ખૂણા પરિવર્તક
ખૂણો — ડિગ્રીથી માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ્સ સુધી
ગણિત, ખગોળશાસ્ત્ર, નેવિગેશન અને ઇજનેરીમાં ખૂણાના એકમો પર નિપુણતા મેળવો. ડિગ્રીથી રેડિયન સુધી, આર્કમિનિટથી મિલ સુધી, પરિભ્રમણ અને વાસ્તવિક એપ્લિકેશન્સમાં સંખ્યાઓનો અર્થ શું છે તે સમજો.
ખૂણાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો
ખૂણો શું છે?
ખૂણો બે રેખાઓ વચ્ચેના પરિભ્રમણ અથવા વળાંકને માપે છે. દરવાજો ખોલવા અથવા પૈડું ફેરવવાનું વિચારો. તેને ડિગ્રી (°), રેડિયન (rad), અથવા ગ્રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે. 360° = સંપૂર્ણ વર્તુળ = એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ.
- ખૂણો = પરિભ્રમણનો જથ્થો
- સંપૂર્ણ વર્તુળ = 360° = 2π rad
- કાટખૂણો = 90° = π/2 rad
- સીધી રેખા = 180° = π rad
ડિગ્રી વિરુદ્ધ રેડિયન
ડિગ્રી: વર્તુળને 360 ભાગોમાં વિભાજીત કરવામાં આવે છે (ઐતિહાસિક). રેડિયન: વર્તુળની ત્રિજ્યા પર આધારિત. 2π રેડિયન = 360°. રેડિયન ગણિત/ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે 'કુદરતી' છે. π rad = 180°, તેથી 1 rad ≈ 57.3°.
- 360° = 2π rad (સંપૂર્ણ વર્તુળ)
- 180° = π rad (અર્ધ વર્તુળ)
- 90° = π/2 rad (કાટખૂણો)
- 1 rad ≈ 57.2958° (રૂપાંતર)
અન્ય ખૂણાના એકમો
ગ્રેડિયન: 100 grad = 90° (મેટ્રિક ખૂણો). આર્કમિનિટ/આર્કસેકન્ડ: ડિગ્રીના પેટાવિભાગો (ખગોળશાસ્ત્ર). મિલ: લશ્કરી નેવિગેશન (6400 મિલ = વર્તુળ). દરેક એકમ ચોક્કસ એપ્લિકેશન માટે છે.
- ગ્રેડિયન: 400 grad = વર્તુળ
- આર્કમિનિટ: 1′ = 1/60°
- આર્કસેકન્ડ: 1″ = 1/3600°
- મિલ (NATO): 6400 મિલ = વર્તુળ
- સંપૂર્ણ વર્તુળ = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (અર્ધ વર્તુળ)
- 1 rad ≈ 57.3°, 1° ≈ 0.01745 rad
- રેડિયન કેલ્ક્યુલસ/ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે કુદરતી છે
એકમ પ્રણાલીઓ સમજાવી
ડિગ્રી પ્રણાલી
વર્તુળ દીઠ 360° (બેબીલોનીયન મૂળ - ~360 દિવસ/વર્ષ). પેટાવિભાજીત: 1° = 60′ (આર્કમિનિટ) = 3600″ (આર્કસેકન્ડ). નેવિગેશન, સર્વેક્ષણ, રોજિંદા ઉપયોગ માટે સાર્વત્રિક.
- 360° = સંપૂર્ણ વર્તુળ
- 1° = 60 આર્કમિનિટ (′)
- 1′ = 60 આર્કસેકન્ડ (″)
- માનવો માટે સરળ, ઐતિહાસિક
રેડિયન પ્રણાલી
રેડિયન: ચાપની લંબાઈ = ત્રિજ્યા. 2π rad = વર્તુળનો પરિઘ/ત્રિજ્યા. કેલ્ક્યુલસ (sin, cos ના ડેરિવેટિવ્સ) માટે કુદરતી. ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇજનેરી ધોરણ. π rad = 180°.
- 2π rad = 360° (ચોક્કસ)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57.2958°
- ગણિત/ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે કુદરતી
ગ્રેડિયન અને લશ્કરી
ગ્રેડિયન: 400 grad = વર્તુળ (મેટ્રિક ખૂણો). 100 grad = કાટખૂણો. મિલ: લશ્કરી નેવિગેશન - NATO 6400 મિલનો ઉપયોગ કરે છે. USSR 6000નો ઉપયોગ કરતું હતું. વિવિધ ધોરણો અસ્તિત્વમાં છે.
