مبدل زاویه
زاویه — از درجه تا میکروثانیه قوسی
واحدهای زاویه را در ریاضیات، نجوم، ناوبری و مهندسی بیاموزید. از درجه تا رادیان، دقیقه قوسی تا میل، چرخشها و معنای اعداد در کاربردهای واقعی را درک کنید.
مبانی زوایا
زاویه چیست؟
یک زاویه چرخش یا گردش بین دو خط را اندازهگیری میکند. به باز کردن یک در یا چرخاندن یک چرخ فکر کنید. با درجه (°)، رادیان (rad) یا گرادیان اندازهگیری میشود. 360 درجه = دایره کامل = یک چرخش کامل.
- زاویه = مقدار چرخش
- دایره کامل = 360 درجه = 2π رادیان
- زاویه قائمه = 90 درجه = π/2 رادیان
- خط مستقیم = 180 درجه = π رادیان
درجه در مقابل رادیان
درجه: دایره به 360 قسمت تقسیم شده است (تاریخی). رادیان: بر اساس شعاع دایره. 2π رادیان = 360 درجه. رادیان برای ریاضیات/فیزیک 'طبیعی' است. π رادیان = 180 درجه، بنابراین 1 رادیان ≈ 57.3 درجه.
- 360 درجه = 2π رادیان (دایره کامل)
- 180 درجه = π رادیان (نیم دایره)
- 90 درجه = π/2 رادیان (زاویه قائمه)
- 1 رادیان ≈ 57.2958 درجه (تبدیل)
سایر واحدهای زاویه
گرادیان: 100 گرادیان = 90 درجه (زاویه متریک). دقیقه/ثانیه قوسی: تقسیمات فرعی درجه (نجوم). میل: ناوبری نظامی (6400 میل = دایره). هر واحد برای کاربرد خاصی است.
- گرادیان: 400 گرادیان = دایره
- دقیقه قوسی: 1 دقیقه قوسی = 1/60 درجه
- ثانیه قوسی: 1 ثانیه قوسی = 1/3600 درجه
- میل (NATO): 6400 میل = دایره
- دایره کامل = 360 درجه = 2π رادیان = 400 گرادیان
- π رادیان = 180 درجه (نیم دایره)
- 1 رادیان ≈ 57.3 درجه، 1 درجه ≈ 0.01745 رادیان
- رادیان برای حساب دیفرانسیل و انتگرال/فیزیک طبیعی است
توضیح سیستمهای واحد
سیستم درجه
360 درجه در هر دایره (منشأ بابلی - ~360 روز/سال). تقسیمبندی: 1 درجه = 60 دقیقه قوسی = 3600 ثانیه قوسی. جهانی برای ناوبری، نقشهبرداری، استفاده روزمره.
- 360 درجه = دایره کامل
- 1 درجه = 60 دقیقه قوسی (′)
- 1 دقیقه قوسی = 60 ثانیه قوسی (″)
- آسان برای انسانها، تاریخی
سیستم رادیان
رادیان: طول کمان = شعاع. 2π رادیان = محیط دایره/شعاع. طبیعی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال (مشتقات سینوس، کسینوس). استاندارد در فیزیک، مهندسی. π رادیان = 180 درجه.
- 2π رادیان = 360 درجه (دقیق)
- π رادیان = 180 درجه
- 1 رادیان ≈ 57.2958 درجه
- طبیعی برای ریاضیات/فیزیک
گرادیان و نظامی
گرادیان: 400 گرادیان = دایره (زاویه متریک). 100 گرادیان = زاویه قائمه. میل: ناوبری نظامی - NATO از 6400 میل استفاده میکند. شوروی از 6000 استفاده میکرد. استانداردهای مختلفی وجود دارد.
- 400 گرادیان = 360 درجه
- 100 گرادیان = 90 درجه (زاویه قائمه)
- میل (NATO): 6400 در هر دایره
- میل (شوروی): 6000 در هر دایره
ریاضیات زوایا
تبدیلهای کلیدی
رادیان = درجه × π/180. درجه = رادیان × 180/π. گرادیان = درجه × 10/9. همیشه در حساب دیفرانسیل و انتگرال از رادیان استفاده کنید! توابع مثلثاتی برای مشتقات به رادیان نیاز دارند.
