Un unghi măsoară rotația sau întoarcerea dintre două linii. Gândiți-vă la deschiderea unei uși sau la rotirea unei roți. Măsurat în grade (°), radiani (rad) sau gradieni. 360° = cerc complet = o rotație completă.

• Unghi = cantitatea de rotație
• Cerc complet = 360° = 2π rad
• Unghi drept = 90° = π/2 rad
• Linie dreaptă = 180° = π rad

Grade: cercul împărțit în 360 de părți (istoric). Radiani: bazat pe raza cercului. 2π radiani = 360°. Radianii sunt „naturali” pentru matematică/fizică. π rad = 180°, deci 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (cerc complet)
• 180° = π rad (jumătate de cerc)
• 90° = π/2 rad (unghi drept)
• 1 rad ≈ 57.2958° (conversie)

Gradian: 100 grad = 90° (unghi metric). Minut/secundă de arc: subdiviziuni ale gradului (astronomie). Miime: navigație militară (6400 miimi = cerc). Fiecare unitate pentru o aplicație specifică.

• Gradian: 400 grad = cerc
• Minut de arc: 1′ = 1/60°
• Secundă de arc: 1″ = 1/3600°
• Miime (NATO): 6400 miimi = cerc

360° pe cerc (origine babiloniană - ~360 zile/an). Subdivizat: 1° = 60′ (minute de arc) = 3600″ (secunde de arc). Universal pentru navigație, topografie, uz cotidian.

• 360° = cerc complet
• 1° = 60 minute de arc (′)
• 1′ = 60 secunde de arc (″)
• Ușor pentru oameni, istoric

Radian: lungimea arcului = raza. 2π rad = circumferința cercului/rază. Natural pentru calcul (derivatele sin, cos). Standard în fizică, inginerie. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exact)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Natural pentru matematică/fizică

Gradian: 400 grad = cerc (unghi metric). 100 grad = unghi drept. Miime: navigație militară - NATO folosește 6400 de miimi. URSS a folosit 6000. Există standarde diferite.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (unghi drept)
• Miime (NATO): 6400 pe cerc
• Miime (URSS): 6000 pe cerc

rad = grad × π/180. grad = rad × 180/π. gradian = grad × 10/9. Folosiți întotdeauna radiani în calcul! Funcțiile trigonometrice necesită radiani pentru derivate.

• rad = grad × (π/180)
• grad = rad × (180/π)
• gradian = grad × (10/9)
• Calculul necesită radiani

sin, cos, tan relaționează unghiurile cu rapoarte. Cercul unitate: raza=1, unghi=θ. Coordonatele punctului: (cos θ, sin θ). Esențial pentru fizică, inginerie, grafică.

• sin θ = cateta opusă/ipotenuză
• cos θ = cateta alăturată/ipotenuză
• tan θ = cateta opusă/cateta alăturată
• Cercul unitate: (cos θ, sin θ)

Unghiurile se adună/scad normal. 45° + 45° = 90°. Rotație completă: adunați/scădeți 360° (sau 2π). Aritmetică modulară pentru înfășurare: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (adunare normală)
• Înfășurare: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Unghiuri negative: -90° = 270°

Azimuturi de busolă: 0°=Nord, 90°=Est, 180°=Sud, 270°=Vest. Militarii folosesc miimi pentru precizie. Busola are 32 de puncte (11.25° fiecare). GPS-ul folosește grade zecimale.

• Azimuturi: 0-360° de la Nord
• Miime NATO: 6400 pe cerc
• Puncte cardinale: 32 (11.25° fiecare)
• GPS: grade zecimale

Pozițiile stelelor: precizie de secunde de arc. Paralaxă: milisecunde de arc. Hubble: rezoluție de ~50 mas. Satelitul Gaia: precizie de microsecunde de arc. Unghi orar: 24h = 360°.

• Secundă de arc: pozițiile stelelor
• Milisecundă de arc: paralaxă, VLBI
• Microsecundă de arc: satelitul Gaia
• Unghi orar: 15°/oră

Pantă: procent de pantă sau unghi. 10% pantă ≈ 5.7°. Proiectarea drumurilor folosește procente. Topografia folosește grade/minute/secunde. Sistemul gradian pentru țările metrice.