- 400 grad = 360°
- 100 grad = 90° (કાટખૂણો)
- મિલ (NATO): વર્તુળ દીઠ 6400
- મિલ (USSR): વર્તુળ દીઠ 6000
ખૂણાનું ગણિત
મુખ્ય રૂપાંતરણો
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. કેલ્ક્યુલસમાં હંમેશા રેડિયનનો ઉપયોગ કરો! ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને ડેરિવેટિવ્સ માટે રેડિયનની જરૂર પડે છે.
- rad = deg × (π/180)
- deg = rad × (180/π)
- grad = deg × (10/9)
- કેલ્ક્યુલસને રેડિયનની જરૂર છે
ત્રિકોણમિતિ
sin, cos, tan ખૂણાઓને ગુણોત્તર સાથે સંબંધિત કરે છે. એકમ વર્તુળ: ત્રિજ્યા=1, ખૂણો=θ. બિંદુના યામ: (cos θ, sin θ). ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇજનેરી, ગ્રાફિક્સ માટે આવશ્યક.
- sin θ = સામેની બાજુ/કર્ણ
- cos θ = પાસેની બાજુ/કર્ણ
- tan θ = સામેની બાજુ/પાસેની બાજુ
- એકમ વર્તુળ: (cos θ, sin θ)
ખૂણાનો સરવાળો
ખૂણાઓ સામાન્ય રીતે ઉમેરવામાં/બાદ કરવામાં આવે છે. 45° + 45° = 90°. સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ: 360° (અથવા 2π) ઉમેરો/બાદ કરો. રેપિંગ માટે મોડ્યુલો અંકગણિત: 370° = 10°.
- θ₁ + θ₂ (સામાન્ય સરવાળો)
- રેપ: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- ઋણ ખૂણા: -90° = 270°
સામાન્ય ખૂણા
| ખૂણો | ડિગ્રી | રેડિયન | નોંધો |
|---|---|---|---|
| શૂન્ય | 0° | 0 rad | કોઈ પરિભ્રમણ નથી |
| લઘુ | 30° | π/6 | સમભુજ ત્રિકોણ |
| લઘુ | 45° | π/4 | અડધો કાટખૂણો |
| લઘુ | 60° | π/3 | સમભુજ ત્રિકોણ |
| કાટખૂણો | 90° | π/2 | લંબ, ચોથા ભાગનું પરિભ્રમણ |
| ગુરુ | 120° | 2π/3 | ષટ્કોણનો આંતરિક ખૂણો |
| ગુરુ | 135° | 3π/4 | અષ્ટકોણનો બાહ્ય ખૂણો |
| સરળ | 180° | π | અર્ધ વર્તુળ, સીધી રેખા |
| વિપરીત | 270° | 3π/2 | ત્રણ-ચોથા ભાગનું પરિભ્રમણ |
| સંપૂર્ણ | 360° | 2π | સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ |
| આર્કસેકન્ડ | 1″ | 4.85 µrad | ખગોળશાસ્ત્રીય ચોકસાઇ |
| મિલિઆર્કસેકન્ડ | 0.001″ | 4.85 nrad | હબલ રિઝોલ્યુશન |
| માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ | 0.000001″ | 4.85 prad | ગાઇયા સેટેલાઇટ |
ખૂણાના સમકક્ષ
| વર્ણન | ડિગ્રી | રેડિયન | ગ્રેડિયન |
|---|---|---|---|
| સંપૂર્ણ વર્તુળ | 360° | 2π ≈ 6.283 | 400 grad |
| અર્ધ વર્તુળ | 180° | π ≈ 3.142 | 200 grad |
| કાટખૂણો | 90° | π/2 ≈ 1.571 | 100 grad |
| એક રેડિયન | ≈ 57.296° | 1 rad | ≈ 63.662 grad |
| એક ડિગ્રી | 1° | ≈ 0.01745 rad | ≈ 1.111 grad |
| એક ગ્રેડિયન | 0.9° | ≈ 0.01571 rad | 1 grad |
| આર્કમિનિટ | 1/60° | ≈ 0.000291 rad | 1/54 grad |
| આર્કસેકન્ડ | 1/3600° | ≈ 0.00000485 rad | 1/3240 grad |
| NATO મિલ | 0.05625° | ≈ 0.000982 rad | 0.0625 grad |
વાસ્તવિક-વિશ્વની એપ્લિકેશન્સ
નેવિગેશન
હોકાયંત્રના બેરિંગ્સ: 0°=ઉત્તર, 90°=પૂર્વ, 180°=દક્ષિણ, 270°=પશ્ચિમ. લશ્કરી ચોકસાઈ માટે મિલનો ઉપયોગ કરે છે. હોકાયંત્રમાં 32 બિંદુઓ હોય છે (દરેક 11.25°). GPS દશાંશ ડિગ્રીનો ઉપયોગ કરે છે.