- رادیان = درجه × (π/180)
- درجه = رادیان × (180/π)
- گرادیان = درجه × (10/9)
- حساب دیفرانسیل و انتگرال به رادیان نیاز دارد
مثلثات
سینوس، کسینوس، تانژانت زوایا را به نسبتها مرتبط میکنند. دایره واحد: شعاع=1، زاویه=θ. مختصات نقطه: (cos θ, sin θ). ضروری برای فیزیک، مهندسی، گرافیک.
- sin θ = ضلع مقابل/وتر
- cos θ = ضلع مجاور/وتر
- tan θ = ضلع مقابل/ضلع مجاور
- دایره واحد: (cos θ, sin θ)
جمع زوایا
زوایا به طور معمول جمع/تفریق میشوند. 45 درجه + 45 درجه = 90 درجه. چرخش کامل: 360 درجه (یا 2π) را اضافه/کم کنید. حساب پیمانهای برای 'پیچیدن': 370 درجه = 10 درجه.
- θ₁ + θ₂ (جمع معمولی)
- پیچیدن: θ پیمانه 360 درجه
- 370 درجه ≡ 10 درجه (پیمانه 360 درجه)
- زوایای منفی: -90 درجه = 270 درجه
زوایای رایج
| زاویه | درجه | رادیان | یادداشتها |
|---|---|---|---|
| صفر | 0 درجه | 0 رادیان | بدون چرخش |
| حاده | 30 درجه | π/6 | مثلث متساویالاضلاع |
| حاده | 45 درجه | π/4 | نصف زاویه قائمه |
| حاده | 60 درجه | π/3 | مثلث متساویالاضلاع |
| قائمه | 90 درجه | π/2 | عمود، یک چهارم چرخش |
| منفرجه | 120 درجه | 2π/3 | داخلی ششضلعی |
| منفرجه | 135 درجه | 3π/4 | خارجی هشتضلعی |
| نیمصفحه | 180 درجه | π | نیم دایره، خط مستقیم |
| باز | 270 درجه | 3π/2 | سه چهارم چرخش |
| کامل | 360 درجه | 2π | چرخش کامل |
| ثانیه قوسی | 1 ثانیه قوسی | 4.85 میکرورادیان | دقت نجومی |
| میلیثانیه قوسی | 0.001 ثانیه قوسی | 4.85 نانورادیان | وضوح هابل |
| میکروثانیه قوسی | 0.000001 ثانیه قوسی | 4.85 پیکورادیان | ماهواره Gaia |
معادلهای زاویه
| توضیحات | درجه | رادیان | گرادیان |
|---|---|---|---|
| دایره کامل | 360 درجه | 2π ≈ 6.283 | 400 گرادیان |
| نیم دایره | 180 درجه | π ≈ 3.142 | 200 گرادیان |
| زاویه قائمه | 90 درجه | π/2 ≈ 1.571 | 100 گرادیان |
| یک رادیان | ≈ 57.296 درجه | 1 رادیان | ≈ 63.662 گرادیان |
| یک درجه | 1 درجه | ≈ 0.01745 رادیان | ≈ 1.111 گرادیان |
| یک گرادیان | 0.9 درجه | ≈ 0.01571 رادیان | 1 گرادیان |
| دقیقه قوسی | 1/60 درجه | ≈ 0.000291 رادیان | 1/54 گرادیان |
| ثانیه قوسی | 1/3600 درجه | ≈ 0.00000485 رادیان | 1/3240 گرادیان |
| میل NATO | 0.05625 درجه | ≈ 0.000982 رادیان | 0.0625 گرادیان |
کاربردهای دنیای واقعی
ناوبری
جهتیابی قطبنما: 0 درجه=شمال، 90 درجه=شرق، 180 درجه=جنوب، 270 درجه=غرب. نظامیان برای دقت از میل استفاده میکنند. قطبنما 32 نقطه دارد (هر کدام 11.25 درجه). GPS از درجات اعشاری استفاده میکند.
- جهتیابی: 0-360 درجه از شمال
- میل NATO: 6400 در هر دایره
- نقاط قطبنما: 32 (هر کدام 11.25 درجه)
- GPS: درجات اعشاری
نجوم
موقعیت ستارگان: دقت ثانیه قوسی. اختلاف منظر: میلیثانیه قوسی. هابل: وضوح ~50 میلیثانیه قوسی. ماهواره Gaia: دقت میکروثانیه قوسی. زاویه ساعتی: 24 ساعت = 360 درجه.
