Kąt mierzy obrót lub skręt między dwiema liniami. Pomyśl o otwieraniu drzwi lub obracaniu koła. Mierzony w stopniach (°), radianach (rad) lub gradach. 360° = pełne koło = jeden pełny obrót.

• Kąt = ilość obrotu
• Pełne koło = 360° = 2π rad
• Kąt prosty = 90° = π/2 rad
• Linia prosta = 180° = π rad

Stopnie: okrąg podzielony na 360 części (historycznie). Radiany: oparte na promieniu okręgu. 2π radianów = 360°. Radiany są 'naturalne' dla matematyki/fizyki. π rad = 180°, więc 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (pełne koło)
• 180° = π rad (półkole)
• 90° = π/2 rad (kąt prosty)
• 1 rad ≈ 57,2958° (przeliczenie)

Grad: 100 grad = 90° (kąt metryczny). Minuta/sekunda łuku: podziały stopnia (astronomia). Tysięczna: nawigacja wojskowa (6400 tysięcznych = okrąg). Każda jednostka dla określonego zastosowania.

• Grad: 400 grad = okrąg
• Minuta łuku: 1′ = 1/60°
• Sekunda łuku: 1″ = 1/3600°
• Tysięczna (NATO): 6400 mil = okrąg

360° na okrąg (pochodzenie babilońskie - ~360 dni/rok). Podzielony: 1° = 60′ (minut łuku) = 3600″ (sekund łuku). Uniwersalny do nawigacji, geodezji, codziennego użytku.

• 360° = pełne koło
• 1° = 60 minut łuku (′)
• 1′ = 60 sekund łuku (″)
• Łatwy dla ludzi, historyczny

Radian: długość łuku = promień. 2π rad = obwód koła/promień. Naturalny dla rachunku różniczkowego (pochodne sin, cos). Standard w fizyce, inżynierii. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (dokładnie)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Naturalny dla matematyki/fizyki

Grad: 400 grad = okrąg (kąt metryczny). 100 grad = kąt prosty. Tysięczna: nawigacja wojskowa - NATO używa 6400 tysięcznych. ZSRR używało 6000. Istnieją różne standardy.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (kąt prosty)
• Tysięczna (NATO): 6400 na okrąg
• Tysięczna (ZSRR): 6000 na okrąg

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Zawsze używaj radianów w rachunku różniczkowym! Funkcje trygonometryczne potrzebują radianów do obliczania pochodnych.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Rachunek różniczkowy wymaga radianów

sin, cos, tan odnoszą kąty do stosunków. Koło jednostkowe: promień=1, kąt=θ. Współrzędne punktu: (cos θ, sin θ). Niezbędne w fizyce, inżynierii, grafice.

• sin θ = przeciwprostokątna/przeciwprostokątna
• cos θ = przyprostokątna/przeciwprostokątna
• tan θ = przeciwprostokątna/przyprostokątna
• Koło jednostkowe: (cos θ, sin θ)

Kąty dodaje się/odejmuje normalnie. 45° + 45° = 90°. Pełny obrót: dodaj/odejmij 360° (lub 2π). Arytmetyka modularna do zawijania: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normalne dodawanie)
• Zawijanie: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Kąty ujemne: -90° = 270°

Namiary kompasowe: 0°=Północ, 90°=Wschód, 180°=Południe, 270°=Zachód. Wojsko używa tysięcznych dla precyzji. Kompas ma 32 punkty (każdy 11,25°). GPS używa stopni dziesiętnych.

• Namiary: 0-360° od Północy
• Tysięczna NATO: 6400 na okrąg
• Punkty kompasu: 32 (każdy 11,25°)
• GPS: stopnie dziesiętne

Pozycje gwiazd: precyzja sekund łuku. Paralaksy: milisekundy łuku. Hubble: rozdzielczość ~50 mas. Satelita Gaia: precyzja mikrosekund łuku. Kąt godzinny: 24h = 360°.

