En vinkel mäter rotation eller vridning mellan två linjer. Tänk dig att öppna en dörr eller vrida på ett hjul. Mäts i grader (°), radianer (rad) eller nygrader. 360° = helt varv = en komplett rotation.

• Vinkel = rotationsmängd
• Helt varv = 360° = 2π rad
• Rät vinkel = 90° = π/2 rad
• Rak linje = 180° = π rad

Grader: cirkeln uppdelad i 360 delar (historiskt). Radianer: baserat på cirkelns radie. 2π radianer = 360°. Radianer är 'naturliga' för matematik/fysik. π rad = 180°, så 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (helt varv)
• 180° = π rad (halvt varv)
• 90° = π/2 rad (rät vinkel)
• 1 rad ≈ 57,2958° (omvandling)

Nygrad: 100 grad = 90° (metrisk vinkel). Bågminut/bågsekund: underavdelningar av en grad (astronomi). Streck: militär navigation (6400 streck = varv). Varje enhet för en specifik tillämpning.

• Nygrad: 400 grad = varv
• Bågminut: 1′ = 1/60°
• Bågsekund: 1″ = 1/3600°
• Streck (NATO): 6400 mil = varv

360° per varv (babyloniskt ursprung - ~360 dagar/år). Underdelas: 1° = 60′ (bågminuter) = 3600″ (bågsekunder). Universellt för navigation, lantmäteri, vardagsbruk.

• 360° = helt varv
• 1° = 60 bågminuter (′)
• 1′ = 60 bågsekunder (″)
• Lätt för människor, historiskt

Radian: båglängd = radie. 2π rad = cirkelns omkrets/radie. Naturligt för analys (sin, cos derivator). Standard inom fysik, ingenjörskonst. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exakt)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Naturligt för matematik/fysik

Nygrad: 400 grad = varv (metrisk vinkel). 100 grad = rät vinkel. Streck: militär navigation - NATO använder 6400 streck. Sovjetunionen använde 6000. Olika standarder finns.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (rät vinkel)
• Streck (NATO): 6400 per varv
• Streck (USSR): 6000 per varv

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Använd alltid radianer i analys! Trigonometriska funktioner behöver radianer för derivator.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Analys kräver radianer

sin, cos, tan relaterar vinklar till förhållanden. Enhetscirkeln: radie=1, vinkel=θ. Punktens koordinater: (cos θ, sin θ). Avgörande för fysik, ingenjörskonst, grafik.

• sin θ = motstående/hypotenusa
• cos θ = närliggande/hypotenusa
• tan θ = motstående/närliggande
• Enhetscirkeln: (cos θ, sin θ)

Vinklar adderas/subtraheras normalt. 45° + 45° = 90°. Helt varv: addera/subtrahera 360° (eller 2π). Moduloaritmetik för omslag: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normal addition)
• Omslag: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negativa vinklar: -90° = 270°

Kompasskurser: 0°=Norr, 90°=Öst, 180°=Söder, 270°=Väst. Militären använder streck för precision. Kompassen har 32 streck (11,25° vardera). GPS använder decimalgrader.

• Kurser: 0-360° från norr
• NATO-streck: 6400 per varv
• Kompasstreck: 32 (11,25° vardera)
• GPS: decimalgrader

Stjärnpositioner: bågsekundsprecision. Parallax: millibågsekunder. Hubble: ~50 mas upplösning. Gaia-satelliten: mikrobågsekundsprecision. Timvinkel: 24h = 360°.

• Bågsekund: stjärnpositioner
• Millibågsekund: parallax, VLBI
• Mikrobågsekund: Gaia-satelliten
• Timvinkel: 15°/timme

Lutning: procentgrad eller vinkel. 10% lutning ≈ 5,7°. Vägdesign använder procent. Lantmäteri använder grader/minuter/sekunder. Nygradssystem för metriska länder.

