Úhel měří rotaci nebo otočení mezi dvěma přímkami. Představte si otevírání dveří nebo otáčení kola. Měří se ve stupních (°), radiánech (rad) nebo gradech. 360° = plný kruh = jedna kompletní rotace.

• Úhel = velikost rotace
• Plný kruh = 360° = 2π rad
• Pravý úhel = 90° = π/2 rad
• Přímka = 180° = π rad

Stupně: kružnice rozdělená na 360 dílů (historicky). Radiány: založeno na poloměru kružnice. 2π radiánů = 360°. Radiány jsou 'přirozené' pro matematiku/fyziku. π rad = 180°, takže 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (plný kruh)
• 180° = π rad (půlkruh)
• 90° = π/2 rad (pravý úhel)
• 1 rad ≈ 57,2958° (převod)

Grad: 100 grad = 90° (metrický úhel). Oblouková minuta/vteřina: podjednotky stupně (astronomie). Dílec: vojenská navigace (6400 dílců = kružnice). Každá jednotka pro specifickou aplikaci.

• Grad: 400 grad = kružnice
• Oblouková minuta: 1′ = 1/60°
• Oblouková vteřina: 1″ = 1/3600°
• Dílec (NATO): 6400 dílců = kružnice

360° na kružnici (babylonský původ - ~360 dní/rok). Dále se dělí: 1° = 60′ (obloukových minut) = 3600″ (obloukových vteřin). Univerzální pro navigaci, zeměměřičství, každodenní použití.

• 360° = plný kruh
• 1° = 60 obloukových minut (′)
• 1′ = 60 obloukových vteřin (″)
• Snadné pro lidi, historické

Radián: délka oblouku = poloměr. 2π rad = obvod kružnice/poloměr. Přirozené pro kalkulus (derivace sin, cos). Standard ve fyzice, inženýrství. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (přesně)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Přirozené pro matematiku/fyziku

Grad: 400 grad = kružnice (metrický úhel). 100 grad = pravý úhel. Dílec: vojenská navigace - NATO používá 6400 dílců. SSSR používal 6000. Existují různé standardy.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (pravý úhel)
• Dílec (NATO): 6400 na kružnici
• Dílec (SSSR): 6000 na kružnici

rad = st. × π/180. st. = rad × 180/π. grad = st. × 10/9. V kalkulu vždy používejte radiány! Goniometrické funkce potřebují pro derivace radiány.

• rad = st. × (π/180)
• st. = rad × (180/π)
• grad = st. × (10/9)
• Kalkulus vyžaduje radiány

sin, cos, tan vztahují úhly k poměrům. Jednotková kružnice: poloměr=1, úhel=θ. Souřadnice bodu: (cos θ, sin θ). Nezbytné pro fyziku, inženýrství, grafiku.

• sin θ = protilehlá/přepona
• cos θ = přilehlá/přepona
• tan θ = protilehlá/přilehlá
• Jednotková kružnice: (cos θ, sin θ)

Úhly se sčítají/odečítají normálně. 45° + 45° = 90°. Plná rotace: přičtěte/odečtěte 360° (nebo 2π). Modulární aritmetika pro 'zabalení': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normální sčítání)
• Zabalení: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Záporné úhly: -90° = 270°

Kompasové azimuty: 0°=Sever, 90°=Východ, 180°=Jih, 270°=Západ. Armáda používá pro přesnost dílce. Kompas má 32 bodů (každý 11,25°). GPS používá desetinné stupně.

• Azimuty: 0-360° od severu
• Dílec NATO: 6400 na kružnici
• Kompasové body: 32 (každý 11,25°)
• GPS: desetinné stupně

Pozice hvězd: přesnost na obloukové vteřiny. Paralaxa: miliobloukové vteřiny. Hubble: rozlišení ~50 mas. Satelit Gaia: přesnost na mikroobloukové vteřiny. Hodinový úhel: 24h = 360°.

• Oblouková vteřina: pozice hvězd
• Milioblouková vteřina: paralaxa, VLBI
• Mikrooblouková vteřina: satelit Gaia
• Hodinový úhel: 15°/hodinu

Sklon: procentuální stoupání nebo úhel. 10% stoupání ≈ 5,7°. Návrh silnic používá procenta. Zeměměřičství používá stupně/minuty/vteřiny. Gradový systém pro metrické země.