- બેરિંગ્સ: ઉત્તરથી 0-360°
- NATO મિલ: વર્તુળ દીઠ 6400
- હોકાયંત્રના બિંદુઓ: 32 (દરેક 11.25°)
- GPS: દશાંશ ડિગ્રી
ખગોળશાસ્ત્ર
તારાઓની સ્થિતિ: આર્કસેકન્ડ ચોકસાઇ. પેરાલેક્સ: મિલિઆર્કસેકન્ડ. હબલ: ~50 mas રિઝોલ્યુશન. ગાઇયા સેટેલાઇટ: માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ ચોકસાઇ. કલાકનો ખૂણો: 24h = 360°.
- આર્કસેકન્ડ: તારાઓની સ્થિતિ
- મિલિઆર્કસેકન્ડ: પેરાલેક્સ, VLBI
- માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ: ગાઇયા સેટેલાઇટ
- કલાકનો ખૂણો: 15°/કલાક
ઇજનેરી અને સર્વેક્ષણ
ઢાળ: ટકાવારી ગ્રેડ અથવા ખૂણો. 10% ગ્રેડ ≈ 5.7°. માર્ગ ડિઝાઇન ટકાવારીનો ઉપયોગ કરે છે. સર્વેક્ષણ ડિગ્રી/મિનિટ/સેકન્ડનો ઉપયોગ કરે છે. મેટ્રિક દેશો માટે ગ્રેડિયન સિસ્ટમ.
- ઢાળ: % અથવા ડિગ્રી
- 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
- સર્વેક્ષણ: DMS (ડિગ્રી-મિનિટ-સેકન્ડ)
- ગ્રેડિયન: મેટ્રિક સર્વેક્ષણ
ઝડપી ગણિત
ડિગ્રી ↔ રેડિયન
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. ઝડપી: 180° = π rad, તેથી આ ગુણોત્તર વડે ભાગાકાર/ગુણાકાર કરો.
- rad = deg × 0.01745
- deg = rad × 57.2958
- π rad = 180° (ચોક્કસ)
- 2π rad = 360° (ચોક્કસ)
ઢાળને ખૂણામાં
ખૂણો = arctan(ઢાળ/100). 10% ઢાળ = arctan(0.1) ≈ 5.71°. ઉલટું: ઢાળ = tan(ખૂણો) × 100.
- θ = arctan(ગ્રેડ/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- તીવ્ર: 100% = 45°
આર્કમિનિટ્સ
1° = 60′ (આર્કમિનિટ). 1′ = 60″ (આર્કસેકન્ડ). કુલ: 1° = 3600″. ચોકસાઈ માટે ઝડપી પેટાવિભાગ.
- 1° = 60 આર્કમિનિટ
- 1′ = 60 આર્કસેકન્ડ
- 1° = 3600 આર્કસેકન્ડ
- DMS: ડિગ્રી-મિનિટ-સેકન્ડ
રૂપાંતરણ કેવી રીતે કામ કરે છે
- પગલું 1: સ્રોત → ડિગ્રી
- પગલું 2: ડિગ્રી → લક્ષ્ય
- રેડિયન: deg × (π/180)
- ઢાળ: arctan(ગ્રેડ/100)
- આર્કમિનિટ્સ: deg × 60
સામાન્ય રૂપાંતરણો
| થી | માં | સૂત્ર | ઉદાહરણ |
|---|---|---|---|
| ડિગ્રી | રેડિયન | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| રેડિયન | ડિગ્રી | × 180/π | π rad = 180° |
| ડિગ્રી | ગ્રેડિયન | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| ડિગ્રી | આર્કમિનિટ | × 60 | 1° = 60′ |
| આર્કમિનિટ | આર્કસેકન્ડ | × 60 | 1′ = 60″ |
| ડિગ્રી | પરિભ્રમણ | ÷ 360 | 180° = 0.5 પરિભ્રમણ |
| % ગ્રેડ | ડિગ્રી | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71° |
| ડિગ્રી | મિલ (NATO) | × 17.778 | 1° ≈ 17.78 મિલ |
ઝડપી ઉદાહરણો
ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ
માર્ગનો ઢાળ
માર્ગનો 8% ગ્રેડ છે. ખૂણો શું છે?
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. પ્રમાણમાં હળવો ઢાળ!