- ثانیه قوسی: موقعیت ستارگان
- میلیثانیه قوسی: اختلاف منظر، VLBI
- میکروثانیه قوسی: ماهواره Gaia
- زاویه ساعتی: 15 درجه/ساعت
مهندسی و نقشهبرداری
شیب: درصد شیب یا زاویه. 10% شیب ≈ 5.7 درجه. طراحی جاده از درصد استفاده میکند. نقشهبرداری از درجه/دقیقه/ثانیه استفاده میکند. سیستم گرادیان برای کشورهای متریک.
- شیب: ٪ یا درجه
- 10% ≈ 5.7 درجه (arctan 0.1)
- نقشهبرداری: DMS (درجه-دقیقه-ثانیه)
- گرادیان: نقشهبرداری متریک
ریاضیات سریع
درجه ↔ رادیان
رادیان = درجه × π/180. درجه = رادیان × 180/π. سریع: 180 درجه = π رادیان، بنابراین بر این نسبت تقسیم/ضرب کنید.
- رادیان = درجه × 0.01745
- درجه = رادیان × 57.2958
- π رادیان = 180 درجه (دقیق)
- 2π رادیان = 360 درجه (دقیق)
شیب به زاویه
زاویه = arctan(شیب/100). 10% شیب = arctan(0.1) ≈ 5.71 درجه. برعکس: شیب = tan(زاویه) × 100.
- θ = arctan(شیب/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71 درجه
- 45 درجه → tan(45 درجه) = 100%
- تند: 100% = 45 درجه
دقایق قوسی
1 درجه = 60 دقیقه قوسی. 1 دقیقه قوسی = 60 ثانیه قوسی. مجموع: 1 درجه = 3600 ثانیه قوسی. تقسیمبندی سریع برای دقت.
- 1 درجه = 60 دقیقه قوسی
- 1 دقیقه قوسی = 60 ثانیه قوسی
- 1 درجه = 3600 ثانیه قوسی
- DMS: درجه-دقیقه-ثانیه
نحوه کار تبدیلها
- مرحله 1: مبدأ → درجه
- مرحله 2: درجه → هدف
- رادیان: درجه × (π/180)
- شیب: arctan(شیب/100)
- دقایق قوسی: درجه × 60
تبدیلهای رایج
| از | به | فرمول | مثال |
|---|---|---|---|
| درجه | رادیان | × π/180 | 90 درجه = π/2 رادیان |
| رادیان | درجه | × 180/π | π رادیان = 180 درجه |
| درجه | گرادیان | × 10/9 | 90 درجه = 100 گرادیان |
| درجه | دقیقه قوسی | × 60 | 1 درجه = 60 دقیقه قوسی |
| دقیقه قوسی | ثانیه قوسی | × 60 | 1 دقیقه قوسی = 60 ثانیه قوسی |
| درجه | دور | ÷ 360 | 180 درجه = 0.5 دور |
| ٪ شیب | درجه | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71 درجه |
| درجه | میل (NATO) | × 17.778 | 1 درجه ≈ 17.78 میل |
مثالهای سریع
مسائل حل شده
شیب جاده
یک جاده 8% شیب دارد. زاویه آن چقدر است؟
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57 درجه. شیب نسبتاً ملایم!
جهتیابی قطبنما
در جهت 135 درجه حرکت کنید. جهت قطبنما چیست؟
0 درجه=شمال، 90 درجه=شرق، 180 درجه=جنوب، 270 درجه=غرب. 135 درجه بین شرق (90 درجه) و جنوب (180 درجه) است. جهت: جنوب شرقی (SE).
موقعیت ستاره
یک ستاره 0.5 ثانیه قوسی جابجا شده است. این چند درجه است؟
1 ثانیه قوسی = 1/3600 درجه. بنابراین 0.5 ثانیه قوسی = 0.5/3600 = 0.000139 درجه. حرکت بسیار کوچک!
اشتباهات رایج
- **حالت رادیان**: ماشین حساب در حالت درجه هنگام استفاده از رادیان = اشتباه! حالت را بررسی کنید. sin(π) در حالت درجه ≠ sin(π) در حالت رادیان.
- **تقریب π**: π دقیقاً 3.14 نیست. از دکمه π یا Math.PI استفاده کنید. 180 درجه = π رادیان دقیقاً، نه 3.14 رادیان.
