Sudut mengukur putaran atau pusingan antara dua garisan. Fikirkan tentang membuka pintu atau memusingkan roda. Diukur dalam darjah (°), radian (rad), atau gradian. 360° = bulatan penuh = satu putaran lengkap.

• Sudut = jumlah putaran
• Bulatan penuh = 360° = 2π rad
• Sudut tegak = 90° = π/2 rad
• Garis lurus = 180° = π rad

Darjah: bulatan dibahagikan kepada 360 bahagian (sejarah). Radian: berdasarkan jejari bulatan. 2π radian = 360°. Radian adalah 'semula jadi' untuk matematik/fizik. π rad = 180°, jadi 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (bulatan penuh)
• 180° = π rad (separuh bulatan)
• 90° = π/2 rad (sudut tegak)
• 1 rad ≈ 57.2958° (penukaran)

Gradian: 100 grad = 90° (sudut metrik). Minit arka/saat arka: subbahagian darjah (astronomi). Mil: navigasi tentera (6400 mil = bulatan). Setiap unit untuk aplikasi tertentu.

• Gradian: 400 grad = bulatan
• Minit arka: 1′ = 1/60°
• Saat arka: 1″ = 1/3600°
• Mil (NATO): 6400 mil = bulatan

360° setiap bulatan (asal Babylon - ~360 hari/tahun). Dibahagikan lagi: 1° = 60′ (minit arka) = 3600″ (saat arka). Universal untuk navigasi, ukur tanah, kegunaan harian.

• 360° = bulatan penuh
• 1° = 60 minit arka (′)
• 1′ = 60 saat arka (″)
• Mudah untuk manusia, bersejarah

Radian: panjang lengkok = jejari. 2π rad = lilitan bulatan/jejari. Semula jadi untuk kalkulus (terbitan sin, cos). Standard dalam fizik, kejuruteraan. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (tepat)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Semula jadi untuk matematik/fizik

Gradian: 400 grad = bulatan (sudut metrik). 100 grad = sudut tegak. Mil: navigasi tentera - NATO menggunakan 6400 mil. USSR menggunakan 6000. Terdapat standard yang berbeza.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (sudut tegak)
• Mil (NATO): 6400 setiap bulatan
• Mil (USSR): 6000 setiap bulatan

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Sentiasa gunakan radian dalam kalkulus! Fungsi trigonometri memerlukan radian untuk terbitan.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Kalkulus memerlukan radian

sin, cos, tan menghubungkan sudut dengan nisbah. Bulatan unit: jejari=1, sudut=θ. Koordinat titik: (cos θ, sin θ). Penting untuk fizik, kejuruteraan, grafik.

• sin θ = bertentangan/hipotenus
• cos θ = bersebelahan/hipotenus
• tan θ = bertentangan/bersebelahan
• Bulatan unit: (cos θ, sin θ)

Sudut ditambah/ditolak seperti biasa. 45° + 45° = 90°. Putaran penuh: tambah/tolak 360° (atau 2π). Aritmetik modulo untuk pusingan: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (penambahan biasa)
• Pusingan: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Sudut negatif: -90° = 270°

Bearing kompas: 0°=Utara, 90°=Timur, 180°=Selatan, 270°=Barat. Tentera menggunakan mil untuk ketepatan. Kompas mempunyai 32 mata (11.25° setiap satu). GPS menggunakan darjah perpuluhan.

• Bearing: 0-360° dari Utara
• Mil NATO: 6400 setiap bulatan
• Mata kompas: 32 (11.25° setiap satu)
• GPS: darjah perpuluhan

Kedudukan bintang: ketepatan saat arka. Paralaks: milisaat arka. Hubble: resolusi ~50 mas. Satelit Gaia: ketepatan mikroarksaat. Sudut jam: 24j = 360°.

• Saat arka: kedudukan bintang
• Milisaat arka: paralaks, VLBI
• Mikroarksaat: satelit Gaia
• Sudut jam: 15°/jam

Kecerunan: peratusan gred atau sudut. 10% gred ≈ 5.7°. Reka bentuk jalan menggunakan peratusan. Ukur tanah menggunakan darjah/minit/saat. Sistem gradian untuk negara metrik.

• Kecerunan: % atau darjah
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Ukur tanah: DMS (darjah-minit-saat)
• Gradian: ukur tanah metrik

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Pantas: 180° = π rad, jadi bahagi/darab dengan nisbah ini.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (tepat)
• 2π rad = 360° (tepat)

sudut = arctan(kecerunan/100). 10% kecerunan = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Songsang: kecerunan = tan(sudut) × 100.