હોકાયંત્રનો બેરિંગ
135° બેરિંગ પર નેવિગેટ કરો. હોકાયંત્રની દિશા શું છે?
0°=ઉ, 90°=પૂ, 180°=દ, 270°=પ. 135° એ પૂ (90°) અને દ (180°) વચ્ચે છે. દિશા: અગ્નિ (SE).
તારાની સ્થિતિ
એક તારો 0.5 આર્કસેકન્ડ ખસ્યો. તે કેટલા ડિગ્રી છે?
1″ = 1/3600°. તેથી 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. નાનકડી હિલચાલ!
સામાન્ય ભૂલો
- **રેડિયન મોડ**: રેડિયનનો ઉપયોગ કરતી વખતે કેલ્ક્યુલેટર ડિગ્રી મોડમાં હોય = ખોટું! મોડ તપાસો. ડિગ્રી મોડમાં sin(π) ≠ રેડિયન મોડમાં sin(π).
- **πનો અંદાજ**: π ≠ 3.14 બરાબર. π બટન અથવા Math.PIનો ઉપયોગ કરો. 180° = π rad બરાબર, 3.14 rad નહીં.
- **ઋણ ખૂણા**: -90° ≠ અમાન્ય! ઋણ = ઘડિયાળની દિશામાં. -90° = 270° (0°થી ઘડિયાળની દિશામાં જતા).
- **ઢાળની મૂંઝવણ**: 10% ગ્રેડ ≠ 10°! arctanનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. 10% ≈ 5.71°, 10° નહીં. સામાન્ય ભૂલ!
- **આર્કમિનિટ ≠ સમયની મિનિટ**: 1′ (આર્કમિનિટ) = 1/60°. 1 મિનિટ (સમય) = અલગ! મૂંઝવણ ન કરો.
- **સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ**: 360° = 0° (સમાન સ્થિતિ). ખૂણા ચક્રીય છે. 370° = 10°.
રસપ્રદ તથ્યો
360 ડિગ્રી શા માટે?
બેબીલોનીયનો આધાર-60 (સેક્સાગેસિમલ) પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા હતા. 360માં ઘણા ભાજકો છે (24 પરિબળો!). તે વર્ષમાં લગભગ 360 દિવસો સાથે મેળ ખાય છે. ખગોળશાસ્ત્ર અને સમયપાલન માટે અનુકૂળ. તે 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... દ્વારા પણ સમાનરૂપે વિભાજીત થાય છે.
રેડિયન કુદરતી છે
રેડિયન ચાપની લંબાઈ = ત્રિજ્યા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તે કેલ્ક્યુલસને સુંદર બનાવે છે: d/dx(sin x) = cos x (ફક્ત રેડિયનમાં!). ડિગ્રીમાં, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (ગૂંચવણભર્યું). પ્રકૃતિ રેડિયનનો 'ઉપયોગ' કરે છે!
ગ્રેડિયન લગભગ પકડાઈ ગયું હતું
મેટ્રિક ખૂણો: 100 grad = કાટખૂણો. ફ્રેન્ચ ક્રાંતિ દરમિયાન મેટ્રિક સિસ્ટમ સાથે પ્રયાસ કરાયો હતો. ક્યારેય લોકપ્રિય બન્યો નહીં—ડિગ્રી ખૂબ જ ઊંડા મૂળ ધરાવતા હતા. હજુ પણ કેટલાક સર્વેક્ષણમાં વપરાય છે (સ્વિત્ઝર્લેન્ડ, ઉત્તરીય યુરોપ). કેલ્ક્યુલેટરમાં 'grad' મોડ હોય છે!
મિલિઆર્કસેકન્ડ = માનવ વાળ
1 મિલિઆર્કસેકન્ડ ≈ 10 કિમી દૂરથી જોવામાં આવતા માનવ વાળની પહોળાઈ! હબલ સ્પેસ ટેલિસ્કોપ ~50 masનું રિઝોલ્યુશન કરી શકે છે. ખગોળશાસ્ત્ર માટે અવિશ્વસનીય ચોકસાઈ. તારાઓના પેરાલેક્સ, દ્વિસંગી તારાઓને માપવા માટે વપરાય છે.
તોપખાના માટે મિલ
લશ્કરી મિલ: 1 મિલ ≈ 1 કિમીના અંતરે 1 મીટર પહોળાઈ (NATO: 1.02 મીટર, પૂરતું નજીક). રેન્જ અંદાજ માટે સરળ માનસિક ગણિત. વિવિધ દેશો વિવિધ મિલનો ઉપયોગ કરે છે (વર્તુળ દીઠ 6000, 6300, 6400). વ્યવહારુ બેલિસ્ટિક્સ એકમ!
