Um ângulo mede a rotação ou giro entre duas linhas. Pense em abrir uma porta ou girar uma roda. Medido em graus (°), radianos (rad) ou grados. 360° = círculo completo = uma rotação completa.

• Ângulo = quantidade de rotação
• Círculo completo = 360° = 2π rad
• Ângulo reto = 90° = π/2 rad
• Linha reta = 180° = π rad

Graus: círculo dividido em 360 partes (histórico). Radianos: baseados no raio do círculo. 2π radianos = 360°. Radianos são 'naturais' para matemática/física. π rad = 180°, então 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (círculo completo)
• 180° = π rad (meio círculo)
• 90° = π/2 rad (ângulo reto)
• 1 rad ≈ 57,2958° (conversão)

Grado: 100 grad = 90° (ângulo métrico). Minuto de arco/segundo de arco: subdivisões de grau (astronomia). Milésimo: navegação militar (6400 milésimos = círculo). Cada unidade para uma aplicação específica.

• Grado: 400 grad = círculo
• Minuto de arco: 1′ = 1/60°
• Segundo de arco: 1″ = 1/3600°
• Milésimo (OTAN): 6400 mil = círculo

360° por círculo (origem babilônica - ~360 dias/ano). Subdividido: 1° = 60′ (minutos de arco) = 3600″ (segundos de arco). Universal para navegação, topografia, uso diário.

• 360° = círculo completo
• 1° = 60 minutos de arco (′)
• 1′ = 60 segundos de arco (″)
• Fácil para humanos, histórico

Radiano: comprimento do arco = raio. 2π rad = circunferência do círculo/raio. Natural para o cálculo (derivadas de sen, cos). Padrão em física, engenharia. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exato)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Natural para matemática/física

Grado: 400 grad = círculo (ângulo métrico). 100 grad = ângulo reto. Milésimo: navegação militar - a OTAN usa 6400 milésimos. A URSS usava 6000. Existem diferentes padrões.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (ângulo reto)
• Milésimo (OTAN): 6400 por círculo
• Milésimo (URSS): 6000 por círculo

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Sempre use radianos no cálculo! Funções trigonométricas precisam de radianos para derivadas.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• O cálculo requer radianos

sen, cos, tan relacionam ângulos a razões. Círculo unitário: raio=1, ângulo=θ. Coordenadas do ponto: (cos θ, sen θ). Essencial para física, engenharia, gráficos.

• sen θ = oposto/hipotenusa
• cos θ = adjacente/hipotenusa
• tan θ = oposto/adjacente
• Círculo unitário: (cos θ, sen θ)

Ângulos somam/subtraem normalmente. 45° + 45° = 90°. Rotação completa: adicione/subtraia 360° (ou 2π). Aritmética modular para circularidade: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (adição normal)
• Circularidade: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Ângulos negativos: -90° = 270°

Marcações de bússola: 0°=Norte, 90°=Leste, 180°=Sul, 270°=Oeste. Militares usam milésimos para precisão. A bússola tem 32 pontos (11,25° cada). O GPS usa graus decimais.

• Marcações: 0-360° a partir do Norte
• Milésimo da OTAN: 6400 por círculo
• Pontos da bússola: 32 (11,25° cada)
• GPS: graus decimais

Posições estelares: precisão de segundos de arco. Paralaxe: milissegundos de arco. Hubble: resolução de ~50 mas. Satélite Gaia: precisão de microssegundos de arco. Ângulo horário: 24h = 360°.

• Segundo de arco: posições estelares
• Milissegundo de arco: paralaxe, VLBI
• Microssegundo de arco: satélite Gaia
• Ângulo horário: 15°/hora

Inclinação: porcentagem de inclinação ou ângulo. 10% de inclinação ≈ 5,7°. O projeto de estradas usa porcentagem. A topografia usa graus/minutos/segundos. Sistema de grados para países métricos.