• θ = arctan(gred/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Curam: 100% = 45°

1° = 60′ (minit arka). 1′ = 60″ (saat arka). Jumlah: 1° = 3600″. Subbahagian pantas untuk ketepatan.

• 1° = 60 minit arka
• 1′ = 60 saat arka
• 1° = 3600 saat arka
• DMS: darjah-minit-saat

Jalan raya mempunyai 8% gred. Apakah sudutnya?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Kecerunan yang agak landai!

Navigasi dengan bearing 135°. Apakah arah kompas itu?

0°=U, 90°=T, 180°=S, 270°=B. 135° adalah di antara T (90°) dan S (180°). Arah: Tenggara (SE).

Sebuah bintang bergerak 0.5 saat arka. Berapa darjahkah itu?

1″ = 1/3600°. Jadi 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Pergerakan yang sangat kecil!

Orang Babylon menggunakan sistem asas-60 (seksagesimal). 360 mempunyai banyak pembahagi (24 faktor!). Hampir sepadan dengan 360 hari dalam setahun. Mudah untuk astronomi dan penyimpanan masa. Juga boleh dibahagi sama rata dengan 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radian ditakrifkan oleh panjang lengkok = jejari. Ini menjadikan kalkulus cantik: d/dx(sin x) = cos x (hanya dalam radian!). Dalam darjah, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (bercelaru). Alam 'menggunakan' radian!

Sudut metrik: 100 grad = sudut tegak. Dicuba semasa Revolusi Perancis dengan sistem metrik. Tidak pernah menjadi popular—darjah terlalu berakar umbi. Masih digunakan dalam beberapa bidang ukur (Switzerland, Eropah utara). Kalkulator mempunyai mod 'grad'!

1 milisaat arka ≈ lebar sehelai rambut manusia yang dilihat dari jarak 10 km! Teleskop Angkasa Hubble boleh menyelesaikan ~50 mas. Ketepatan yang luar biasa untuk astronomi. Digunakan untuk mengukur paralaks bintang, bintang binari.

Mil tentera: 1 mil ≈ lebar 1 m pada jarak 1 km (NATO: 1.02 m, cukup dekat). Matematik mental yang mudah untuk anggaran jarak. Negara yang berbeza menggunakan mil yang berbeza (6000, 6300, 6400 setiap bulatan). Unit balistik yang praktikal!

90 = 360/4 (suku pusingan). Tetapi 'tegak' (right) berasal dari bahasa Latin 'rectus' = tegak, lurus. Sudut tegak membuat garisan serenjang. Penting untuk pembinaan—bangunan memerlukan sudut tegak untuk berdiri!

Orang Babylon menggunakan sistem nombor seksagesimal (asas-60) untuk astronomi dan penyimpanan masa. Mereka membahagikan bulatan kepada 360 bahagian kerana 360 ≈ hari dalam setahun (sebenarnya 365.25), dan 360 mempunyai 24 pembahagi—sangat mudah untuk pecahan.

Sistem asas-60 ini berterusan hari ini: 60 saat setiap minit, 60 minit setiap jam dan setiap darjah. Nombor 360 difaktorkan sebagai 2³ × 3² × 5, boleh dibahagi sama rata dengan 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—impian seorang kalkulator!

• 2000 SM: Ahli astronomi Babylon menjejaki kedudukan cakerawala dalam darjah
• 360° dipilih kerana kebolehbahagian dan ~anggaran tahun
• Asas-60 memberi kita jam (24 = 360/15) dan minit/saat
• Ahli astronomi Yunani mengguna pakai 360° dari jadual Babylon

Elemen Euclid (300 SM) memformalkan geometri sudut—sudut tegak (90°), pelengkap (jumlah hingga 90°), suplemen (jumlah hingga 180°). Ahli matematik Yunani seperti Hipparchus mencipta trigonometri menggunakan jadual berasaskan darjah untuk astronomi dan ukur tanah.

Navigator zaman pertengahan menggunakan astrolab dan kompas dengan 32 mata (setiap satu 11.25°). Pelaut memerlukan bearing yang tepat; minit arka (1/60°) dan saat arka (1/3600°) muncul untuk katalog bintang dan carta nautika.