કાટખૂણો = 90°, શા માટે?
90 = 360/4 (ચોથા ભાગનું પરિભ્રમણ). પરંતુ 'કાટ' લેટિન 'rectus' = સીધો, ટટ્ટાર પરથી આવે છે. કાટખૂણો લંબ રેખાઓ બનાવે છે. બાંધકામ માટે આવશ્યક—ઇમારતોને ઊભા રહેવા માટે કાટખૂણાની જરૂર પડે છે!
ખૂણાના માપનનો ઉત્ક્રાંતિ
પ્રાચીન બેબીલોનીયન ખગોળશાસ્ત્રથી લઈને આધુનિક ઉપગ્રહની ચોકસાઈ સુધી, ખૂણાનું માપન વ્યવહારુ સમયપાલનથી કેલ્ક્યુલસ અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના પાયા સુધી વિકસ્યું છે. 360-ડિગ્રી વર્તુળ, 4,000 વર્ષ જૂની પરંપરા, રેડિયનના ગણિતશાસ્ત્રીય લાવણ્ય છતાં હજુ પણ પ્રભુત્વ ધરાવે છે.
2000 પૂર્વે - 300 પૂર્વે
બેબીલોનીયનો ખગોળશાસ્ત્ર અને સમયપાલન માટે સેક્સાગેસિમલ (આધાર-60) સંખ્યા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા હતા. તેઓએ વર્તુળને 360 ભાગોમાં વિભાજીત કર્યું કારણ કે 360 ≈ વર્ષમાં દિવસો (ખરેખર 365.25), અને 360માં 24 ભાજકો છે—અપૂર્ણાંકો માટે અવિશ્વસનીય રીતે અનુકૂળ.
આ આધાર-60 પદ્ધતિ આજે પણ યથાવત છે: મિનિટ દીઠ 60 સેકન્ડ, કલાક દીઠ 60 મિનિટ અને ડિગ્રી દીઠ. સંખ્યા 360 2³ × 3² × 5 તરીકે અવયવિત થાય છે, જે 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 દ્વારા સમાનરૂપે વિભાજીત થાય છે—એક કેલ્ક્યુલેટરનું સ્વપ્ન!
- 2000 પૂર્વે: બેબીલોનીયન ખગોળશાસ્ત્રીઓ ડિગ્રીમાં આકાશી સ્થિતિઓનો ટ્રેક રાખે છે
- 360° તેની વિભાજ્યતા અને ~વર્ષના અંદાજ માટે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું
- આધાર-60 આપણને કલાકો (24 = 360/15) અને મિનિટ/સેકન્ડ આપે છે
- ગ્રીક ખગોળશાસ્ત્રીઓ બેબીલોનીયન કોષ્ટકોમાંથી 360° અપનાવે છે
300 પૂર્વે - 1600 એ.ડી.
યુક્લિડના 'એલિમેન્ટ્સ' (300 પૂર્વે) એ ખૂણાની ભૂમિતિને ઔપચારિક બનાવી—કાટખૂણા (90°), કોટિકોણ (સરવાળો 90°), પૂરકકોણ (સરવાળો 180°). હિપાર્કસ જેવા ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ખગોળશાસ્ત્ર અને સર્વેક્ષણ માટે ડિગ્રી-આધારિત કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ બનાવી.
મધ્યયુગીન નાવિકો 32 બિંદુઓ (દરેક 11.25°) સાથે એસ્ટ્રોલેબ અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરતા હતા. નાવિકોને ચોક્કસ બેરિંગની જરૂર હતી; આર્કમિનિટ (1/60°) અને આર્કસેકન્ડ (1/3600°) તારાઓના કેટલોગ અને નોટિકલ ચાર્ટ્સ માટે ઉભરી આવ્યા.
- 300 પૂર્વે: યુક્લિડના 'એલિમેન્ટ્સ' ભૌમિતિક ખૂણાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે
- 150 પૂર્વે: હિપાર્કસ પ્રથમ ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકો બનાવે છે (ડિગ્રી)
- 1200ના દાયકામાં: એસ્ટ્રોલેબ આકાશી નેવિગેશન માટે ડિગ્રી માર્કિંગનો ઉપયોગ કરે છે
- 1569: મર્કેટર નકશા પ્રક્ષેપણ માટે ખૂણા-સંરક્ષક ગણિતની જરૂર પડે છે
1600ના દાયકા - 1800ના દાયકા
જેમ જેમ ન્યૂટન અને લાઇબનીઝે કેલ્ક્યુલસ વિકસાવ્યું (1670ના દાયકામાં), ડિગ્રી સમસ્યારૂપ બની: d/dx(sin x) = (π/180)cos x ડિગ્રીમાં—એક ખરાબ અચળાંક! રોજર કોટ્સે (1682-1716) અને લિયોનાર્ડ યુલરે રેડિયનને ઔપચારિક બનાવ્યું: ખૂણો = ચાપની લંબાઈ / ત્રિજ્યા. હવે d/dx(sin x) = cos x સુંદર રીતે.