• Pantă: % sau grade
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Topografie: GMS (grade-minute-secunde)
• Gradian: topografie metrică

rad = grad × π/180. grad = rad × 180/π. Rapid: 180° = π rad, deci împărțiți/înmulțiți cu acest raport.

• rad = grad × 0.01745
• grad = rad × 57.2958
• π rad = 180° (exact)
• 2π rad = 360° (exact)

unghi = arctan(pantă/100). 10% pantă = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Invers: pantă = tan(unghi) × 100.

• θ = arctan(pantă/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Abrupt: 100% = 45°

1° = 60′ (minut de arc). 1′ = 60″ (secundă de arc). Total: 1° = 3600″. Subdiviziune rapidă pentru precizie.

• 1° = 60 minute de arc
• 1′ = 60 secunde de arc
• 1° = 3600 secunde de arc
• GMS: grade-minute-secunde

Un drum are o pantă de 8%. Care este unghiul?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. O pantă relativ lină!

Navigați la un azimut de 135°. Ce direcție indică busola?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=V. 135° este între E (90°) și S (180°). Direcția: Sud-Est (SE).

O stea s-a deplasat cu 0.5 secunde de arc. Câte grade înseamnă?

1″ = 1/3600°. Deci 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. O mișcare minusculă!

Babilonienii foloseau un sistem în baza 60 (sexagesimal). 360 are mulți divizori (24 de factori!). Se potrivește aproximativ cu cele 360 de zile dintr-un an. Convenabil pentru astronomie și cronometrare. De asemenea, se împarte exact la 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radianul este definit de lungimea arcului = raza. Face calculul frumos: d/dx(sin x) = cos x (doar în radiani!). În grade, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (complicat). Natura „folosește” radiani!

Unghi metric: 100 grad = unghi drept. Încercat în timpul Revoluției Franceze cu sistemul metric. Niciodată popular—gradele erau prea înrădăcinate. Încă folosit în unele lucrări de topografie (Elveția, nordul Europei). Calculatoarele au modul „grad”!

1 milisecundă de arc ≈ lățimea unui fir de păr uman văzut de la 10 km distanță! Telescopul Spațial Hubble poate rezolva ~50 mas. Precizie incredibilă pentru astronomie. Folosit pentru a măsura paralaxa stelară, stelele binare.

Miimea militară: 1 miime ≈ 1 m lățime la o distanță de 1 km (NATO: 1.02 m, suficient de apropiat). Calcul mental ușor pentru estimarea distanței. Diferite țări folosesc miimi diferite (6000, 6300, 6400 pe cerc). Unitate balistică practică!

90 = 360/4 (sfert de rotație). Dar „drept” provine din latinescul „rectus” = vertical, drept. Unghiul drept formează linii perpendiculare. Esențial pentru construcții—clădirile au nevoie de unghiuri drepte pentru a sta în picioare!

Babilonienii foloseau un sistem numeric sexagesimal (baza 60) pentru astronomie și cronometrare. Ei au împărțit cercul în 360 de părți deoarece 360 ≈ zile într-un an (de fapt 365.25), iar 360 are 24 de divizori—incredibil de convenabil pentru fracții.

Acest sistem în baza 60 persistă și astăzi: 60 de secunde pe minut, 60 de minute pe oră și pe grad. Numărul 360 se factorizează ca 2³ × 3² × 5, împărțindu-se exact la 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—un vis pentru un calculator!

• 2000 Î.Hr.: Astronomii babilonieni urmăresc pozițiile cerești în grade
• 360° ales pentru divizibilitate și aproximarea ~anului
• Baza 60 ne oferă ore (24 = 360/15) și minute/secunde
• Astronomii greci adoptă 360° din tabelele babiloniene

Elementele lui Euclid (300 Î.Hr.) au formalizat geometria unghiurilor—unghiuri drepte (90°), complementare (suma 90°), suplementare (suma 180°). Matematicienii greci precum Hipparchus au creat trigonometria folosind tabele bazate pe grade pentru astronomie și topografie.

Navigatorii medievali foloseau astrolabul și busola cu 32 de puncte (fiecare 11.25°). Marinarii aveau nevoie de azimuturi precise; minutele de arc (1/60°) și secundele de arc (1/3600°) au apărut pentru cataloagele stelare și hărțile nautice.

