ các góc với các tỷ số. Vòng tròn đơn vị: bán kính=1, góc=θ. Tọa độ điểm: (cos θ, sin θ). Cần thiết cho vật lý, kỹ thuật, đồ họa.

• sin θ = cạnh đối/cạnh huyền
• cos θ = cạnh kề/cạnh huyền
• tan θ = cạnh đối/cạnh kề
• Vòng tròn đơn vị: (cos θ, sin θ)

Các góc cộng/trừ bình thường. 45° + 45° = 90°. Vòng quay hoàn chỉnh: cộng/trừ 360° (hoặc 2π). Phép toán modulo để quay vòng: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (phép cộng bình thường)
• Quay vòng: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Góc âm: -90° = 270°

Phương vị la bàn: 0°=Bắc, 90°=Đông, 180°=Nam, 270°=Tây. Quân sự sử dụng mil để có độ chính xác. La bàn có 32 điểm (mỗi điểm 11.25°). GPS sử dụng độ thập phân.

• Phương vị: 0-360° từ hướng Bắc
• Mil NATO: 6400 mỗi vòng tròn
• Điểm la bàn: 32 (mỗi điểm 11.25°)
• GPS: độ thập phân

Vị trí các ngôi sao: độ chính xác đến giây cung. Thị sai: mili giây cung. Kính viễn vọng Hubble: độ phân giải ~50 mas. Vệ tinh Gaia: độ chính xác micro giây cung. Góc giờ: 24h = 360°.

• Giây cung: vị trí các ngôi sao
• Mili giây cung: thị sai, VLBI
• Micro giây cung: vệ tinh Gaia
• Góc giờ: 15°/giờ

Độ dốc: phần trăm hoặc góc. Độ dốc 10% ≈ 5.7°. Thiết kế đường sử dụng phần trăm. Khảo sát sử dụng độ/phút/giây. Hệ thống gradian cho các nước theo hệ mét.

• Độ dốc: % hoặc độ
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Khảo sát: DMS (độ-phút-giây)
• Gradian: khảo sát hệ mét

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Nhanh: 180° = π rad, vì vậy hãy chia/nhân với tỷ lệ này.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (chính xác)
• 2π rad = 360° (chính xác)

góc = arctan(độ dốc/100). Độ dốc 10% = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Ngược lại: độ dốc = tan(góc) × 100.

• θ = arctan(độ dốc/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Dốc: 100% = 45°

1° = 60′ (phút cung). 1′ = 60″ (giây cung). Tổng: 1° = 3600″. Phân chia nhanh để có độ chính xác.

• 1° = 60 phút cung
• 1′ = 60 giây cung
• 1° = 3600 giây cung
• DMS: độ-phút-giây

Đường có độ dốc 8%. Góc là bao nhiêu?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Một độ dốc tương đối thoai thoải!

Đi theo phương vị 135°. Đó là hướng la bàn nào?

0°=B, 90°=Đ, 180°=N, 270°=T. 135° nằm giữa Đ (90°) và N (180°). Hướng: Đông Nam (SE).

Một ngôi sao đã di chuyển 0.5 giây cung. Bằng bao nhiêu độ?

1″ = 1/3600°. Vì vậy 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Một sự di chuyển rất nhỏ!

Người Babylon sử dụng hệ cơ số 60 (sexagesimal). 360 có nhiều ước số (24 ước!). Gần bằng 360 ngày trong một năm. Thuận tiện cho thiên văn học và đo thời gian. Nó cũng chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radian được định nghĩa bởi độ dài cung = bán kính. Điều này làm cho giải tích trở nên đẹp đẽ: d/dx(sin x) = cos x (chỉ trong radian!). Ở độ, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (lộn xộn). Tự nhiên 'sử dụng' radian!