- **زوایای منفی**: -90 درجه ≠ نامعتبر! منفی = در جهت عقربههای ساعت. -90 درجه = 270 درجه (حرکت در جهت عقربههای ساعت از 0 درجه).
- **اشتباه در شیب**: 10% شیب ≠ 10 درجه! باید از arctan استفاده شود. 10% ≈ 5.71 درجه، نه 10 درجه. اشتباه رایج!
- **دقیقه قوسی ≠ دقیقه زمانی**: 1 دقیقه قوسی = 1/60 درجه. 1 دقیقه (زمان) = متفاوت! اشتباه نگیرید.
- **چرخش کامل**: 360 درجه = 0 درجه (همان موقعیت). زوایا چرخهای هستند. 370 درجه = 10 درجه.
حقایق جالب
چرا 360 درجه؟
بابلیان از سیستم شصتگانی (مبنای 60) استفاده میکردند. 360 مقسومعلیههای زیادی دارد (24 عامل!). تقریباً با 360 روز در سال مطابقت دارد. برای نجوم و زمانسنجی مناسب است. همچنین به طور مساوی بر 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 12... تقسیم میشود.
رادیان طبیعی است
رادیان با طول کمان = شعاع تعریف میشود. این باعث زیبایی حساب دیفرانسیل و انتگرال میشود: d/dx(sin x) = cos x (فقط در رادیان!). در درجه، d/dx(sin x) = (π/180)cos x (درهم و برهم). طبیعت از رادیان 'استفاده' میکند!
گرادیان تقریباً موفق شد
زاویه متریک: 100 گرادیان = زاویه قائمه. در طول انقلاب فرانسه با سیستم متریک امتحان شد. هرگز محبوب نشد—درجات بیش از حد ریشهدار بودند. هنوز در برخی از نقشهبرداریها (سوئیس، شمال اروپا) استفاده میشود. ماشین حسابها حالت 'grad' دارند!
میلیثانیه قوسی = موی انسان
1 میلیثانیه قوسی ≈ عرض یک تار موی انسان که از 10 کیلومتر دورتر دیده میشود! تلسکوپ فضایی هابل میتواند ~50 میلیثانیه قوسی را تفکیک کند. دقت باورنکردنی برای نجوم. برای اندازهگیری اختلاف منظر ستارهای، ستارههای دوتایی استفاده میشود.
میل برای توپخانه
میل نظامی: 1 میل ≈ 1 متر عرض در فاصله 1 کیلومتری (NATO: 1.02 متر، به اندازه کافی نزدیک). محاسبات ذهنی آسان برای تخمین برد. کشورهای مختلف از میلهای متفاوتی استفاده میکنند (6000، 6300، 6400 در هر دایره). واحد بالستیک عملی!
زاویه قائمه = 90 درجه، چرا؟
90 = 360/4 (یک چهارم چرخش). اما 'قائمه' از لاتین 'rectus' = قائم، راست میآید. زاویه قائمه خطوط عمود بر هم ایجاد میکند. برای ساخت و ساز ضروری است—ساختمانها برای ایستادن به زوایای قائمه نیاز دارند!
تکامل اندازهگیری زاویه
از نجوم باستان بابلی تا دقت ماهوارههای مدرن، اندازهگیری زاویه از زمانسنجی عملی به بنیاد حساب دیفرانسیل و انتگرال و مکانیک کوانتومی تکامل یافته است. دایره 360 درجهای، یک قرارداد 4000 ساله، با وجود ظرافت ریاضی رادیانها، هنوز هم غالب است.
2000 قبل از میلاد - 300 قبل از میلاد
بابلیان از سیستم اعداد شصتگانی (مبنای 60) برای نجوم و زمانسنجی استفاده میکردند. آنها دایره را به 360 قسمت تقسیم کردند زیرا 360 ≈ روزهای یک سال (در واقع 365.25) است، و 360 دارای 24 مقسومعلیه است—بسیار مناسب برای کسرها.
این سیستم مبنای 60 امروزه نیز پابرجاست: 60 ثانیه در دقیقه، 60 دقیقه در ساعت و در درجه. عدد 360 به صورت 2³ × 3² × 5 فاکتور میشود، که به طور مساوی بر 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 12، 15، 18، 20، 24، 30، 36، 40، 45، 60، 72، 90، 120، 180 تقسیم میشود—رویای یک ماشین حساب!
