각도는 두 선 사이의 회전 또는 방향 전환을 측정합니다. 문을 열거나 바퀴를 돌리는 것을 생각해보세요. 도(°), 라디안(rad), 또는 그레이디언으로 측정됩니다. 360° = 완전한 원 = 한 번의 완전한 회전.

• 각도 = 회전량
• 완전한 원 = 360° = 2π rad
• 직각 = 90° = π/2 rad
• 직선 = 180° = π rad

도: 원을 360개의 부분으로 나눈 것(역사적). 라디안: 원의 반지름에 기반. 2π 라디안 = 360°. 라디안은 수학/물리학에 '자연스럽습니다'. π rad = 180°, 따라서 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (완전한 원)
• 180° = π rad (반원)
• 90° = π/2 rad (직각)
• 1 rad ≈ 57.2958° (변환)

그레이디언: 100 grad = 90° (미터법 각도). 분각/초각: 도의 하위 단위 (천문학). 밀: 군사 항해 (6400 밀 = 원). 각 단위는 특정 용도에 사용됩니다.

• 그레이디언: 400 grad = 원
• 분각: 1′ = 1/60°
• 초각: 1″ = 1/3600°
• 밀 (NATO): 6400 밀 = 원

원당 360° (바빌로니아 기원 - 약 360일/년). 세분화: 1° = 60′ (분각) = 3600″ (초각). 항해, 측량, 일상 생활에서 보편적으로 사용됩니다.

• 360° = 완전한 원
• 1° = 60 분각 (′)
• 1′ = 60 초각 (″)
• 인간에게 쉽고, 역사적임

라디안: 호의 길이 = 반지름. 2π rad = 원주/반지름. 미적분학(sin, cos의 도함수)에 자연스러움. 물리학, 공학 표준. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (정확)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• 수학/물리학에 자연스러움

그레이디언: 400 grad = 원 (미터법 각도). 100 grad = 직각. 밀: 군사 항해 - NATO는 6400 밀을 사용합니다. 소련은 6000을 사용했습니다. 다른 표준이 존재합니다.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (직각)
• 밀 (NATO): 원당 6400
• 밀 (소련): 원당 6000

rad = 도 × π/180. 도 = rad × 180/π. grad = 도 × 10/9. 미적분학에서는 항상 라디안을 사용하세요! 삼각함수는 도함수를 위해 라디안이 필요합니다.

• rad = 도 × (π/180)
• 도 = rad × (180/π)
• grad = 도 × (10/9)
• 미적분학은 라디안을 필요로 함

sin, cos, tan은 각도를 비율과 관련시킵니다. 단위 원: 반지름=1, 각도=θ. 점의 좌표: (cos θ, sin θ). 물리학, 공학, 그래픽에 필수적입니다.

• sin θ = 대변/빗변
• cos θ = 인접변/빗변
• tan θ = 대변/인접변
• 단위 원: (cos θ, sin θ)

각도는 정상적으로 더하거나 뺍니다. 45° + 45° = 90°. 완전한 회전: 360° (또는 2π)를 더하거나 뺍니다. 래핑을 위한 모듈러 산술: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (정상적인 덧셈)
• 래핑: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• 음의 각도: -90° = 270°

나침반 방위: 0°=북, 90°=동, 180°=남, 270°=서. 군대는 정밀도를 위해 밀을 사용합니다. 나침반에는 32개의 방위점이 있습니다(각 11.25°). GPS는 십진법 도를 사용합니다.

• 방위: 북쪽에서 0-360°
• NATO 밀: 원당 6400
• 나침반 방위점: 32 (각 11.25°)
• GPS: 십진법 도

별의 위치: 초각 정밀도. 시차: 밀리초각. 허블: 약 50 mas 해상도. 가이아 위성: 마이크로초각 정밀도. 시간각: 24h = 360°.

• 초각: 별의 위치
• 밀리초각: 시차, VLBI
• 마이크로초각: 가이아 위성
• 시간각: 15°/시간

경사도: 퍼센트 등급 또는 각도. 10% 등급 ≈ 5.7°. 도로 설계는 퍼센트를 사용합니다. 측량은 도/분/초를 사용합니다. 미터법 국가에서는 그레이디언 시스템을 사용합니다.

• 경사도: % 또는 도
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• 측량: DMS (도-분-초)
• 그레이디언: 미터법 측량

rad = 도 × π/180. 도 = rad × 180/π. 빠른 방법: 180° = π rad, 이 비율로 나누거나 곱합니다.