જેમ્સ થોમસને 1873માં 'રેડિયન' શબ્દ બનાવ્યો (લેટિન 'radius' પરથી). રેડિયન ગણિતશાસ્ત્રીય વિશ્લેષણ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરી માટે મુખ્ય એકમ બન્યો. છતાં ડિગ્રી રોજિંદા જીવનમાં ટકી રહી કારણ કે માનવો π કરતાં પૂર્ણાંકો પસંદ કરે છે.
- 1670ના દાયકામાં: કેલ્ક્યુલસ દર્શાવે છે કે ડિગ્રી ગૂંચવણભરી ફોર્મ્યુલા બનાવે છે
- 1714: રોજર કોટ્સ 'વર્તુળાકાર માપ' (પૂર્વ-રેડિયન) વિકસાવે છે
- 1748: યુલર વિશ્લેષણમાં રેડિયનનો વ્યાપક ઉપયોગ કરે છે
- 1873: થોમસન તેને 'રેડિયન' નામ આપે છે; તે ગણિતનું ધોરણ બને છે
1900ના દાયકા - વર્તમાન
પ્રથમ વિશ્વયુદ્ધના તોપખાનાને વ્યવહારુ ખૂણાના એકમોની માંગ હતી: મિલનો જન્મ થયો—1 મિલ ≈ 1 કિમીના અંતરે 1 મીટરનું વિચલન. NATOએ 6400 મિલ/વર્તુળને પ્રમાણિત કર્યું (2ની સરસ ઘાત), જ્યારે USSRએ 6000નો ઉપયોગ કર્યો (દશાંશ સુવિધા). સાચો મિલિરેડિયન = 6283/વર્તુળ.
અવકાશ-યુગના ખગોળશાસ્ત્રે મિલિઆર્કસેકન્ડ ચોકસાઈ (હિપાર્કોસ, 1989), પછી માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ (ગાઇયા, 2013) પ્રાપ્ત કરી. ગાઇયા 20 માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ સુધી તારાઓના પેરાલેક્સને માપે છે—1,000 કિમી દૂરથી માનવ વાળ જોવા બરાબર! આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર સાર્વત્રિક રીતે રેડિયનનો ઉપયોગ કરે છે; ફક્ત નેવિગેશન અને બાંધકામ હજુ પણ ડિગ્રી પસંદ કરે છે.
- 1916: લશ્કરી તોપખાનું રેન્જની ગણતરી માટે મિલ અપનાવે છે
- 1960: SI રેડિયનને સુસંગત વ્યુત્પન્ન એકમ તરીકે માન્યતા આપે છે
- 1989: હિપાર્કોસ સેટેલાઇટ: ~1 મિલિઆર્કસેકન્ડ ચોકસાઇ
- 2013: ગાઇયા સેટેલાઇટ: 20 માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ ચોકસાઇ—1 અબજ તારાઓનો નકશો બનાવે છે
પ્રો ટિપ્સ
- **ઝડપી રેડિયન**: π rad = 180°. અર્ધ વર્તુળ! તેથી π/2 = 90°, π/4 = 45°.
- **ઢાળની માનસિક ગણતરી**: નાના ઢાળ: ગ્રેડ% ≈ ખૂણો° × 1.75. (10% ≈ 5.7°)
- **આર્કમિનિટ**: 1° = 60′. તમારો અંગૂઠો હાથની લંબાઈ પર ≈ 2° ≈ 120′ પહોળો.
- **ઋણ = ઘડિયાળની દિશામાં**: ધન ખૂણા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં. -90° = 270° ઘડિયાળની દિશામાં.
- **મોડ્યુલો રેપ**: 360° મુક્તપણે ઉમેરો/બાદ કરો. 370° = 10°, -90° = 270°.
- **એકમ વર્તુળ**: cos = x, sin = y. ત્રિજ્યા = 1. ત્રિકોણમિતિ માટે મૂળભૂત!