Góc hệ mét: 100 grad = góc vuông. Được thử nghiệm trong Cách mạng Pháp với hệ mét. Không bao giờ phổ biến—độ đã quá ăn sâu. Vẫn được sử dụng trong một số lĩnh vực khảo sát (Thụy Sĩ, Bắc Âu). Máy tính có chế độ 'grad'!

1 mili giây cung ≈ chiều rộng của một sợi tóc người nhìn từ khoảng cách 10 km! Kính viễn vọng Không gian Hubble có thể phân giải ~50 mas. Độ chính xác đáng kinh ngạc cho thiên văn học. Được sử dụng để đo thị sai sao, sao đôi.

Mil quân sự: 1 mil ≈ chiều rộng 1 m ở khoảng cách 1 km (NATO: 1.02 m, đủ gần). Dễ dàng tính nhẩm để ước tính phạm vi. Các quốc gia khác nhau sử dụng các loại mil khác nhau (6000, 6300, 6400 mỗi vòng tròn). Đơn vị đạn đạo thực tế!

90 = 360/4 (một phần tư vòng quay). Nhưng 'vuông' (right) xuất phát từ tiếng Latin 'rectus' = thẳng đứng, thẳng. Góc vuông tạo ra các đường vuông góc. Cần thiết cho xây dựng—các tòa nhà cần góc vuông để đứng vững!

Người Babylon sử dụng hệ số sexagesimal (cơ số 60) cho thiên văn học và đo thời gian. Họ chia vòng tròn thành 360 phần vì 360 ≈ số ngày trong một năm (thực tế là 365.25), và 360 có 24 ước số—cực kỳ thuận tiện cho các phân số.

Hệ cơ số 60 này vẫn tồn tại đến ngày nay: 60 giây mỗi phút, 60 phút mỗi giờ và mỗi độ. Số 360 có thừa số là 2³ × 3² × 5, chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—một giấc mơ của máy tính!

• 2000 TCN: Các nhà thiên văn học Babylon theo dõi vị trí thiên thể bằng độ
• 360° được chọn vì khả năng chia hết và xấp xỉ một năm
• Hệ cơ số 60 cho chúng ta giờ (24 = 360/15) và phút/giây
• Các nhà thiên văn học Hy Lạp áp dụng 360° từ các bảng của Babylon

Bộ sách 'Cơ sở' của Euclid (300 TCN) đã chính thức hóa hình học góc—góc vuông (90°), góc phụ (tổng bằng 90°), góc bù (tổng bằng 180°). Các nhà toán học Hy Lạp như Hipparchus đã tạo ra lượng giác bằng cách sử dụng các bảng dựa trên độ cho thiên văn học và khảo sát.

Các nhà hàng hải thời trung cổ đã sử dụng thước đo góc thiên thể (astrolabe) và la bàn với 32 điểm (mỗi điểm 11.25°). Thủy thủ cần các phương vị chính xác; phút cung (1/60°) và giây cung (1/3600°) đã ra đời cho các danh mục sao và hải đồ.

• 300 TCN: 'Cơ sở' của Euclid định nghĩa các góc hình học
• 150 TCN: Hipparchus tạo ra các bảng lượng giác đầu tiên (độ)
• Những năm 1200: Thước đo góc thiên thể sử dụng các vạch chia độ để định vị thiên thể
• 1569: Phép chiếu bản đồ Mercator yêu cầu toán học bảo toàn góc

Khi Newton và Leibniz phát triển giải tích (những năm 1670), độ trở nên có vấn đề: d/dx(sin x) = (π/180)cos x theo độ—một hằng số xấu xí! Roger Cotes (1682-1716) và Leonhard Euler đã chính thức hóa radian: góc = độ dài cung / bán kính. Bây giờ d/dx(sin x) = cos x một cách đẹp đẽ.

James Thomson đã đặt ra thuật ngữ 'radian' vào năm 1873 (từ tiếng Latin 'radius'). Radian đã trở thành đơn vị CHÍNH cho phân tích toán học, vật lý và kỹ thuật. Tuy nhiên, độ vẫn tồn tại trong cuộc sống hàng ngày vì con người thích số nguyên hơn là π.

