Een hoek meet de rotatie of draai tussen twee lijnen. Denk aan het openen van een deur of het draaien van een wiel. Gemeten in graden (°), radialen (rad), of gon. 360° = volledige cirkel = één complete rotatie.

• Hoek = hoeveelheid rotatie
• Volledige cirkel = 360° = 2π rad
• Rechte hoek = 90° = π/2 rad
• Gestrekt hoek = 180° = π rad

Graden: cirkel verdeeld in 360 delen (historisch). Radialen: gebaseerd op de straal van de cirkel. 2π radialen = 360°. Radialen zijn 'natuurlijk' voor wiskunde/fysica. π rad = 180°, dus 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (volledige cirkel)
• 180° = π rad (halve cirkel)
• 90° = π/2 rad (rechte hoek)
• 1 rad ≈ 57,2958° (omrekening)

Gon: 100 grad = 90° (metrische hoek). Boogminuut/boogseconde: onderverdelingen van een graad (astronomie). Mil: militaire navigatie (6400 mil = cirkel). Elke eenheid voor een specifieke toepassing.

• Gon: 400 grad = cirkel
• Boogminuut: 1′ = 1/60°
• Boogseconde: 1″ = 1/3600°
• Mil (NAVO): 6400 mil = cirkel

360° per cirkel (Babylonische oorsprong - ~360 dagen/jaar). Onderverdeeld: 1° = 60′ (boogminuten) = 3600″ (boogseconden). Universeel voor navigatie, landmeetkunde, dagelijks gebruik.

• 360° = volledige cirkel
• 1° = 60 boogminuten (′)
• 1′ = 60 boogseconden (″)
• Makkelijk voor mensen, historisch

Radiaal: booglengte = straal. 2π rad = omtrek cirkel/straal. Natuurlijk voor calculus (afgeleiden van sin, cos). Standaard in fysica, techniek. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exact)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Natuurlijk voor wiskunde/fysica

Gon: 400 grad = cirkel (metrische hoek). 100 grad = rechte hoek. Mil: militaire navigatie - NAVO gebruikt 6400 mil. Sovjet-Unie gebruikte 6000. Er bestaan verschillende standaarden.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (rechte hoek)
• Mil (NAVO): 6400 per cirkel
• Mil (USSR): 6000 per cirkel

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Gebruik altijd radialen in calculus! Trigonometrische functies hebben radialen nodig voor afgeleiden.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Calculus vereist radialen

sin, cos, tan relateren hoeken aan verhoudingen. Eenheidscirkel: straal=1, hoek=θ. Coördinaten van het punt: (cos θ, sin θ). Essentieel voor fysica, techniek, grafische toepassingen.

• sin θ = overstaand/schuin
• cos θ = aanliggend/schuin
• tan θ = overstaand/aanliggend
• Eenheidscirkel: (cos θ, sin θ)

Hoeken worden normaal opgeteld/afgetrokken. 45° + 45° = 90°. Volledige rotatie: tel 360° (of 2π) op/af. Modulo-rekenen voor 'wrapping': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normale optelling)
• Wrapping: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negatieve hoeken: -90° = 270°

Kompaspeilingen: 0°=Noord, 90°=Oost, 180°=Zuid, 270°=West. Het leger gebruikt mil voor precisie. Het kompas heeft 32 streken (elk 11,25°). GPS gebruikt decimale graden.

• Peilingen: 0-360° vanaf het Noorden
• NAVO mil: 6400 per cirkel
• Kompasstreken: 32 (elk 11,25°)
• GPS: decimale graden

Sterposities: precisie van boogseconden. Parallax: milliboogseconden. Hubble: ~50 mas resolutie. Gaia-satelliet: precisie van microboogseconden. Uurhoek: 24u = 360°.

• Boogseconde: sterposities
• Milliboogseconde: parallax, VLBI
• Microboogseconde: Gaia-satelliet
• Uurhoek: 15°/uur

Helling: percentage of hoek. 10% helling ≈ 5,7°. Wegenontwerp gebruikt percentages. Landmeetkunde gebruikt graden/minuten/seconden. Gon-systeem voor metrische landen.

• Helling: % of graden
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Landmeetkunde: GMS (graden-minuten-seconden)
• Gon: metrische landmeetkunde

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Snel: 180° = π rad, dus deel/vermenigvuldig met deze verhouding.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (exact)
• 2π rad = 360° (exact)

hoek = arctan(helling/100). 10% helling = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Omgekeerd: helling = tan(hoek) × 100.