• Sklon: % nebo stupně
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Zeměměřičství: DMS (stupeň-minuta-vteřina)
• Grad: metrické zeměměřičství

rad = st. × π/180. st. = rad × 180/π. Rychle: 180° = π rad, takže dělte/násobte tímto poměrem.

• rad = st. × 0,01745
• st. = rad × 57,2958
• π rad = 180° (přesně)
• 2π rad = 360° (přesně)

úhel = arctan(sklon/100). 10% sklon = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Obráceně: sklon = tan(úhel) × 100.

• θ = arctan(stoupání/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Strmý: 100% = 45°

1° = 60′ (oblouková minuta). 1′ = 60″ (oblouková vteřina). Celkem: 1° = 3600″. Rychlé dělení pro přesnost.

• 1° = 60 obloukových minut
• 1′ = 60 obloukových vteřin
• 1° = 3600 obloukových vteřin
• DMS: stupně-minuty-vteřiny

Silnice má stoupání 8%. Jaký je úhel?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Relativně mírný sklon!

Navigujte podle azimutu 135°. Jaký je to směr na kompasu?

0°=S, 90°=V, 180°=J, 270°=Z. 135° je mezi V (90°) a J (180°). Směr: Jihovýchod (JV).

Hvězda se posunula o 0,5 obloukové vteřiny. Kolik je to stupňů?

1″ = 1/3600°. Takže 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Maličký pohyb!

Babyloňané používali šedesátkovou soustavu. 360 má mnoho dělitelů (24 faktorů!). Přibližně odpovídá 360 dnům v roce. Vhodné pro astronomii a měření času. Také je dělitelné beze zbytku 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radián je definován délkou oblouku = poloměr. Díky tomu je kalkulus krásný: d/dx(sin x) = cos x (pouze v radiánech!). Ve stupních je d/dx(sin x) = (π/180)cos x (komplikované). Příroda 'používá' radiány!

Metrický úhel: 100 grad = pravý úhel. Zkoušeno během Francouzské revoluce s metrickým systémem. Nikdy se neprosadil – stupně byly příliš zakořeněné. Stále se používá v některých geodetických pracích (Švýcarsko, severní Evropa). Kalkulačky mají režim 'grad'!

1 milioblouková vteřina ≈ šířka lidského vlasu pozorovaného z 10 km! Hubbleův vesmírný dalekohled dokáže rozlišit ~50 mas. Neuvěřitelná přesnost pro astronomii. Používá se k měření hvězdné paralaxy, dvojhvězd.

Vojenský dílec: 1 dílec ≈ 1 m šířky na vzdálenost 1 km (NATO: 1,02 m, dostatečně blízko). Snadná mentální matematika pro odhad vzdálenosti. Různé země používají různé dílce (6000, 6300, 6400 na kružnici). Praktická balistická jednotka!

90 = 360/4 (čtvrt otáčky). Ale 'pravý' pochází z latinského 'rectus' = vzpřímený, rovný. Pravý úhel tvoří kolmé linie. Nezbytný pro stavitelství – budovy potřebují pravé úhly, aby stály!

Babyloňané používali pro astronomii a měření času šedesátkovou číselnou soustavu. Kružnici rozdělili na 360 částí, protože 360 ≈ počet dnů v roce (ve skutečnosti 365,25) a 360 má 24 dělitelů – neuvěřitelně výhodné pro zlomky.

Tento systém se základem 60 přetrvává dodnes: 60 vteřin za minutu, 60 minut za hodinu a za stupeň. Číslo 360 se dá rozložit na 2³ × 3² × 5 a je dělitelné beze zbytku 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 – sen každé kalkulačky!

• 2000 př. n. l.: Babylonští astronomové sledují nebeské pozice ve stupních
• 360° zvoleno pro dělitelnost a přibližné vyjádření roku
• Základ 60 nám dává hodiny (24 = 360/15) a minuty/vteřiny
• Řečtí astronomové přebírají 360° z babylonských tabulek

Eukleidovy 'Základy' (300 př. n. l.) formalizovaly geometrii úhlů – pravé úhly (90°), doplňkové (součet 90°), vedlejší (součet 180°). Řečtí matematici jako Hipparchos vytvořili trigonometrii pomocí tabulek založených na stupních pro astronomii a zeměměřičství.

Středověcí navigátoři používali astroláb a kompas s 32 body (každý 11,25°). Námořníci potřebovali přesné azimuty; pro hvězdné katalogy a námořní mapy se objevily obloukové minuty (1/60°) a obloukové vteřiny (1/3600°).