• Những năm 1670: Giải tích cho thấy độ tạo ra các công thức lộn xộn
• 1714: Roger Cotes phát triển 'thước đo tròn' (tiền thân của radian)
• 1748: Euler sử dụng rộng rãi radian trong phân tích
• 1873: Thomson đặt tên là 'radian'; trở thành tiêu chuẩn toán học

Pháo binh trong Thế chiến I yêu cầu các đơn vị góc thực tế: mil ra đời—1 mil ≈ độ lệch 1 mét ở khoảng cách 1 km. NATO đã tiêu chuẩn hóa 6400 mil/vòng tròn (một lũy thừa đẹp của 2), trong khi Liên Xô sử dụng 6000 (tiện lợi cho hệ thập phân). Milliradian thực sự = 6283/vòng tròn.

Thiên văn học thời đại không gian đã đạt được độ chính xác mili giây cung (Hipparcos, 1989), sau đó là micro giây cung (Gaia, 2013). Gaia đo thị sai sao đến 20 micro giây cung—tương đương với việc nhìn thấy một sợi tóc người từ khoảng cách 1.000 km! Vật lý hiện đại sử dụng radian một cách phổ biến; chỉ có hàng hải và xây dựng vẫn ưa chuộng độ.

• 1916: Pháo binh quân sự áp dụng mil để tính toán phạm vi
• 1960: SI công nhận radian là đơn vị dẫn xuất nhất quán
• 1989: Vệ tinh Hipparcos: độ chính xác ~1 mili giây cung
• 2013: Vệ tinh Gaia: độ chính xác 20 micro giây cung—lập bản đồ 1 tỷ ngôi sao

Sử dụng độ cho: các góc hàng ngày, hàng hải, khảo sát, xây dựng. Sử dụng radian cho: giải tích, các phương trình vật lý, lập trình (các hàm lượng giác). Radian là 'tự nhiên' vì độ dài cung = bán kính × góc. Các đạo hàm như d/dx(sin x) = cos x chỉ hoạt động trong radian!

Chu vi vòng tròn = 2πr. Nửa vòng tròn (đường thẳng) = πr. Radian được định nghĩa là độ dài cung/bán kính. Đối với nửa vòng tròn: cung = πr, bán kính = r, vì vậy góc = πr/r = π radian. Do đó, theo định nghĩa, π rad = 180°.

Sử dụng arctan: góc = arctan(độ dốc/100). Ví dụ: 10% độ dốc = arctan(0.1) ≈ 5.71°. KHÔNG chỉ nhân! 10% ≠ 10°. Ngược lại: độ dốc = tan(góc) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% độ dốc.

Phút cung (′) = 1/60 của một độ (góc). Phút thời gian = 1/60 của một giờ (thời gian). Hoàn toàn khác nhau! Trong thiên văn học, 'phút thời gian' chuyển đổi thành góc: 1 phút = 15 phút cung (vì 24h = 360°, nên 1 phút = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Mil được thiết kế để 1 mil ≈ 1 mét ở khoảng cách 1 km (đạn đạo thực tế). Milliradian toán học thực sự = 1/1000 rad ≈ 6283 mỗi vòng tròn. NATO đã đơn giản hóa thành 6400 (lũy thừa của 2, chia dễ dàng). Liên Xô sử dụng 6000 (chia hết cho 10). Thụy Điển 6300 (thỏa hiệp). Tất cả đều gần bằng 2π×1000.

Có! Dương = ngược chiều kim đồng hồ (quy ước toán học). Âm = theo chiều kim đồng hồ. -90° = 270° (cùng vị trí, hướng khác). Trong hàng hải, sử dụng phạm vi 0-360°. Trong toán học/vật lý, góc âm là phổ biến. Ví dụ: -π/2 = -90° = 270°.