- 2000 قبل از میلاد: منجمان بابلی موقعیتهای آسمانی را با درجه ردیابی میکنند
- 360 درجه به دلیل قابلیت تقسیم و تقریب ~سال انتخاب شد
- مبنای 60 به ما ساعت (24 = 360/15) و دقیقه/ثانیه میدهد
- منجمان یونانی 360 درجه را از جداول بابلی اقتباس کردند
300 قبل از میلاد - 1600 میلادی
«اصول» اقلیدس (300 قبل از میلاد) هندسه زاویه را رسمیت بخشید—زوایای قائمه (90 درجه)، متمم (مجموع 90 درجه)، مکمل (مجموع 180 درجه). ریاضیدانان یونانی مانند هیپارخوس با استفاده از جداول مبتنی بر درجه برای نجوم و نقشهبرداری، مثلثات را ایجاد کردند.
ناوبران قرون وسطی از اسطرلاب و قطبنما با 32 نقطه (هر کدام 11.25 درجه) استفاده میکردند. دریانوردان به جهتیابی دقیق نیاز داشتند؛ دقایق قوسی (1/60 درجه) و ثانیههای قوسی (1/3600 درجه) برای کاتالوگهای ستارهای و نمودارهای دریایی پدیدار شدند.
- 300 قبل از میلاد: «اصول» اقلیدس زوایای هندسی را تعریف میکند
- 150 قبل از میلاد: هیپارخوس اولین جداول مثلثاتی را ایجاد میکند (درجه)
- دهه 1200: اسطرلاب از نشانههای درجه برای ناوبری آسمانی استفاده میکند
- 1569: طرح نقشه مرکاتور به ریاضیات حفظ کننده زاویه نیاز دارد
دهه 1600 - دهه 1800
همانطور که نیوتن و لایبنیتس حساب دیفرانسیل و انتگرال را توسعه دادند (دهه 1670)، درجات مشکلساز شدند: d/dx(sin x) = (π/180)cos x در درجه—یک ثابت زشت! راجر کوتس (1682-1716) و لئونارد اویلر رادیان را رسمیت بخشیدند: زاویه = طول کمان / شعاع. اکنون d/dx(sin x) = cos x به زیبایی.
جیمز تامسون در سال 1873 اصطلاح 'رادیان' را ابداع کرد (از لاتین 'radius'). رادیان واحد اصلی برای تحلیل ریاضی، فیزیک و مهندسی شد. با این حال، درجات در زندگی روزمره باقی ماندند زیرا انسانها اعداد کامل را به π ترجیح میدهند.
- دهه 1670: حساب دیفرانسیل و انتگرال نشان میدهد که درجات فرمولهای درهم و برهمی ایجاد میکنند
- 1714: راجر کوتس 'اندازه دایرهای' (پیش-رادیان) را توسعه میدهد
- 1748: اویلر از رادیان به طور گسترده در تحلیل استفاده میکند
- 1873: تامسون آن را 'رادیان' نامید؛ به استاندارد ریاضی تبدیل شد
دهه 1900 - امروز
توپخانه جنگ جهانی اول به واحدهای زاویه عملی نیاز داشت: میل متولد شد—1 میل ≈ 1 متر انحراف در فاصله 1 کیلومتری. NATO 6400 میل/دایره را استاندارد کرد (توان خوبی از 2)، در حالی که شوروی از 6000 استفاده میکرد (راحتی اعشاری). میلیرادیان واقعی = 6283/دایره.
نجوم عصر فضا به دقت میلیثانیه قوسی (هیپارکوس، 1989) و سپس میکروثانیه قوسی (گایا، 2013) دست یافت. گایا اختلاف منظر ستارهای را تا 20 میکروثانیه قوسی اندازهگیری میکند—معادل دیدن یک تار موی انسان از فاصله 1000 کیلومتری! فیزیک مدرن از رادیان به طور جهانی استفاده میکند؛ فقط ناوبری و ساخت و ساز هنوز هم درجات را ترجیح میدهند.