• rad = 도 × 0.01745
• 도 = rad × 57.2958
• π rad = 180° (정확)
• 2π rad = 360° (정확)

각도 = arctan(경사도/100). 10% 경사도 = arctan(0.1) ≈ 5.71°. 반대: 경사도 = tan(각도) × 100.

• θ = arctan(등급/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• 가파름: 100% = 45°

1° = 60′ (분각). 1′ = 60″ (초각). 총: 1° = 3600″. 정밀도를 위한 빠른 세분화.

• 1° = 60 분각
• 1′ = 60 초각
• 1° = 3600 초각
• DMS: 도-분-초

도로의 경사도는 8%입니다. 각도는 얼마인가요?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. 비교적 완만한 경사입니다!

135° 방위로 항해하세요. 나침반의 어느 방향인가요?

0°=북, 90°=동, 180°=남, 270°=서. 135°는 동(90°)과 남(180°) 사이입니다. 방향: 남동 (SE).

별이 0.5초각 움직였습니다. 몇 도인가요?

1″ = 1/3600°. 따라서 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. 아주 작은 움직임입니다!

바빌로니아인들은 60진법(sexagesimal) 체계를 사용했습니다. 360에는 많은 약수가 있습니다(24개의 인수!). 1년의 약 360일과 거의 일치합니다. 천문학과 시간 기록에 편리합니다. 또한 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...로 나누어 떨어집니다.

라디안은 호의 길이 = 반지름으로 정의됩니다. 이는 미적분학을 아름답게 만듭니다: d/dx(sin x) = cos x (라디안에서만!). 도에서는 d/dx(sin x) = (π/180)cos x (지저분함). 자연은 라디안을 '사용'합니다!

미터법 각도: 100 그레이디언 = 직각. 프랑스 혁명 당시 미터법 체계와 함께 시도되었습니다. 결코 인기를 얻지 못했습니다—도가 너무 뿌리 깊었습니다. 일부 측량 작업(스위스, 북유럽)에서는 여전히 사용됩니다. 계산기에는 'grad' 모드가 있습니다!

1 밀리초각 ≈ 10km 떨어진 곳에서 본 사람 머리카락의 폭! 허블 우주 망원경은 약 50 mas를 분해할 수 있습니다. 천문학에 놀라운 정밀도입니다. 항성 시차, 쌍성 측정에 사용됩니다.

군용 밀: 1 밀 ≈ 1km 거리에서 1m 폭 (NATO: 1.02m, 충분히 가까움). 거리 추정을 위한 쉬운 암산. 다른 국가들은 다른 밀을 사용합니다(원당 6000, 6300, 6400). 실용적인 탄도 단위입니다!

90 = 360/4 (1/4 회전). 하지만 '직'은 라틴어 'rectus' = 똑바로 선, 곧은에서 유래했습니다. 직각은 수직선을 만듭니다. 건축에 필수적입니다—건물이 서 있으려면 직각이 필요합니다!

바빌로니아인들은 천문학과 시간 기록에 60진법(sexagesimal) 수 체계를 사용했습니다. 그들이 원을 360개의 부분으로 나눈 이유는 360이 1년의 날 수와 거의 같고(실제로는 365.25일), 360에는 24개의 약수가 있어 분수에 매우 편리했기 때문입니다.

이 60진법 체계는 오늘날까지 지속됩니다: 분당 60초, 시간당 및 도당 60분. 숫자 360은 2³ × 3² × 5로 인수분해되며, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180으로 나누어 떨어집니다—계산기의 꿈입니다!

• 기원전 2000년: 바빌로니아 천문학자들이 천체의 위치를 도로 추적
• 360°는 나눗셈 가능성과 약 1년 근사치 때문에 선택됨
• 60진법은 우리에게 시간(24 = 360/15)과 분/초를 제공
• 그리스 천문학자들이 바빌로니아 표에서 360°를 채택

유클리드의 '원론'(기원전 300년)은 각도 기하학을 공식화했습니다—직각(90°), 여각(합계 90°), 보각(합계 180°). 히파르코스와 같은 그리스 수학자들은 천문학과 측량을 위해 도 기반 표를 사용하여 삼각법을 만들었습니다.

중세 항해사들은 32개의 방위점이 있는 아스트롤라베와 나침반을 사용했습니다(각 11.25°). 선원들은 정확한 방위가 필요했습니다. 항성 목록과 해도에는 분각(1/60°)과 초각(1/3600°)이 등장했습니다.