- **વૈજ્ઞાનિક સંકેત ઓટો**: 0.000001°થી ઓછા અથવા 1,000,000,000°થી વધુ મૂલ્યો વાંચનક્ષમતા માટે વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં પ્રદર્શિત થાય છે (માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ્સ માટે આવશ્યક!).
એકમોનો સંદર્ભ
સામાન્ય એકમો
| એકમ | પ્રતીક | ડિગ્રી | નોંધો |
|---|---|---|---|
| ડિગ્રી | ° | 1° (base) | મૂળ એકમ; 360° = વર્તુળ. સાર્વત્રિક ધોરણ. |
| રેડિયન | rad | 57.2958° | કુદરતી એકમ; 2π rad = વર્તુળ. કેલ્ક્યુલસ માટે જરૂરી. |
| ગ્રેડિયન (ગોન) | grad | 900.000000 m° | મેટ્રિક ખૂણો; 400 grad = વર્તુળ. સર્વેક્ષણ (યુરોપ). |
| ટર્ન (પરિભ્રમણ) | turn | 360.0000° | સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ; 1 પરિભ્રમણ = 360°. સરળ ખ્યાલ. |
| પરિભ્રમણ | rev | 360.0000° | પરિભ્રમણ જેવું જ; 1 પરિભ્રમણ = 360°. યાંત્રિક. |
| વર્તુળ | circle | 360.0000° | સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ; 1 વર્તુળ = 360°. |
| કાટકોણ (ચતુર્થાંશ) | ∟ | 90.0000° | ચોથા ભાગનું પરિભ્રમણ; 90°. લંબ રેખાઓ. |
આર્કમિનિટ્સ અને આર્કસેકન્ડ્સ
| એકમ | પ્રતીક | ડિગ્રી | નોંધો |
|---|---|---|---|
| આર્કનું મિનિટ (આર્કમિનિટ) | ′ | 16.666667 m° | આર્કમિનિટ; 1′ = 1/60°. ખગોળશાસ્ત્ર, નેવિગેશન. |
| આર્કનું સેકન્ડ (આર્કસેકન્ડ) | ″ | 277.777778 µ° | આર્કસેકન્ડ; 1″ = 1/3600°. ચોકસાઈભર્યું ખગોળશાસ્ત્ર. |
| મિલિઆર્કસેકન્ડ | mas | 2.778e-7° | 0.001″. હબલ ચોકસાઈ (~50 mas રિઝોલ્યુશન). |
| માઇક્રોઆર્કસેકન્ડ | µas | 2.778e-10° | 0.000001″. ગાઇયા સેટેલાઇટ ચોકસાઈ. અતિ-ચોક્કસ. |
નેવિગેશન અને લશ્કરી
| એકમ | પ્રતીક | ડિગ્રી | નોંધો |
|---|---|---|---|
| બિંદુ (હોકાયંત્ર) | point | 11.2500° | 32 બિંદુઓ; 1 બિંદુ = 11.25°. પરંપરાગત નેવિગેશન. |
| મિલ (નાટો) | mil | 56.250000 m° | વર્તુળ દીઠ 6400; 1 મિલ ≈ 1 કિમી પર 1 મીટર. લશ્કરી ધોરણ. |
| મિલ (યુએસએસઆર) | mil USSR | 60.000000 m° | વર્તુળ દીઠ 6000. રશિયન/સોવિયેત લશ્કરી ધોરણ. |
| મિલ (સ્વીડન) | streck | 57.142857 m° | વર્તુળ દીઠ 6300. સ્કેન્ડિનેવિયન લશ્કરી ધોરણ. |
| બાઈનરી ડિગ્રી | brad | 1.4063° | વર્તુળ દીઠ 256; 1 બ્રેડ ≈ 1.406°. કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ. |
ખગોળશાસ્ત્ર અને આકાશી
| એકમ | પ્રતીક | ડિગ્રી | નોંધો |
|---|---|---|---|
| કલાક કોણ | h | 15.0000° | 24h = 360°; 1h = 15°. આકાશી યામ (RA). |
| સમયની મિનિટ | min | 250.000000 m° | 1 મિનિટ = 15′ = 0.25°. સમય-આધારિત ખૂણો. |
| સમયની સેકન્ડ | s | 4.166667 m° | 1 સેકન્ડ = 15″ ≈ 0.00417°. ચોક્કસ સમયનો ખૂણો. |
| ચિહ્ન (રાશિચક્ર) | sign | 30.0000° | રાશિચક્રનું ચિહ્ન; 12 ચિહ્નો = 360°; 1 ચિહ્ન = 30°. જ્યોતિષશાસ્ત્ર. |
વિશિષ્ટ અને ઇજનેરી
| એકમ | પ્રતીક | ડિગ્રી | નોંધો |
|---|---|---|---|
| સેક્સટેન્ટ | sextant | 60.0000° | 1/6 વર્તુળ; 60°. ભૌમિતિક વિભાજન. |
| ઓક્ટેન્ટ | octant | 45.0000° | 1/8 વર્તુળ; 45°. ભૌમિતિક વિભાજન. |
| ચતુર્થાંશ | quadrant | 90.0000° | 1/4 વર્તુળ; 90°. કાટખૂણા જેવું જ. |
| ટકા ગ્રેડ (ઢાળ) | % | formula | ઢાળની ટકાવારી; arctan(ગ્રેડ/100) = ખૂણો. ઇજનેરી. |
FAQ
ડિગ્રી વિરુદ્ધ રેડિયનનો ઉપયોગ ક્યારે કરવો?