- 1916: توپخانه نظامی میل را برای محاسبات برد اتخاذ میکند
- 1960: SI رادیان را به عنوان یک واحد مشتق منسجم به رسمیت شناخت
- 1989: ماهواره هیپارکوس: دقت ~1 میلیثانیه قوسی
- 2013: ماهواره گایا: دقت 20 میکروثانیه قوسی—نقشه 1 میلیارد ستاره
نکات حرفهای
- **رادیان سریع**: π رادیان = 180 درجه. نیم دایره! بنابراین π/2 = 90 درجه، π/4 = 45 درجه.
- **محاسبه ذهنی شیب**: شیبهای کوچک: شیب ٪ ≈ زاویه درجه × 1.75. (10% ≈ 5.7 درجه)
- **دقیقه قوسی**: 1 درجه = 60 دقیقه قوسی. انگشت شست شما در فاصله بازو ≈ 2 درجه ≈ 120 دقیقه قوسی عرض دارد.
- **منفی = در جهت عقربههای ساعت**: زوایای مثبت در خلاف جهت عقربههای ساعت. -90 درجه = 270 درجه در جهت عقربههای ساعت.
- **پیچیدن پیمانهای**: 360 درجه را آزادانه اضافه/کم کنید. 370 درجه = 10 درجه، -90 درجه = 270 درجه.
- **دایره واحد**: cos = x، sin = y. شعاع = 1. اساسی برای مثلثات!
- **نماد علمی خودکار**: مقادیر < 0.000001 درجه یا > 1,000,000,000 درجه برای خوانایی به صورت نماد علمی نمایش داده میشوند (برای میکروثانیههای قوسی ضروری است!).
مرجع واحدها
واحدهای رایج
| واحد | نماد | درجه | یادداشتها |
|---|---|---|---|
| درجه | ° | 1° (base) | واحد پایه؛ 360 درجه = دایره. استاندارد جهانی. |
| رادیان | rad | 57.2958° | واحد طبیعی؛ 2π رادیان = دایره. برای حساب دیفرانسیل و انتگرال لازم است. |
| گرادیان (گون) | grad | 900.000000 m° | زاویه متریک؛ 400 گرادیان = دایره. نقشهبرداری (اروپا). |
| دور (انقلاب) | turn | 360.0000° | چرخش کامل؛ 1 دور = 360 درجه. مفهوم ساده. |
| انقلاب | rev | 360.0000° | مانند دور؛ 1 چرخش = 360 درجه. مکانیکی. |
| دایره | circle | 360.0000° | چرخش کامل؛ 1 دایره = 360 درجه. |
| زاویه قائمه (ربع) | ∟ | 90.0000° | یک چهارم چرخش؛ 90 درجه. خطوط عمود. |
دقایق قوسی و ثانیههای قوسی
| واحد | نماد | درجه | یادداشتها |
|---|---|---|---|
| دقیقه قوس (آرکدقیقه) | ′ | 16.666667 m° | دقیقه قوسی؛ 1 دقیقه قوسی = 1/60 درجه. نجوم، ناوبری. |
| ثانیه قوس (آرکثانیه) | ″ | 277.777778 µ° | ثانیه قوسی؛ 1 ثانیه قوسی = 1/3600 درجه. نجوم دقیق. |
| میلیآرکثانیه | mas | 2.778e-7° | 0.001 ثانیه قوسی. دقت هابل (وضوح ~50 میلیثانیه قوسی). |
| میکروآرکثانیه | µas | 2.778e-10° | 0.000001 ثانیه قوسی. دقت ماهواره Gaia. فوقالعاده دقیق. |
ناوبری و نظامی
| واحد | نماد | درجه | یادداشتها |
|---|---|---|---|
| نقطه (قطبنما) | point | 11.2500° | 32 نقطه؛ 1 نقطه = 11.25 درجه. ناوبری سنتی. |
| میل (ناتو) | mil | 56.250000 m° | 6400 در هر دایره؛ 1 میل ≈ 1 متر در 1 کیلومتر. استاندارد نظامی. |
| میل (اتحاد جماهیر شوروی) | mil USSR | 60.000000 m° | 6000 در هر دایره. استاندارد نظامی روسی/شوروی. |
| میل (سوئد) | streck | 57.142857 m° | 6300 در هر دایره. استاندارد نظامی اسکاندیناوی. |
| درجه باینری | brad | 1.4063° | 256 در هر دایره؛ 1 براد ≈ 1.406 درجه. گرافیک کامپیوتری. |