• 기원전 300년: 유클리드의 '원론'이 기하학적 각도를 정의
• 기원전 150년: 히파르코스가 첫 번째 삼각함수 표를 만듦(도)
• 1200년대: 아스트롤라베가 천체 항해에 도 표시를 사용
• 1569년: 메르카토르 도법은 각도 보존 수학을 필요로 함

뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 개발하면서(1670년대), 도는 문제가 되었습니다: 도에서 d/dx(sin x) = (π/180)cos x—추한 상수! 로저 코츠(1682-1716)와 레온하르트 오일러는 라디안을 공식화했습니다: 각도 = 호의 길이 / 반지름. 이제 d/dx(sin x) = cos x가 아름답습니다.

제임스 톰슨은 1873년에 '라디안'이라는 용어를 만들었습니다(라틴어 'radius'에서 유래). 라디안은 수학적 분석, 물리학, 공학의 단위가 되었습니다. 그러나 사람들은 π보다 정수를 선호했기 때문에 도는 일상 생활에서 계속 사용되었습니다.

• 1670년대: 미적분학은 도가 지저분한 공식을 만든다는 것을 밝힘
• 1714년: 로저 코츠가 '원형 측정'(라디안 이전)을 개발
• 1748년: 오일러가 분석에서 라디안을 광범위하게 사용
• 1873년: 톰슨이 '라디안'이라고 명명하고 수학 표준이 됨

제1차 세계 대전 포병은 실용적인 각도 단위를 요구했습니다: 밀이 탄생했습니다—1 밀 ≈ 1km 거리에서 1미터 편차. NATO는 6400 밀/원을 표준화했지만(2의 좋은 거듭제곱), 소련은 6000을 사용했습니다(십진법 편의성). 실제 밀리라디안 = 6283/원.

우주 시대 천문학은 밀리초각 정밀도(히파르코스, 1989년), 그 다음에는 마이크로초각(가이아, 2013년)을 달성했습니다. 가이아는 20 마이크로초각까지 항성 시차를 측정합니다—이는 1,000km 떨어진 곳에서 사람 머리카락을 보는 것과 같습니다! 현대 물리학은 라디안을 보편적으로 사용하며, 항해와 건설만이 여전히 도를 선호합니다.

• 1916년: 군 포병이 거리 계산에 밀을 채택
• 1960년: SI가 라디안을 일관된 유도 단위로 인정
• 1989년: 히파르코스 위성: 약 1 밀리초각 정밀도
• 2013년: 가이아 위성: 20 마이크로초각 정밀도—10억 개의 별을 지도화

일상적인 각도, 항해, 측량, 건설에는 도를 사용하세요. 미적분학, 물리학 방정식, 프로그래밍(삼각함수)에는 라디안을 사용하세요. 라디안은 호의 길이 = 반지름 × 각도이므로 '자연스럽습니다'. d/dx(sin x) = cos x와 같은 도함수는 라디안에서만 작동합니다!

원의 둘레 = 2πr. 반원(직선) = πr. 라디안은 호의 길이/반지름으로 정의됩니다. 반원의 경우: 호 = πr, 반지름 = r, 따라서 각도 = πr/r = π 라디안. 따라서 정의에 의해 π rad = 180°입니다.

arctan을 사용하세요: 각도 = arctan(등급/100). 예시: 10% 등급 = arctan(0.1) ≈ 5.71°. 단순히 곱하지 마세요! 10% ≠ 10°. 반대: 등급 = tan(각도) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% 등급.

분각(′) = 도의 1/60 (각도). 시간 분 = 시간의 1/60 (시간). 완전히 다릅니다! 천문학에서는 '시간 분'을 각도로 변환합니다: 1분 = 15분각 (24h = 360°이므로, 1분 = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

밀은 1 밀 ≈ 1km에서 1미터 (실용적인 탄도학)가 되도록 설계되었습니다. 실제 수학적 밀리라디안 = 1/1000 rad ≈ 원당 6283. NATO는 이를 6400으로 단순화했습니다(2의 거듭제곱, 나누기 쉬움). 소련은 6000을 사용했습니다(10으로 나누어 떨어짐). 스웨덴은 6300 (타협). 모두 2π×1000에 가깝습니다.

네! 양수 = 반시계 방향 (수학적 관례). 음수 = 시계 방향. -90° = 270° (같은 위치, 다른 방향). 항해에서는 0-360° 범위를 사용하세요. 수학/물리학에서는 음의 각도가 일반적입니다. 예시: -π/2 = -90° = 270°.