ડિગ્રીનો ઉપયોગ કરો: રોજિંદા ખૂણા, નેવિગેશન, સર્વેક્ષણ, બાંધકામ માટે. રેડિયનનો ઉપયોગ કરો: કેલ્ક્યુલસ, ભૌતિકશાસ્ત્રના સમીકરણો, પ્રોગ્રામિંગ (ત્રિકોણમિતિ કાર્યો) માટે. રેડિયન 'કુદરતી' છે કારણ કે ચાપની લંબાઈ = ત્રિજ્યા × ખૂણો. d/dx(sin x) = cos x જેવા ડેરિવેટિવ્સ ફક્ત રેડિયનમાં જ કામ કરે છે!
શા માટે π rad = 180° બરાબર છે?
વર્તુળનો પરિઘ = 2πr. અર્ધ વર્તુળ (સીધી રેખા) = πr. રેડિયન ચાપની લંબાઈ/ત્રિજ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. અર્ધ વર્તુળ માટે: ચાપ = πr, ત્રિજ્યા = r, તેથી ખૂણો = πr/r = π રેડિયન. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા π rad = 180°.
ઢાળની ટકાવારીને ખૂણામાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવી?
arctanનો ઉપયોગ કરો: ખૂણો = arctan(ગ્રેડ/100). ઉદાહરણ: 10% ગ્રેડ = arctan(0.1) ≈ 5.71°. ફક્ત ગુણાકાર ન કરો! 10% ≠ 10°. ઉલટું: ગ્રેડ = tan(ખૂણો) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% ગ્રેડ.
આર્કમિનિટ અને સમયની મિનિટ વચ્ચે શું તફાવત છે?
આર્કમિનિટ (′) = ડિગ્રીનો 1/60મો ભાગ (ખૂણો). સમયની મિનિટ = કલાકનો 1/60મો ભાગ (સમય). સંપૂર્ણપણે અલગ! ખગોળશાસ્ત્રમાં, 'સમયની મિનિટ' ખૂણામાં રૂપાંતરિત થાય છે: 1 મિનિટ = 15 આર્કમિનિટ (કારણ કે 24h = 360°, તેથી 1 મિનિટ = 360°/1440 = 0.25° = 15′).
શા માટે વિવિધ દેશો વિવિધ મિલનો ઉપયોગ કરે છે?
મિલ એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો હતો કે 1 મિલ ≈ 1 કિમી પર 1 મીટર (વ્યવહારુ બેલિસ્ટિક્સ). સાચો ગણિતશાસ્ત્રીય મિલિરેડિયન = 1/1000 rad ≈ 6283 વર્તુળ દીઠ. NATOએ તેને 6400 (2ની ઘાત, સરસ રીતે વિભાજીત થાય છે) પર સરળ બનાવ્યું. USSRએ 6000 (10 વડે વિભાજીત થાય છે)નો ઉપયોગ કર્યો. સ્વીડન 6300 (સમાધાન). બધા 2π×1000ની નજીક છે.
શું ખૂણા ઋણ હોઈ શકે છે?
હા! ધન = ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં (ગણિતની પરંપરા). ઋણ = ઘડિયાળની દિશામાં. -90° = 270° (સમાન સ્થિતિ, અલગ દિશા). નેવિગેશનમાં, 0-360°ની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરો. ગણિત/ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ઋણ ખૂણા સામાન્ય છે. ઉદાહરણ: -π/2 = -90° = 270°.
સંપૂર્ણ ટૂલ ડિરેક્ટરી
UNITS પર ઉપલબ્ધ બધા 71 ટૂલ્સ