• θ = arctan(hellingsgraad/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Steil: 100% = 45°

1° = 60′ (boogmin). 1′ = 60″ (boogsec). Totaal: 1° = 3600″. Snelle onderverdeling voor precisie.

• 1° = 60 boogminuten
• 1′ = 60 boogseconden
• 1° = 3600 boogseconden
• GMS: graden-minuten-seconden

Een weg heeft een helling van 8%. Wat is de hoek?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Een relatief lichte helling!

Navigeer op een peiling van 135°. Welke kompasrichting is dat?

0°=N, 90°=O, 180°=Z, 270°=W. 135° ligt tussen O (90°) en Z (180°). Richting: Zuidoost (ZO).

Een ster is 0,5 boogseconden verplaatst. Hoeveel graden is dat?

1″ = 1/3600°. Dus 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Een minuscule beweging!

De Babyloniërs gebruikten een zestigtallig stelsel (basis 60). 360 heeft veel delers (24 factoren!). Komt ongeveer overeen met 360 dagen in een jaar. Handig voor astronomie en tijdmeting. Het is ook deelbaar door 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

De radiaal wordt gedefinieerd door booglengte = straal. Dit maakt calculus prachtig: d/dx(sin x) = cos x (alleen in radialen!). In graden is d/dx(sin x) = (π/180)cos x (rommelig). De natuur 'gebruikt' radialen!

Metrische hoek: 100 grad = rechte hoek. Geprobeerd tijdens de Franse Revolutie met het metrisch stelsel. Nooit populair geworden—graden waren te diep geworteld. Wordt nog steeds gebruikt in sommige landmeetkundige toepassingen (Zwitserland, Noord-Europa). Rekenmachines hebben een 'grad'-modus!

1 milliboogseconde ≈ de breedte van een mensenhaar gezien vanaf 10 km afstand! De Hubble Ruimtetelescoop kan ~50 mas oplossen. Ongelooflijke precisie voor astronomie. Gebruikt om stellaire parallax en dubbelsterren te meten.

Militaire mil: 1 mil ≈ 1 m breedte op 1 km afstand (NAVO: 1,02 m, dichtbij genoeg). Eenvoudig hoofdrekenen voor afstandsschatting. Verschillende landen gebruiken verschillende mil (6000, 6300, 6400 per cirkel). Een praktische ballistische eenheid!

90 = 360/4 (kwartslag). Maar 'recht' komt van het Latijnse 'rectus' = rechtop, recht. Een rechte hoek maakt loodrechte lijnen. Essentieel voor de bouw—gebouwen hebben rechte hoeken nodig om te kunnen staan!

De Babyloniërs gebruikten een sexagesimaal (basis-60) getallenstelsel voor astronomie en tijdmeting. Ze verdeelden de cirkel in 360 delen omdat 360 ≈ dagen in een jaar (eigenlijk 365,25), en 360 heeft 24 delers—ongelooflijk handig voor breuken.

Dit basis-60 systeem bestaat vandaag de dag nog steeds: 60 seconden per minuut, 60 minuten per uur en per graad. Het getal 360 kan worden ontbonden in factoren als 2³ × 3² × 5, en is deelbaar door 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—een droom voor een rekenmachine!

• 2000 v.Chr.: Babylonische astronomen volgen hemelposities in graden
• 360° gekozen vanwege deelbaarheid en ~jaarbenadering
• Basis-60 geeft ons uren (24 = 360/15) en minuten/seconden
• Griekse astronomen nemen 360° over van Babylonische tabellen

Euclides' Elementen (300 v.Chr.) formaliseerde hoekgeometrie—rechte hoeken (90°), complementaire (som tot 90°), supplementaire (som tot 180°). Griekse wiskundigen zoals Hipparchus creëerden trigonometrie met behulp van op graden gebaseerde tabellen voor astronomie en landmeetkunde.

Middeleeuwse zeevaarders gebruikten het astrolabium en kompas met 32 streken (elk 11,25°). Zeevaarders hadden precieze peilingen nodig; boogminuten (1/60°) en boogseconden (1/3600°) ontstonden voor sterrencatalogi en zeekaarten.