• 300 Î.Hr.: Elementele lui Euclid definesc unghiurile geometrice
• 150 Î.Hr.: Hipparchus creează primele tabele trigonometrice (grade)
• Anii 1200: Astrolabul folosește marcaje în grade pentru navigația cerească
• 1569: Proiecția hărții Mercator necesită matematică ce conservă unghiurile

Pe măsură ce Newton și Leibniz au dezvoltat calculul (anii 1670), gradele au devenit problematice: d/dx(sin x) = (π/180)cos x în grade—o constantă urâtă! Roger Cotes (1682-1716) și Leonhard Euler au formalizat radianul: unghi = lungimea arcului / rază. Acum d/dx(sin x) = cos x frumos.

James Thomson a inventat termenul „radian” în 1873 (din latinescul „radius”). Radianul a devenit unitatea standard pentru analiză matematică, fizică și inginerie. Cu toate acestea, gradele au persistat în viața de zi cu zi, deoarece oamenii preferă numerele întregi în detrimentul lui π.

• Anii 1670: Calculul dezvăluie că gradele creează formule complicate
• 1714: Roger Cotes dezvoltă „măsura circulară” (pre-radian)
• 1748: Euler folosește radiani pe scară largă în analiză
• 1873: Thomson îl numește „radian”; devine standard matematic

Artileria din Primul Război Mondial a cerut unități de unghi practice: s-a născut miimea—1 miime ≈ 1 metru deviație la o distanță de 1 km. NATO a standardizat 6400 de miimi/cerc (o putere frumoasă a lui 2), în timp ce URSS a folosit 6000 (conveniență zecimală). Miliradianul adevărat = 6283/cerc.

Astronomia erei spațiale a atins precizia de milisecunde de arc (Hipparcos, 1989), apoi microsecunde de arc (Gaia, 2013). Gaia măsoară paralaxa stelară la 20 de microsecunde de arc—echivalentul vederii unui fir de păr uman de la 1.000 km distanță! Fizica modernă folosește radiani universal; doar navigația și construcțiile mai favorizează gradele.

• 1916: Artileria militară adoptă miimea pentru calculele de distanță
• 1960: SI recunoaște radianul ca unitate derivată coerentă
• 1989: Satelitul Hipparcos: precizie de ~1 milisecundă de arc
• 2013: Satelitul Gaia: precizie de 20 de microsecunde de arc—cartografiază 1 miliard de stele

Folosiți grade pentru: unghiuri cotidiene, navigație, topografie, construcții. Folosiți radiani pentru: calcul, ecuații fizice, programare (funcții trigonometrice). Radianii sunt „naturali” deoarece lungimea arcului = rază × unghi. Derivatele precum d/dx(sin x) = cos x funcționează doar în radiani!

Circumferința cercului = 2πr. Jumătate de cerc (linie dreaptă) = πr. Radianul este definit ca lungimea arcului/rază. Pentru jumătate de cerc: arc = πr, rază = r, deci unghi = πr/r = π radiani. Prin urmare, π rad = 180° prin definiție.

Folosiți arctan: unghi = arctan(pantă/100). Exemplu: 10% pantă = arctan(0.1) ≈ 5.71°. NU doar înmulțiți! 10% ≠ 10°. Invers: pantă = tan(unghi) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% pantă.

Minutul de arc (′) = 1/60 dintr-un grad (unghi). Minutul de timp = 1/60 dintr-o oră (timp). Complet diferite! În astronomie, „minutul de timp” se convertește în unghi: 1 min = 15 minute de arc (deoarece 24h = 360°, deci 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Miimea a fost concepută astfel încât 1 miime ≈ 1 metru la 1 km (balistică practică). Miliradianul matematic adevărat = 1/1000 rad ≈ 6283 pe cerc. NATO a simplificat la 6400 (putere a lui 2, se împarte frumos). URSS a folosit 6000 (se împarte la 10). Suedia 6300 (compromis). Toate sunt apropiate de 2π×1000.

Da! Pozitiv = în sens antiorar (convenție matematică). Negativ = în sens orar. -90° = 270° (aceeași poziție, direcție diferită). În navigație, se folosește intervalul 0-360°. În matematică/fizică, unghiurile negative sunt comune. Exemplu: -π/2 = -90° = 270°.