Un angle mesura la rotació o gir entre dues línies. Pensa en obrir una porta o girar una roda. Es mesura en graus (°), radians (rad) o gradians. 360° = cercle complet = una rotació completa.

• Angle = quantitat de rotació
• Cercle complet = 360° = 2π rad
• Angle recte = 90° = π/2 rad
• Línia recta = 180° = π rad

Graus: cercle dividit en 360 parts (històric). Radians: basat en el radi del cercle. 2π radians = 360°. Els radians són 'naturals' per a les matemàtiques/física. π rad = 180°, així que 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (cercle complet)
• 180° = π rad (mig cercle)
• 90° = π/2 rad (angle recte)
• 1 rad ≈ 57.2958° (conversió)

Gradian: 100 grad = 90° (angle mètric). Minut/segon d'arc: subdivisions del grau (astronomia). Mil·lèsima: navegació militar (6400 mil·lèsimes = cercle). Cada unitat per a una aplicació específica.

• Gradian: 400 grad = cercle
• Minut d'arc: 1′ = 1/60°
• Segon d'arc: 1″ = 1/3600°
• Mil·lèsima (NATO): 6400 mil·lèsimes = cercle

360° per cercle (origen babilònic - ~360 dies/any). Subdividit: 1° = 60′ (minuts d'arc) = 3600″ (segons d'arc). Universal per a la navegació, topografia i ús quotidià.

• 360° = cercle complet
• 1° = 60 minuts d'arc (′)
• 1′ = 60 segons d'arc (″)
• Fàcil per als humans, històric

Radian: longitud de l'arc = radi. 2π rad = circumferència del cercle/radi. Natural per al càlcul (derivades de sin, cos). Estàndard en física i enginyeria. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exacte)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Natural per a les matemàtiques/física

Gradian: 400 grad = cercle (angle mètric). 100 grad = angle recte. Mil·lèsima: navegació militar - l'OTAN utilitza 6400 mil·lèsimes. L'URSS n'utilitzava 6000. Existeixen diferents estàndards.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (angle recte)
• Mil·lèsima (NATO): 6400 per cercle
• Mil·lèsima (URSS): 6000 per cercle

rad = grau × π/180. grau = rad × 180/π. grad = grau × 10/9. Utilitza sempre radians en el càlcul! Les funcions trigonomètriques necessiten radians per a les derivades.

• rad = grau × (π/180)
• grau = rad × (180/π)
• grad = grau × (10/9)
• El càlcul requereix radians

sin, cos, tan relacionen angles amb ràtios. Cercle unitari: radi=1, angle=θ. Coordenades del punt: (cos θ, sin θ). Essencial per a la física, l'enginyeria i els gràfics.

• sin θ = oposat/hipotenusa
• cos θ = adjacent/hipotenusa
• tan θ = oposat/adjacent
• Cercle unitari: (cos θ, sin θ)

Els angles se sumen/resten normalment. 45° + 45° = 90°. Rotació completa: suma/resta 360° (o 2π). Aritmètica modular per a l'embolcall: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (suma normal)
• Embolcall: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Angles negatius: -90° = 270°

Marcacions de la brúixola: 0°=Nord, 90°=Est, 180°=Sud, 270°=Oest. Els militars utilitzen mil·lèsimes per a la precisió. La brúixola té 32 rumbs (11.25° cadascun). El GPS utilitza graus decimals.

• Marcacions: 0-360° des del Nord
• Mil·lèsima NATO: 6400 per cercle
• Rumbs de la brúixola: 32 (11.25° cadascun)
• GPS: graus decimals

Posicions estel·lars: precisió de segons d'arc. Paral·laxi: mil·lisegons d'arc. Hubble: resolució de ~50 mas. Satèl·lit Gaia: precisió de microsegons d'arc. Angle horari: 24h = 360°.

• Segon d'arc: posicions estel·lars
• Mil·lisegon d'arc: paral·laxi, VLBI
• Microsegon d'arc: satèl·lit Gaia
• Angle horari: 15°/hora

Pendent: percentatge de pendent o angle. 10% de pendent ≈ 5.7°. El disseny de carreteres utilitza percentatges. La topografia utilitza graus/minuts/segons. El sistema de gradians per a països mètrics.