نجوم و سماوی
| واحد | نماد | درجه | یادداشتها |
|---|---|---|---|
| زاویه ساعتی | h | 15.0000° | 24 ساعت = 360 درجه؛ 1 ساعت = 15 درجه. مختصات آسمانی (RA). |
| دقیقه زمانی | min | 250.000000 m° | 1 دقیقه = 15 دقیقه قوسی = 0.25 درجه. زاویه مبتنی بر زمان. |
| ثانیه زمانی | s | 4.166667 m° | 1 ثانیه = 15 ثانیه قوسی ≈ 0.00417 درجه. زاویه زمانی دقیق. |
| علامت (زودیاک) | sign | 30.0000° | علامت زودیاک؛ 12 علامت = 360 درجه؛ 1 علامت = 30 درجه. طالعبینی. |
تخصصی و مهندسی
| واحد | نماد | درجه | یادداشتها |
|---|---|---|---|
| سکستانت | sextant | 60.0000° | 1/6 دایره؛ 60 درجه. تقسیم هندسی. |
| اکتانت | octant | 45.0000° | 1/8 دایره؛ 45 درجه. تقسیم هندسی. |
| ربع | quadrant | 90.0000° | 1/4 دایره؛ 90 درجه. مانند زاویه قائمه. |
| درصد شیب (شیب) | % | formula | درصد شیب؛ arctan(شیب/100) = زاویه. مهندسی. |
سوالات متداول
چه زمانی از درجه و چه زمانی از رادیان استفاده کنیم؟
از درجه برای: زوایای روزمره، ناوبری، نقشهبرداری، ساخت و ساز استفاده کنید. از رادیان برای: حساب دیفرانسیل و انتگرال، معادلات فیزیک، برنامهنویسی (توابع مثلثاتی) استفاده کنید. رادیان 'طبیعی' است زیرا طول کمان = شعاع × زاویه. مشتقاتی مانند d/dx(sin x) = cos x فقط در رادیان کار میکنند!
چرا π رادیان دقیقاً 180 درجه است؟
محیط دایره = 2πr. نیم دایره (خط مستقیم) = πr. رادیان به عنوان طول کمان/شعاع تعریف میشود. برای نیم دایره: کمان = πr، شعاع = r، بنابراین زاویه = πr/r = π رادیان. بنابراین، π رادیان = 180 درجه بنا به تعریف.
چگونه درصد شیب را به زاویه تبدیل کنیم؟
از arctan استفاده کنید: زاویه = arctan(شیب/100). مثال: 10% شیب = arctan(0.1) ≈ 5.71 درجه. فقط ضرب نکنید! 10% ≠ 10 درجه. برعکس: شیب = tan(زاویه) × 100. 45 درجه = tan(45 درجه) × 100 = 100% شیب.
تفاوت بین دقیقه قوسی و دقیقه زمانی چیست؟
دقیقه قوسی (′) = 1/60 درجه (زاویه). دقیقه زمانی = 1/60 ساعت (زمان). کاملاً متفاوت! در نجوم، 'دقیقه زمانی' به زاویه تبدیل میشود: 1 دقیقه = 15 دقیقه قوسی (زیرا 24 ساعت = 360 درجه، بنابراین 1 دقیقه = 360 درجه/1440 = 0.25 درجه = 15 دقیقه قوسی).
چرا کشورهای مختلف از میلهای متفاوتی استفاده میکنند؟
میل طوری طراحی شده است که 1 میل ≈ 1 متر در 1 کیلومتر (بالستیک عملی). میلیرادیان ریاضی واقعی = 1/1000 رادیان ≈ 6283 در هر دایره. NATO آن را به 6400 ساده کرد (توان 2، به خوبی تقسیم میشود). شوروی از 6000 استفاده میکرد (بر 10 بخشپذیر است). سوئد 6300 (سازش). همه به 2π×1000 نزدیک هستند.
آیا زوایا میتوانند منفی باشند؟
بله! مثبت = در خلاف جهت عقربههای ساعت (قرارداد ریاضی). منفی = در جهت عقربههای ساعت. -90 درجه = 270 درجه (همان موقعیت، جهت متفاوت). در ناوبری، از محدوده 0-360 درجه استفاده کنید. در ریاضیات/فیزیک، زوایای منفی رایج هستند. مثال: -π/2 = -90 درجه = 270 درجه.
فهرست کامل ابزارها
همه 71 ابزار موجود در UNITS