• Inclinação: % ou graus
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Topografia: DMS (graus-minutos-segundos)
• Grado: topografia métrica

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Rápido: 180° = π rad, então divida/multiplique por essa razão.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (exato)
• 2π rad = 360° (exato)

ângulo = arctan(inclinação/100). 10% de inclinação = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Inverso: inclinação = tan(ângulo) × 100.

• θ = arctan(grau/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Íngreme: 100% = 45°

1° = 60′ (min de arco). 1′ = 60″ (seg de arco). Total: 1° = 3600″. Subdivisão rápida para precisão.

• 1° = 60 minutos de arco
• 1′ = 60 segundos de arco
• 1° = 3600 segundos de arco
• DMS: graus-minutos-segundos

A estrada tem 8% de inclinação. Qual é o ângulo?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Uma inclinação relativamente suave!

Navegue com uma marcação de 135°. Que direção da bússola é essa?

0°=N, 90°=L, 180°=S, 270°=O. 135° está entre L (90°) e S (180°). Direção: Sudeste (SE).

Uma estrela moveu-se 0,5 segundos de arco. Quantos graus são isso?

1″ = 1/3600°. Então 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Um movimento minúsculo!

Os babilônios usavam o sistema sexagesimal (base 60). 360 tem muitos divisores (24 fatores!). Corresponde aproximadamente a 360 dias no ano. Conveniente para astronomia e cronometragem. Também se divide igualmente por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

O radiano é definido pelo comprimento do arco = raio. Isso torna o cálculo belo: d/dx(sen x) = cos x (apenas em radianos!). Em graus, d/dx(sen x) = (π/180)cos x (confuso). A natureza 'usa' radianos!

Ângulo métrico: 100 grad = ângulo reto. Tentado durante a Revolução Francesa com o sistema métrico. Nunca se popularizou—os graus estavam muito arraigados. Ainda usado em algumas medições (Suíça, norte da Europa). As calculadoras têm o modo 'grad'!

1 milissegundo de arco ≈ largura de um cabelo humano visto a 10 km de distância! O Telescópio Espacial Hubble pode resolver ~50 mas. Precisão incrível para a astronomia. Usado para medir a paralaxe estelar, estrelas binárias.

Milésimo militar: 1 milésimo ≈ 1 m de largura a 1 km de distância (OTAN: 1,02 m, perto o suficiente). Cálculo mental fácil para estimativa de alcance. Diferentes países usam diferentes milésimos (6000, 6300, 6400 por círculo). Unidade de balística prática!

90 = 360/4 (um quarto de volta). Mas 'reto' vem do latim 'rectus' = ereto, direito. O ângulo reto faz linhas perpendiculares. Essencial para a construção—edifícios precisam de ângulos retos para ficarem de pé!

Os babilônios usavam um sistema numérico sexagesimal (base 60) para astronomia e cronometragem. Eles dividiram o círculo em 360 partes porque 360 ≈ dias em um ano (na verdade 365,25), e 360 tem 24 divisores—incrivelmente conveniente para frações.

Este sistema de base 60 persiste hoje: 60 segundos por minuto, 60 minutos por hora e por grau. O número 360 fatora-se como 2³ × 3² × 5, dividindo-se igualmente por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—o sonho de uma calculadora!

• 2000 a.C.: Astrônomos babilônios rastreiam posições celestes em graus
• 360° escolhido pela divisibilidade e aproximação do ano
• A base 60 nos dá horas (24 = 360/15) e minutos/segundos
• Astrônomos gregos adotam 360° das tabelas babilônicas

Os Elementos de Euclides (300 a.C.) formalizaram a geometria dos ângulos—ângulos retos (90°), complementares (soma 90°), suplementares (soma 180°). Matemáticos gregos como Hiparco criaram a trigonometria usando tabelas baseadas em graus para astronomia e topografia.

Navegadores medievais usavam o astrolábio e a bússola com 32 pontos (cada um com 11,25°). Marinheiros precisavam de marcações precisas; minutos de arco (1/60°) e segundos de arco (1/3600°) surgiram para catálogos estelares e cartas náuticas.