• Pendent: % o graus
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Topografia: GMS (grau-minut-segon)
• Gradian: topografia mètrica

rad = grau × π/180. grau = rad × 180/π. Ràpid: 180° = π rad, així que divideix/multiplica per aquesta ràtio.

• rad = grau × 0.01745
• grau = rad × 57.2958
• π rad = 180° (exacte)
• 2π rad = 360° (exacte)

angle = arctan(pendent/100). 10% de pendent = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Invers: pendent = tan(angle) × 100.

• θ = arctan(pendent/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Molt pendent: 100% = 45°

1° = 60′ (minut d'arc). 1′ = 60″ (segon d'arc). Total: 1° = 3600″. Subdivisió ràpida per a la precisió.

• 1° = 60 minuts d'arc
• 1′ = 60 segons d'arc
• 1° = 3600 segons d'arc
• GMS: graus-minuts-segons

Una carretera té un pendent del 8%. Quin és l'angle?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Un pendent relativament suau!

Navega amb una marcació de 135°. Quina direcció de la brúixola és?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=O. 135° està entre E (90°) i S (180°). Direcció: Sud-est (SE).

Una estrella s'ha mogut 0.5 segons d'arc. Quants graus són?

1″ = 1/3600°. Així que 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Un moviment minúscul!

Els babilonis utilitzaven un sistema sexagesimal (base 60). 360 té molts divisors (24 factors!). Coincideix aproximadament amb els 360 dies d'un any. Convenient per a l'astronomia i el cronometratge. També es divideix exactament per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

El radian es defineix per longitud d'arc = radi. Fa que el càlcul sigui bonic: d/dx(sin x) = cos x (només en radians!). En graus, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (embolicat). La natura 'utilitza' radians!

Angle mètric: 100 grad = angle recte. Es va intentar durant la Revolució Francesa amb el sistema mètric. Mai va ser popular—els graus estaven massa arrelats. Encara s'utilitza en algunes tasques de topografia (Suïssa, nord d'Europa). Les calculadores tenen un mode 'grad'!

1 mil·lisegon d'arc ≈ l'amplada d'un cabell humà vist des de 10 km de distància! El Telescopi Espacial Hubble pot resoldre ~50 mas. Precisió increïble per a l'astronomia. S'utilitza per mesurar la paral·laxi estel·lar, estrelles binàries.

Mil·lèsima militar: 1 mil·lèsima ≈ 1 m d'amplada a 1 km de distància (NATO: 1.02 m, prou a prop). Càlcul mental fàcil per a l'estimació de l'abast. Diferents països utilitzen diferents mil·lèsimes (6000, 6300, 6400 per cercle). Unitat balística pràctica!

90 = 360/4 (quart de volta). Però 'recte' prové del llatí 'rectus' = dret, recte. L'angle recte fa línies perpendiculars. Essencial per a la construcció—els edificis necessiten angles rectes per mantenir-se dempeus!

Els babilonis utilitzaven un sistema numèric sexagesimal (base 60) per a l'astronomia i el cronometratge. Van dividir el cercle en 360 parts perquè 360 ≈ dies en un any (en realitat 365.25), i 360 té 24 divisors—increïblement convenient per a les fraccions.

Aquest sistema de base 60 persisteix avui: 60 segons per minut, 60 minuts per hora i per grau. El número 360 es factoritza com 2³ × 3² × 5, dividint-se exactament per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—el somni d'una calculadora!

• 2000 aC: Els astrònoms babilonis segueixen les posicions celestes en graus
• 360° escollit per la seva divisibilitat i l'aproximació a l'any
• La base 60 ens dóna les hores (24 = 360/15) i els minuts/segons
• Els astrònoms grecs adopten el 360° de les taules babilòniques

Els Elements d'Euclides (300 aC) van formalitzar la geometria dels angles—angles rectes (90°), complementaris (sumen 90°), suplementaris (sumen 180°). Matemàtics grecs com Hiparc van crear la trigonometria utilitzant taules basades en graus per a l'astronomia i la topografia.

Els navegants medievals utilitzaven l'astrolabi i la brúixola amb 32 rumbs (cadascun 11.25°). Els mariners necessitaven marcacions precises; els minuts d'arc (1/60°) i els segons d'arc (1/3600°) van sorgir per als catàlegs estel·lars i les cartes nàutiques.

