Ein Winkel misst die Drehung oder Wendung zwischen zwei Linien. Denken Sie an das Öffnen einer Tür oder das Drehen eines Rades. Gemessen in Grad (°), Radiant (rad) oder Gon. 360° = voller Kreis = eine vollständige Umdrehung.

• Winkel = Betrag der Drehung
• Voller Kreis = 360° = 2π rad
• Rechter Winkel = 90° = π/2 rad
• Gerade Linie = 180° = π rad

Grad: Kreis in 360 Teile geteilt (historisch). Radiant: Basiert auf dem Radius des Kreises. 2π Radiant = 360°. Radiant ist 'natürlich' für Mathematik/Physik. π rad = 180°, also 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (voller Kreis)
• 180° = π rad (halber Kreis)
• 90° = π/2 rad (rechter Winkel)
• 1 rad ≈ 57,2958° (Umrechnung)

Gon: 100 gon = 90° (metrischer Winkel). Bogenminute/Bogensekunde: Unterteilungen des Grades (Astronomie). Strich: militärische Navigation (6400 Strich = Kreis). Jede Einheit für eine spezifische Anwendung.

• Gon: 400 gon = Kreis
• Bogenminute: 1′ = 1/60°
• Bogensekunde: 1″ = 1/3600°
• Strich (NATO): 6400 Strich = Kreis

360° pro Kreis (babylonischer Ursprung - ~360 Tage/Jahr). Unterteilt: 1° = 60′ (Bogenminuten) = 3600″ (Bogensekunden). Universell für Navigation, Vermessung, alltäglichen Gebrauch.

• 360° = voller Kreis
• 1° = 60 Bogenminuten (′)
• 1′ = 60 Bogensekunden (″)
• Einfach für Menschen, historisch

Radiant: Bogenlänge = Radius. 2π rad = Kreisumfang/Radius. Natürlich für Infinitesimalrechnung (Ableitungen von sin, cos). Standard in Physik, Ingenieurwesen. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exakt)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Natürlich für Mathematik/Physik

Gon: 400 gon = Kreis (metrischer Winkel). 100 gon = rechter Winkel. Strich: militärische Navigation - NATO verwendet 6400 Strich. UdSSR verwendete 6000. Es gibt verschiedene Standards.

• 400 gon = 360°
• 100 gon = 90° (rechter Winkel)
• Strich (NATO): 6400 pro Kreis
• Strich (UdSSR): 6000 pro Kreis

rad = grad × π/180. grad = rad × 180/π. gon = grad × 10/9. Verwenden Sie in der Infinitesimalrechnung immer Radiant! Trigonometrische Funktionen benötigen Radiant für Ableitungen.

• rad = grad × (π/180)
• grad = rad × (180/π)
• gon = grad × (10/9)
• Infinitesimalrechnung erfordert Radiant

sin, cos, tan setzen Winkel in Beziehung zu Verhältnissen. Einheitskreis: Radius=1, Winkel=θ. Punktkoordinaten: (cos θ, sin θ). Wesentlich für Physik, Ingenieurwesen, Grafik.

• sin θ = Gegenkathete/Hypotenuse
• cos θ = Ankathete/Hypotenuse
• tan θ = Gegenkathete/Ankathete
• Einheitskreis: (cos θ, sin θ)

Winkel werden normal addiert/subtrahiert. 45° + 45° = 90°. Volle Umdrehung: addiere/subtrahiere 360° (oder 2π). Modulo-Arithmetik für den 'Umlauf': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normale Addition)
• Umlauf: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negative Winkel: -90° = 270°

Kompasskurse: 0°=Nord, 90°=Ost, 180°=Süd, 270°=West. Militär verwendet Strich für Präzision. Kompass hat 32 Striche (jeder 11,25°). GPS verwendet Dezimalgrade.

• Kurse: 0-360° von Nord
• NATO-Strich: 6400 pro Kreis
• Kompasspunkte: 32 (jeder 11,25°)
• GPS: Dezimalgrade

Sternpositionen: Präzision in Bogensekunden. Parallaxe: Millibogensekunden. Hubble: ~50 mas Auflösung. Gaia-Satellit: Mikrobogensekunden-Präzision. Stundenwinkel: 24h = 360°.

• Bogensekunde: Sternpositionen
• Millibogensekunde: Parallaxe, VLBI
• Mikrobogensekunde: Gaia-Satellit
• Stundenwinkel: 15°/Stunde

Steigung: Prozentuale Steigung oder Winkel. 10% Steigung ≈ 5,7°. Straßenbau verwendet Prozent. Vermessung verwendet Grad/Minuten/Sekunden. Gon-System für metrische Länder.