• 300 v.Chr.: Euclides' Elementen definieert geometrische hoeken
• 150 v.Chr.: Hipparchus creëert de eerste trig-tabellen (graden)
• 1200-jaren: Astrolabium gebruikt gradenmarkeringen voor hemelnavigatie
• 1569: Mercatorprojectie vereist hoekgetrouwe wiskunde

Toen Newton en Leibniz calculus ontwikkelden (jaren 1670), werden graden problematisch: d/dx(sin x) = (π/180)cos x in graden—een lelijke constante! Roger Cotes (1682-1716) en Leonhard Euler formaliseerden de radiaal: hoek = booglengte / straal. Nu is d/dx(sin x) = cos x prachtig.

James Thomson bedacht de term 'radiaal' in 1873 (van het Latijnse 'radius'). De radiaal werd DE eenheid voor wiskundige analyse, fysica en techniek. Toch bleven graden bestaan in het dagelijks leven omdat mensen de voorkeur geven aan hele getallen boven π.

• 1670-jaren: Calculus onthult dat graden rommelige formules creëren
• 1714: Roger Cotes ontwikkelt 'cirkelmaat' (voorloper van de radiaal)
• 1748: Euler gebruikt radialen uitgebreid in analyse
• 1873: Thomson noemt het 'radiaal'; wordt wiskundige standaard

De artillerie van de Eerste Wereldoorlog had praktische hoekeenheden nodig: de mil was geboren—1 mil ≈ 1 meter afwijking op 1 km afstand. De NAVO standaardiseerde 6400 mil/cirkel (een mooie macht van 2), terwijl de Sovjet-Unie 6000 gebruikte (decimaal gemak). De ware milliradiaal = 6283/cirkel.

De astronomie van het ruimtetijdperk bereikte een precisie van milliboogseconden (Hipparcos, 1989), en vervolgens microboogseconden (Gaia, 2013). Gaia meet stellaire parallax tot op 20 microboogseconden—gelijk aan het zien van een mensenhaar vanaf 1000 km afstand! Moderne fysica gebruikt universeel radialen; alleen navigatie en bouw geven nog de voorkeur aan graden.

• 1916: Militaire artillerie neemt de mil over voor afstandsberekeningen
• 1960: SI erkent de radiaal als coherente afgeleide eenheid
• 1989: Hipparcos-satelliet: ~1 milliboogseconde precisie
• 2013: Gaia-satelliet: 20 microboogseconde precisie—brengt 1 miljard sterren in kaart

Gebruik graden voor: alledaagse hoeken, navigatie, landmeetkunde, bouw. Gebruik radialen voor: calculus, natuurkundige vergelijkingen, programmeren (trigonometrische functies). Radialen zijn 'natuurlijk' omdat de booglengte = straal × hoek. Afgeleiden zoals d/dx(sin x) = cos x werken alleen in radialen!

De omtrek van een cirkel = 2πr. Een halve cirkel (rechte lijn) = πr. Een radiaal is gedefinieerd als booglengte/straal. Voor een halve cirkel: boog = πr, straal = r, dus hoek = πr/r = π radialen. Daarom is per definitie π rad = 180°.

Gebruik arctan: hoek = arctan(hellingsgraad/100). Voorbeeld: 10% helling = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NIET zomaar vermenigvuldigen! 10% ≠ 10°. Omgekeerd: hellingsgraad = tan(hoek) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% helling.

Een boogminuut (′) = 1/60 van een graad (hoek). Een tijdminuut = 1/60 van een uur (tijd). Totaal verschillend! In de astronomie wordt een 'tijdminuut' omgezet naar een hoek: 1 min = 15 boogminuten (omdat 24u = 360°, dus 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

De mil is zo ontworpen dat 1 mil ≈ 1 meter op 1 km (praktische ballistiek). De ware wiskundige milliradiaal = 1/1000 rad ≈ 6283 per cirkel. De NAVO vereenvoudigde dit tot 6400 (een macht van 2, deelt mooi). De Sovjet-Unie gebruikte 6000 (deelt door 10). Zweden 6300 (een compromis). Allemaal zijn ze dicht bij 2π×1000.

Ja! Positief = tegen de klok in (wiskundige conventie). Negatief = met de klok mee. -90° = 270° (dezelfde positie, andere richting). In navigatie, gebruik het bereik 0-360°. In wiskunde/fysica zijn negatieve hoeken gebruikelijk. Voorbeeld: -π/2 = -90° = 270°.