• 300 aC: Els Elements d'Euclides defineixen els angles geomètrics
• 150 aC: Hiparc crea les primeres taules trigonomètriques (graus)
• Segle XIII: L'astrolabi utilitza marques en graus per a la navegació celeste
• 1569: La projecció de Mercator requereix matemàtiques que conservin els angles

A mesura que Newton i Leibniz desenvolupaven el càlcul (dècada de 1670), els graus es van tornar problemàtics: d/dx(sin x) = (π/180)cos x en graus—una constant lletja! Roger Cotes (1682-1716) i Leonhard Euler van formalitzar el radian: angle = longitud de l'arc / radi. Ara d/dx(sin x) = cos x de manera bonica.

James Thomson va encunyar el terme 'radian' el 1873 (del llatí 'radius'). El radian es va convertir en LA unitat per a l'anàlisi matemàtica, la física i l'enginyeria. No obstant això, els graus van persistir en la vida quotidiana perquè els humans prefereixen els nombres enters a π.

• Dècada de 1670: El càlcul revela que els graus creen fórmules desordenades
• 1714: Roger Cotes desenvolupa la 'mesura circular' (pre-radian)
• 1748: Euler utilitza àmpliament els radians en l'anàlisi
• 1873: Thomson l'anomena 'radian'; es converteix en l'estàndard matemàtic

L'artilleria de la Primera Guerra Mundial exigia unitats d'angle pràctiques: va néixer la mil·lèsima—1 mil·lèsima ≈ 1 metre de desviació a 1 km de distància. L'OTAN va estandarditzar 6400 mil·lèsimes/cercle (una potència de 2 agradable), mentre que l'URSS en va utilitzar 6000 (conveniència decimal). El mil·liradian veritable = 6283/cercle.

L'astronomia de l'era espacial va assolir una precisió de mil·lisegons d'arc (Hipparcos, 1989), i després de microsegons d'arc (Gaia, 2013). Gaia mesura la paral·laxi estel·lar fins a 20 microsegons d'arc—equivalent a veure un cabell humà des de 1.000 km de distància! La física moderna utilitza radians universalment; només la navegació i la construcció encara afavoreixen els graus.

• 1916: L'artilleria militar adopta la mil·lèsima per als càlculs d'abast
• 1960: El SI reconeix el radian com a unitat derivada coherent
• 1989: Satèl·lit Hipparcos: precisió de ~1 mil·lisegon d'arc
• 2013: Satèl·lit Gaia: precisió de 20 microsegons d'arc—mapeja 1.000 milions d'estrelles

Utilitza graus per a: angles quotidians, navegació, topografia, construcció. Utilitza radians per a: càlcul, equacions de física, programació (funcions trigonomètriques). Els radians són 'naturals' perquè la longitud de l'arc = radi × angle. Les derivades com d/dx(sin x) = cos x només funcionen en radians!

Circumferència del cercle = 2πr. Mig cercle (línia recta) = πr. El radian es defineix com a longitud de l'arc/radi. Per a mig cercle: arc = πr, radi = r, així que l'angle = πr/r = π radians. Per tant, π rad = 180° per definició.

Utilitza arctan: angle = arctan(pendent/100). Exemple: 10% de pendent = arctan(0.1) ≈ 5.71°. NO només multiplicant! 10% ≠ 10°. Invers: pendent = tan(angle) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% de pendent.

Minut d'arc (′) = 1/60 d'un grau (angle). Minut de temps = 1/60 d'una hora (temps). Completament diferents! En astronomia, 'minut de temps' es converteix a angle: 1 min = 15 minuts d'arc (perquè 24h = 360°, així que 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

La mil·lèsima es va dissenyar perquè 1 mil·lèsima ≈ 1 metre a 1 km (balística pràctica). El mil·liradian matemàtic veritable = 1/1000 rad ≈ 6283 per cercle. L'OTAN ho va simplificar a 6400 (potència de 2, es divideix bé). L'URSS va utilitzar 6000 (es divideix per 10). Suècia 6300 (compromís). Totes són properes a 2π×1000.

Sí! Positiu = sentit antihorari (convenció matemàtica). Negatiu = sentit horari. -90° = 270° (mateixa posició, direcció diferent). En navegació, utilitza el rang 0-360°. En matemàtiques/física, els angles negatius són comuns. Exemple: -π/2 = -90° = 270°.