• Steigung: % oder Grad
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Vermessung: GMS (Grad-Minuten-Sekunden)
• Gon: metrische Vermessung

rad = grad × π/180. grad = rad × 180/π. Kurz: 180° = π rad, also durch dieses Verhältnis teilen/multiplizieren.

• rad = grad × 0,01745
• grad = rad × 57,2958
• π rad = 180° (exakt)
• 2π rad = 360° (exakt)

Winkel = arctan(Steigung/100). 10% Steigung = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Umgekehrt: Steigung = tan(Winkel) × 100.

• θ = arctan(Steigung/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Steil: 100% = 45°

1° = 60′ (Bogenminute). 1′ = 60″ (Bogensekunde). Gesamt: 1° = 3600″. Schnelle Unterteilung für Präzision.

• 1° = 60 Bogenminuten
• 1′ = 60 Bogensekunden
• 1° = 3600 Bogensekunden
• GMS: Grad-Minuten-Sekunden

Eine Straße hat 8% Steigung. Wie groß ist der Winkel?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Eine relativ sanfte Steigung!

Navigieren Sie mit einem Kurs von 135°. Welche Kompassrichtung ist das?

0°=N, 90°=O, 180°=S, 270°=W. 135° liegt zwischen O (90°) und S (180°). Richtung: Südost (SO).

Ein Stern hat sich um 0,5 Bogensekunden bewegt. Wie viele Grad sind das?

1″ = 1/3600°. Also 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Eine winzige Bewegung!

Die Babylonier verwendeten ein Sexagesimalsystem (Basis 60). 360 hat viele Teiler (24 Faktoren!). Entspricht ungefähr den 360 Tagen im Jahr. Praktisch für Astronomie und Zeitmessung. Lässt sich auch glatt durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... teilen.

Radiant ist definiert durch Bogenlänge = Radius. Das macht die Infinitesimalrechnung schön: d/dx(sin x) = cos x (nur in Radiant!). In Grad ist d/dx(sin x) = (π/180)cos x (unhandlich). Die Natur 'verwendet' Radiant!

Metrischer Winkel: 100 Gon = rechter Winkel. Wurde während der Französischen Revolution mit dem metrischen System versucht. Nie populär geworden – Grad war zu etabliert. Wird immer noch in einigen Vermessungsbereichen verwendet (Schweiz, Nordeuropa). Taschenrechner haben einen 'gon'-Modus!

1 Millibogensekunde ≈ Breite eines menschlichen Haares aus 10 km Entfernung! Das Hubble-Weltraumteleskop kann ~50 mas auflösen. Unglaubliche Präzision für die Astronomie. Wird zur Messung von Sternparallaxe und Doppelsternen verwendet.

Militärischer Strich: 1 Strich ≈ 1 m Breite in 1 km Entfernung (NATO: 1,02 m, nah genug). Einfache Kopfrechnung zur Entfernungsschätzung. Verschiedene Länder verwenden verschiedene Strich-Systeme (6000, 6300, 6400 pro Kreis). Praktische ballistische Einheit!

90 = 360/4 (Vierteldrehung). Aber 'recht' kommt vom lateinischen 'rectus' = aufrecht, gerade. Ein rechter Winkel bildet senkrechte Linien. Essenziell für den Bau – Gebäude brauchen rechte Winkel, um zu stehen!

Die Babylonier verwendeten ein Sexagesimalsystem (Basis 60) für Astronomie und Zeitmessung. Sie teilten den Kreis in 360 Teile, weil 360 ≈ Tage im Jahr (eigentlich 365,25) und 360 hat 24 Teiler – unglaublich praktisch für Brüche.

Dieses Basis-60-System besteht bis heute: 60 Sekunden pro Minute, 60 Minuten pro Stunde und pro Grad. Die Zahl 360 lässt sich als 2³ × 3² × 5 faktorisieren und teilt sich glatt durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 – ein Traum für jeden Rechner!

• 2000 v. Chr.: Babylonische Astronomen verfolgen Himmelspositionen in Grad
• 360° wegen Teilbarkeit und ~Jahresannäherung gewählt
• Basis 60 gibt uns Stunden (24 = 360/15) und Minuten/Sekunden
• Griechische Astronomen übernehmen 360° aus babylonischen Tabellen

Euklids Elemente (300 v. Chr.) formalisierten die Winkelgeometrie – rechte Winkel (90°), Komplementärwinkel (Summe 90°), Supplementärwinkel (Summe 180°). Griechische Mathematiker wie Hipparchos schufen die Trigonometrie mit gradbasierten Tabellen für Astronomie und Vermessung.

Mittelalterliche Seefahrer benutzten Astrolabium und Kompass mit 32 Strichen (jeder 11,25°). Seeleute benötigten präzise Kurse; Bogenminuten (1/60°) und Bogensekunden (1/3600°) entstanden für Sternenkataloge und Seekarten.