• 300 SM: Elemen Euclid mentakrifkan sudut geometri
• 150 SM: Hipparchus mencipta jadual trigonometri pertama (darjah)
• 1200-an: Astrolab menggunakan tanda darjah untuk navigasi cakerawala
• 1569: Unjuran peta Mercator memerlukan matematik yang mengekalkan sudut

Apabila Newton dan Leibniz membangunkan kalkulus (1670-an), darjah menjadi bermasalah: d/dx(sin x) = (π/180)cos x dalam darjah—pemalar yang hodoh! Roger Cotes (1682-1716) dan Leonhard Euler memformalkan radian: sudut = panjang lengkok / jejari. Sekarang d/dx(sin x) = cos x dengan indah.

James Thomson mencipta istilah 'radian' pada tahun 1873 (dari bahasa Latin 'radius'). Radian menjadi unit UTAMA untuk analisis matematik, fizik, dan kejuruteraan. Namun darjah berterusan dalam kehidupan seharian kerana manusia lebih suka nombor bulat berbanding π.

• 1670-an: Kalkulus mendedahkan darjah mencipta formula yang bercelaru
• 1714: Roger Cotes membangunkan 'ukuran bulatan' (pra-radian)
• 1748: Euler menggunakan radian secara meluas dalam analisis
• 1873: Thomson menamakannya 'radian'; menjadi standard matematik

Artileri Perang Dunia I menuntut unit sudut praktikal: mil dilahirkan—1 mil ≈ sisihan 1 meter pada jarak 1 km. NATO menstandardkan 6400 mil/bulatan (kuasa 2 yang bagus), manakala USSR menggunakan 6000 (kemudahan perpuluhan). Miliradian sebenar = 6283/bulatan.

Astronomi zaman angkasa mencapai ketepatan milisaat arka (Hipparcos, 1989), kemudian mikroarksaat (Gaia, 2013). Gaia mengukur paralaks bintang hingga 20 mikroarksaat—setara dengan melihat sehelai rambut manusia dari jarak 1,000 km! Fizik moden menggunakan radian secara universal; hanya navigasi dan pembinaan yang masih memihak kepada darjah.

• 1916: Artileri tentera mengguna pakai mil untuk pengiraan jarak
• 1960: SI mengiktiraf radian sebagai unit terbitan koheren
• 1989: Satelit Hipparcos: ketepatan ~1 milisaat arka
• 2013: Satelit Gaia: ketepatan 20 mikroarksaat—memetakan 1 bilion bintang

Guna darjah untuk: sudut harian, navigasi, ukur tanah, pembinaan. Guna radian untuk: kalkulus, persamaan fizik, pengaturcaraan (fungsi trigonometri). Radian adalah 'semula jadi' kerana panjang lengkok = jejari × sudut. Terbitan seperti d/dx(sin x) = cos x hanya berfungsi dalam radian!

Lilitan bulatan = 2πr. Separuh bulatan (garis lurus) = πr. Radian ditakrifkan sebagai panjang lengkok/jejari. Untuk separuh bulatan: lengkok = πr, jejari = r, jadi sudut = πr/r = π radian. Oleh itu, mengikut definisi, π rad = 180°.

Guna arctan: sudut = arctan(gred/100). Contoh: 10% gred = arctan(0.1) ≈ 5.71°. BUKAN sekadar darab! 10% ≠ 10°. Songsang: gred = tan(sudut) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% gred.

Minit arka (′) = 1/60 daripada satu darjah (sudut). Minit masa = 1/60 daripada satu jam (masa). Sama sekali berbeza! Dalam astronomi, 'minit masa' ditukar kepada sudut: 1 min = 15 minit arka (kerana 24j = 360°, jadi 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Mil direka supaya 1 mil ≈ 1 meter pada 1 km (balistik praktikal). Miliradian matematik sebenar = 1/1000 rad ≈ 6283 setiap bulatan. NATO memudahkannya kepada 6400 (kuasa 2, mudah dibahagi). USSR menggunakan 6000 (boleh dibahagi dengan 10). Sweden 6300 (kompromi). Semuanya hampir dengan 2π×1000.

Ya! Positif = lawan arah jam (konvensyen matematik). Negatif = ikut arah jam. -90° = 270° (kedudukan yang sama, arah yang berbeza). Dalam navigasi, guna julat 0-360°. Dalam matematik/fizik, sudut negatif adalah biasa. Contoh: -π/2 = -90° = 270°.