• 300 př. n. l.: Eukleidovy 'Základy' definují geometrické úhly
• 150 př. n. l.: Hipparchos vytváří první trigonometrické tabulky (stupně)
• 1200. léta: Astroláb používá stupňové značky pro nebeskou navigaci
• 1569: Mercatorova mapa vyžaduje matematiku zachovávající úhly

Když Newton a Leibniz vyvíjeli kalkulus (1670. léta), stupně se staly problematickými: d/dx(sin x) = (π/180)cos x ve stupních – ošklivá konstanta! Roger Cotes (1682-1716) a Leonhard Euler formalizovali radián: úhel = délka oblouku / poloměr. Nyní je d/dx(sin x) = cos x krásně.

James Thomson zavedl termín 'radián' v roce 1873 (z latinského 'radius'). Radián se stal JEDNOTKOU pro matematickou analýzu, fyziku a inženýrství. Přesto stupně přetrvaly v každodenním životě, protože lidé preferují celá čísla před π.

• 1670. léta: Kalkulus odhaluje, že stupně vytvářejí nepřehledné vzorce
• 1714: Roger Cotes vyvíjí 'kruhovou míru' (předchůdce radiánu)
• 1748: Euler hojně používá radiány v analýze
• 1873: Thomson jej nazývá 'radián'; stává se matematickým standardem

Dělostřelectvo první světové války vyžadovalo praktické úhlové jednotky: zrodil se dílec – 1 dílec ≈ odchylka 1 metr na vzdálenost 1 km. NATO standardizovalo 6400 dílců/kružnici (pěkná mocnina 2), zatímco SSSR používal 6000 (desetinná výhoda). Skutečný miliradián = 6283/kružnici.

Astronomie vesmírného věku dosáhla přesnosti miliobloukových vteřin (Hipparcos, 1989), poté mikroobloukových vteřin (Gaia, 2013). Gaia měří hvězdnou paralaxu na 20 mikroobloukových vteřin – ekvivalent pohledu na lidský vlas ze vzdálenosti 1000 km! Moderní fyzika používá radiány univerzálně; pouze navigace a stavebnictví stále preferují stupně.

• 1916: Vojenské dělostřelectvo přijímá dílec pro výpočty dosahu
• 1960: SI uznává radián jako koherentní odvozenou jednotku
• 1989: Satelit Hipparcos: přesnost ~1 milioblouková vteřina
• 2013: Satelit Gaia: přesnost 20 mikroobloukových vteřin – mapuje 1 miliardu hvězd

Používejte stupně pro: každodenní úhly, navigaci, zeměměřičství, stavitelství. Používejte radiány pro: kalkulus, fyzikální rovnice, programování (goniometrické funkce). Radiány jsou 'přirozené', protože délka oblouku = poloměr × úhel. Derivace jako d/dx(sin x) = cos x fungují pouze v radiánech!

Obvod kružnice = 2πr. Půlkruh (přímka) = πr. Radián je definován jako délka oblouku/poloměr. Pro půlkruh: oblouk = πr, poloměr = r, takže úhel = πr/r = π radiánů. Proto je π rad = 180° z definice.

Použijte arctan: úhel = arctan(stoupání/100). Příklad: 10% stoupání = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NE jen násobit! 10% ≠ 10°. Obráceně: stoupání = tan(úhel) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% stoupání.

Oblouková minuta (′) = 1/60 stupně (úhel). Časová minuta = 1/60 hodiny (čas). Zcela odlišné! V astronomii se 'časová minuta' převádí na úhel: 1 min = 15 obloukových minut (protože 24h = 360°, takže 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Dílec byl navržen tak, aby 1 dílec ≈ 1 metr na 1 km (praktická balistika). Skutečný matematický miliradián = 1/1000 rad ≈ 6283 na kružnici. NATO to zjednodušilo na 6400 (mocnina 2, dobře se dělí). SSSR používal 6000 (dělitelné 10). Švédsko 6300 (kompromis). Všechny jsou blízko 2π×1000.

Ano! Kladný = proti směru hodinových ručiček (matematická konvence). Záporný = ve směru hodinových ručiček. -90° = 270° (stejná pozice, jiný směr). V navigaci používejte rozsah 0-360°. V matematice/fyzice jsou záporné úhly běžné. Příklad: -π/2 = -90° = 270°.