• Lutning: % eller grader
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0.1)
• Lantmäteri: DMS (grader-minuter-sekunder)
• Nygrad: metriskt lantmäteri

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Snabbt: 180° = π rad, så dividera/multiplicera med detta förhållande.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (exakt)
• 2π rad = 360° (exakt)

vinkel = arctan(lutning/100). 10% lutning = arctan(0.1) ≈ 5,71°. Omvänt: lutning = tan(vinkel) × 100.

• θ = arctan(grad/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Brant: 100% = 45°

1° = 60′ (bågmin). 1′ = 60″ (bågsek). Totalt: 1° = 3600″. Snabb underdelning för precision.

• 1° = 60 bågminuter
• 1′ = 60 bågsekunder
• 1° = 3600 bågsekunder
• DMS: grader-minuter-sekunder

En väg har 8% lutning. Vad är vinkeln?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. En relativt svag lutning!

Navigera med en kurs på 135°. Vilken kompassriktning är det?

0°=N, 90°=Ö, 180°=S, 270°=V. 135° är mellan Ö (90°) och S (180°). Riktning: Sydost (SO).

En stjärna flyttade sig 0,5 bågsekunder. Hur många grader är det?

1″ = 1/3600°. Så 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. En pytteliten rörelse!

Babylonierna använde ett sexagesimalt system (bas-60). 360 har många delare (24 faktorer!). Matchar ungefär 360 dagar på ett år. Bekvämt för astronomi och tidtagning. Delas också jämnt med 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radianen definieras av båglängd = radie. Gör analysen vacker: d/dx(sin x) = cos x (endast i radianer!). I grader, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (rörigt). Naturen 'använder' radianer!

Metrisk vinkel: 100 grad = rät vinkel. Försöktes under Franska revolutionen med det metriska systemet. Blev aldrig populärt—grader var för inrotade. Används fortfarande i viss lantmäteri (Schweiz, norra Europa). Miniräknare har 'grad'-läge!

1 millibågsekund ≈ bredden på ett människohår sett från 10 km avstånd! Hubble-rymdteleskopet kan urskilja ~50 mas. Otrolig precision för astronomi. Används för att mäta stjärnparallax, dubbelstjärnor.

Militärt streck: 1 streck ≈ 1 m bredd på 1 km avstånd (NATO: 1,02 m, tillräckligt nära). Enkel huvudräkning för avståndsbedömning. Olika länder använder olika streck (6000, 6300, 6400 per varv). En praktisk ballistikenhet!

90 = 360/4 (kvarts varv). Men 'rät' kommer från latinets 'rectus' = upprätt, rak. En rät vinkel skapar vinkelräta linjer. Avgörande för konstruktion—byggnader behöver räta vinklar för att stå!

Babylonierna använde ett sexagesimalt (bas-60) talsystem för astronomi och tidtagning. De delade cirkeln i 360 delar eftersom 360 ≈ dagar på ett år (egentligen 365,25), och 360 har 24 delare—otroligt bekvämt för bråk.

Detta bas-60-system lever kvar idag: 60 sekunder per minut, 60 minuter per timme och per grad. Talet 360 faktoriseras som 2³ × 3² × 5, vilket delas jämnt av 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—en miniräknares dröm!

• 2000 f.Kr.: Babyloniska astronomer spårar himlapositioner i grader
• 360° valdes för delbarhet och ~årsapproximation
• Bas-60 ger oss timmar (24 = 360/15) och minuter/sekunder
• Grekiska astronomer antar 360° från babyloniska tabeller

Euklides Elementa (300 f.Kr.) formaliserade vinkelgeometri—räta vinklar (90°), komplementvinklar (summa till 90°), supplementvinklar (summa till 180°). Grekiska matematiker som Hipparchos skapade trigonometri med hjälp av gradbaserade tabeller för astronomi och lantmäteri.

Medeltida navigatörer använde astrolabium och kompass med 32 streck (vardera 11,25°). Sjöfarare behövde precisa bäringar; bågminuter (1/60°) och bågsekunder (1/3600°) uppstod för stjärnkataloger och sjökort.