• 300 v. Chr.: Euklids Elemente definieren geometrische Winkel
• 150 v. Chr.: Hipparchos erstellt erste trigonometrische Tabellen (Grad)
• 1200er: Astrolabium verwendet Gradmarkierungen für die Himmelsnavigation
• 1569: Mercator-Kartenprojektion erfordert winkelerhaltende Mathematik

Als Newton und Leibniz die Infinitesimalrechnung entwickelten (1670er), wurden Grad problematisch: d/dx(sin x) = (π/180)cos x in Grad – eine unschöne Konstante! Roger Cotes (1682-1716) und Leonhard Euler formalisierten den Radiant: Winkel = Bogenlänge / Radius. Nun ist d/dx(sin x) = cos x wunderbar einfach.

James Thomson prägte 1873 den Begriff 'Radiant' (vom lateinischen 'radius'). Der Radiant wurde DIE Einheit für mathematische Analyse, Physik und Ingenieurwesen. Dennoch blieben Grad im Alltag bestehen, weil Menschen ganze Zahlen gegenüber π bevorzugen.

• 1670er: Infinitesimalrechnung zeigt, dass Grad unhandliche Formeln erzeugt
• 1714: Roger Cotes entwickelt das 'Kreismaß' (Vor-Radiant)
• 1748: Euler verwendet Radiant ausgiebig in der Analysis
• 1873: Thomson nennt es 'Radiant'; wird zum mathematischen Standard

Die Artillerie des Ersten Weltkriegs erforderte praktische Winkeleinheiten: der Strich wurde geboren – 1 Strich ≈ 1 Meter Abweichung auf 1 km Entfernung. Die NATO standardisierte 6400 Strich/Kreis (eine schöne Zweierpotenz), während die UdSSR 6000 verwendete (dezimale Bequemlichkeit). Der wahre Milliradiant = 6283/Kreis.

Die Weltraumastronomie erreichte Millibogensekunden-Präzision (Hipparcos, 1989), dann Mikrobogensekunden (Gaia, 2013). Gaia misst die Sternparallaxe auf 20 Mikrobogensekunden genau – das entspricht dem Anblick eines menschlichen Haares aus 1.000 km Entfernung! Die moderne Physik verwendet Radiant universell; nur Navigation und Bauwesen bevorzugen noch Grad.

• 1916: Militärartillerie übernimmt Strich für Reichweitenberechnungen
• 1960: SI erkennt Radiant als kohärente abgeleitete Einheit an
• 1989: Hipparcos-Satellit: ~1 Millibogensekunde Präzision
• 2013: Gaia-Satellit: 20 Mikrobogensekunden Präzision – kartiert 1 Milliarde Sterne

Verwenden Sie Grad für: alltägliche Winkel, Navigation, Vermessung, Bauwesen. Verwenden Sie Radiant für: Infinitesimalrechnung, physikalische Gleichungen, Programmierung (trigonometrische Funktionen). Radiant ist 'natürlich', weil Bogenlänge = Radius × Winkel. Ableitungen wie d/dx(sin x) = cos x funktionieren nur in Radiant!

Kreisumfang = 2πr. Halber Kreis (gerade Linie) = πr. Radiant ist definiert als Bogenlänge/Radius. Für einen halben Kreis: Bogen = πr, Radius = r, also Winkel = πr/r = π Radiant. Daher ist π rad = 180° per Definition.

Verwenden Sie arctan: Winkel = arctan(Steigung/100). Beispiel: 10% Steigung = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NICHT einfach multiplizieren! 10% ≠ 10°. Umgekehrt: Steigung = tan(Winkel) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% Steigung.

Bogenminute (′) = 1/60 eines Grades (Winkel). Zeitminute = 1/60 einer Stunde (Zeit). Völlig unterschiedlich! In der Astronomie wird 'Zeitminute' in einen Winkel umgerechnet: 1 min = 15 Bogenminuten (weil 24h = 360°, also 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Strich wurde so konzipiert, dass 1 Strich ≈ 1 Meter auf 1 km (praktische Ballistik). Der wahre mathematische Milliradiant = 1/1000 rad ≈ 6283 pro Kreis. Die NATO vereinfachte auf 6400 (Zweierpotenz, lässt sich gut teilen). Die UdSSR verwendete 6000 (durch 10 teilbar). Schweden 6300 (Kompromiss). Alle liegen nahe bei 2π×1000.

Ja! Positiv = gegen den Uhrzeigersinn (mathematische Konvention). Negativ = im Uhrzeigersinn. -90° = 270° (gleiche Position, andere Richtung). In der Navigation verwenden Sie den Bereich 0-360°. In Mathematik/Physik sind negative Winkel üblich. Beispiel: -π/2 = -90° = 270°.