• 300 a.C.: Os Elementos de Euclides definem ângulos geométricos
• 150 a.C.: Hiparco cria as primeiras tabelas trigonométricas (graus)
• Anos 1200: O astrolábio usa marcações de grau para navegação celestial
• 1569: A projeção de mapa de Mercator requer matemática que preserva ângulos

À medida que Newton e Leibniz desenvolviam o cálculo (década de 1670), os graus se tornaram problemáticos: d/dx(sen x) = (π/180)cos x em graus—uma constante feia! Roger Cotes (1682-1716) e Leonhard Euler formalizaram o radiano: ângulo = comprimento do arco / raio. Agora d/dx(sen x) = cos x lindamente.

James Thomson cunhou o termo 'radiano' em 1873 (do latim 'radius'). O radiano tornou-se A unidade para análise matemática, física e engenharia. No entanto, os graus persistiram na vida cotidiana porque os humanos preferem números inteiros a π.

• Anos 1670: O cálculo revela que os graus criam fórmulas confusas
• 1714: Roger Cotes desenvolve a 'medida circular' (pré-radiano)
• 1748: Euler usa radianos extensivamente em análise
• 1873: Thomson o nomeia 'radiano'; torna-se padrão matemático

A artilharia da Primeira Guerra Mundial exigia unidades de ângulo práticas: nasceu o milésimo—1 milésimo ≈ 1 metro de desvio a 1 km de distância. A OTAN padronizou 6400 milésimos/círculo (uma boa potência de 2), enquanto a URSS usava 6000 (conveniência decimal). O milirradiano verdadeiro = 6283/círculo.

A astronomia da era espacial alcançou precisão de milissegundos de arco (Hipparcos, 1989), depois microssegundos de arco (Gaia, 2013). Gaia mede a paralaxe estelar com precisão de 20 microssegundos de arco—equivalente a ver um cabelo humano a 1.000 km de distância! A física moderna usa radianos universalmente; apenas a navegação e a construção ainda favorecem os graus.

• 1916: A artilharia militar adota o milésimo para cálculos de alcance
• 1960: O SI reconhece o radiano como unidade derivada coerente
• 1989: Satélite Hipparcos: precisão de ~1 milissegundo de arco
• 2013: Satélite Gaia: precisão de 20 microssegundos de arco—mapeia 1 bilhão de estrelas

Use graus para: ângulos do dia a dia, navegação, topografia, construção. Use radianos para: cálculo, equações de física, programação (funções trigonométricas). Radianos são 'naturais' porque o comprimento do arco = raio × ângulo. Derivadas como d/dx(sen x) = cos x só funcionam em radianos!

A circunferência do círculo = 2πr. Meio círculo (linha reta) = πr. O radiano é definido como comprimento do arco/raio. Para meio círculo: arco = πr, raio = r, então ângulo = πr/r = π radianos. Portanto, por definição, π rad = 180°.

Use arctan: ângulo = arctan(grau/100). Exemplo: 10% de inclinação = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NÃO apenas multiplique! 10% ≠ 10°. Inverso: grau = tan(ângulo) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% de inclinação.

Minuto de arco (′) = 1/60 de um grau (ângulo). Minuto de tempo = 1/60 de uma hora (tempo). Completamente diferentes! Em astronomia, 'minuto de tempo' se converte em ângulo: 1 min = 15 minutos de arco (porque 24h = 360°, então 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

O milésimo foi projetado para que 1 milésimo ≈ 1 metro a 1 km (balística prática). O milirradiano matemático verdadeiro = 1/1000 rad ≈ 6283 por círculo. A OTAN simplificou para 6400 (potência de 2, divide bem). A URSS usava 6000 (divide por 10). A Suécia 6300 (um meio-termo). Todos são próximos de 2π×1000.

Sim! Positivo = sentido anti-horário (convenção matemática). Negativo = sentido horário. -90° = 270° (mesma posição, direção diferente). Na navegação, use a faixa de 0-360°. Em matemática/física, ângulos negativos são comuns. Exemplo: -π/2 = -90° = 270°.