• 300 f.Kr.: Euklides Elementa definierar geometriska vinklar
• 150 f.Kr.: Hipparchos skapar första trigonometriska tabellerna (grader)
• 1200-talet: Astrolabium använder gradmarkeringar för himmelsnavigation
• 1569: Mercators kartprojektion kräver vinkelbevarande matematik

När Newton och Leibniz utvecklade analysen (1670-talet) blev grader problematiska: d/dx(sin x) = (π/180)cos x i grader—en ful konstant! Roger Cotes (1682-1716) och Leonhard Euler formaliserade radianen: vinkel = båglängd / radie. Nu blir d/dx(sin x) = cos x vackert.

James Thomson myntade 'radian' 1873 (från latinets 'radius'). Radianen blev DEN enheten för matematisk analys, fysik och ingenjörskonst. Ändå levde grader kvar i vardagslivet eftersom människor föredrar heltal framför π.

• 1670-talet: Analysen avslöjar att grader skapar röriga formler
• 1714: Roger Cotes utvecklar 'cirkulärt mått' (för-radian)
• 1748: Euler använder radianer i stor utsträckning i analys
• 1873: Thomson döper den till 'radian'; blir matematisk standard

Första världskrigets artilleri krävde praktiska vinkelenheter: strecket föddes—1 streck ≈ 1 meters avvikelse på 1 km avstånd. NATO standardiserade 6400 streck/varv (en fin potens av 2), medan Sovjetunionen använde 6000 (decimal bekvämlighet). Sann milliradian = 6283/varv.

Rymdålderns astronomi uppnådde millibågsekundsprecision (Hipparcos, 1989), sedan mikrobågsekunder (Gaia, 2013). Gaia mäter stjärnparallax med en precision på 20 mikrobågsekunder—motsvarande att se ett människohår från 1 000 km avstånd! Modern fysik använder radianer universellt; endast navigation och konstruktion föredrar fortfarande grader.

• 1916: Militärt artilleri antar streck för avståndsberäkningar
• 1960: SI erkänner radianen som en koherent härledd enhet
• 1989: Hipparcos-satelliten: ~1 millibågsekunds precision
• 2013: Gaia-satelliten: 20 mikrobågsekunders precision—kartlägger 1 miljard stjärnor

Använd grader för: vardagliga vinklar, navigation, lantmäteri, konstruktion. Använd radianer för: analys, fysikekvationer, programmering (trigonometriska funktioner). Radianer är 'naturliga' eftersom båglängden = radie × vinkel. Derivator som d/dx(sin x) = cos x fungerar bara i radianer!

Cirkelns omkrets = 2πr. Halvcirkel (rak linje) = πr. Radianen definieras som båglängd/radie. För en halvcirkel: båge = πr, radie = r, så vinkel = πr/r = π radianer. Därför är π rad = 180° per definition.

Använd arctan: vinkel = arctan(grad/100). Exempel: 10% grad = arctan(0,1) ≈ 5,71°. INTE bara multiplicera! 10% ≠ 10°. Omvänt: grad = tan(vinkel) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% grad.

Bågminut (′) = 1/60 av en grad (vinkel). Tidsminut = 1/60 av en timme (tid). Helt olika! Inom astronomi omvandlas 'tidsminut' till vinkel: 1 min = 15 bågminuter (eftersom 24h = 360°, så 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Streck utformades så att 1 streck ≈ 1 meter på 1 km (praktisk ballistik). Sann matematisk milliradian = 1/1000 rad ≈ 6283 per varv. NATO förenklade till 6400 (potens av 2, delar fint). Sovjetunionen använde 6000 (delar med 10). Sverige 6300 (kompromiss). Alla ligger nära 2π×1000.

Ja! Positivt = moturs (matematisk konvention). Negativt = medurs. -90° = 270° (samma position, annan riktning). I navigation används 0-360°-intervallet. I matematik/fysik är negativa vinklar vanliga. Exempel: -π/2 = -90° = 270°.