• Sekunda łuku: pozycje gwiazd
• Milisekunda łuku: paralaksy, VLBI
• Mikrosekunda łuku: satelita Gaia
• Kąt godzinny: 15°/godzinę

Nachylenie: procentowy stopień lub kąt. 10% nachylenia ≈ 5,7°. Projektowanie dróg używa procentów. Geodezja używa stopni/minut/sekund. System gradowy dla krajów metrycznych.

• Nachylenie: % lub stopnie
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Geodezja: SMS (stopnie-minuty-sekundy)
• Grad: geodezja metryczna

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Szybko: 180° = π rad, więc podziel/pomnóż przez ten stosunek.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (dokładnie)
• 2π rad = 360° (dokładnie)

kąt = arctan(nachylenie/100). 10% nachylenia = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Odwrotnie: nachylenie = tan(kąt) × 100.

• θ = arctan(stopień/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Stromy: 100% = 45°

1° = 60′ (min łuku). 1′ = 60″ (sek łuku). Łącznie: 1° = 3600″. Szybki podział dla precyzji.

• 1° = 60 minut łuku
• 1′ = 60 sekund łuku
• 1° = 3600 sekund łuku
• SMS: stopnie-minuty-sekundy

Droga ma 8% nachylenia. Jaki jest kąt?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Stosunkowo łagodne nachylenie!

Płyń na namiar 135°. Jaki to kierunek na kompasie?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=W. 135° jest między E (90°) a S (180°). Kierunek: Południowy Wschód (SE).

Gwiazda przesunęła się o 0,5 sekundy łuku. Ile to stopni?

1″ = 1/3600°. Więc 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Niewielki ruch!

Babilończycy używali systemu sześćdziesiątkowego (podstawa 60). 360 ma wiele dzielników (24 czynniki!). W przybliżeniu odpowiada 360 dniom w roku. Wygodne dla astronomii i pomiaru czasu. Dzieli się również równo przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radian jest zdefiniowany przez długość łuku = promień. To sprawia, że rachunek różniczkowy jest piękny: d/dx(sin x) = cos x (tylko w radianach!). W stopniach, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (bałagan). Natura 'używa' radianów!

Kąt metryczny: 100 grad = kąt prosty. Próbowano go wprowadzić podczas Rewolucji Francuskiej wraz z systemem metrycznym. Nigdy nie zyskał popularności—stopnie były zbyt zakorzenione. Nadal używany w niektórych pomiarach (Szwajcaria, Europa Północna). Kalkulatory mają tryb 'grad'!

1 milisekunda łuku ≈ szerokość ludzkiego włosa widzianego z odległości 10 km! Teleskop Kosmiczny Hubble'a może rozdzielić ~50 mas. Niesamowita precyzja dla astronomii. Używany do pomiaru paralaksy gwiazdowej, gwiazd podwójnych.

Tysięczna wojskowa: 1 tysięczna ≈ 1 m szerokości na odległości 1 km (NATO: 1,02 m, wystarczająco blisko). Łatwa matematyka w pamięci do szacowania zasięgu. Różne kraje używają różnych tysięcznych (6000, 6300, 6400 na okrąg). Praktyczna jednostka balistyczna!

90 = 360/4 (ćwierć obrotu). Ale 'prosty' pochodzi od łacińskiego 'rectus' = wyprostowany, prosty. Kąt prosty tworzy linie prostopadłe. Niezbędny w budownictwie—budynki potrzebują kątów prostych, aby stać!

Babilończycy używali systemu liczbowego sześćdziesiątkowego (o podstawie 60) do astronomii i mierzenia czasu. Podzielili okrąg na 360 części, ponieważ 360 ≈ dni w roku (w rzeczywistości 365,25), a 360 ma 24 dzielniki—niesamowicie wygodne dla ułamków.

Ten system o podstawie 60 przetrwał do dziś: 60 sekund w minucie, 60 minut w godzinie i w stopniu. Liczba 360 rozkłada się na czynniki jako 2³ × 3² × 5, dzieląc się równo przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—marzenie każdego kalkulatora!

• 2000 p.n.e.: Astronomowie babilońscy śledzą pozycje niebieskie w stopniach
• 360° wybrano ze względu na podzielność i ~przybliżenie roku
• Podstawa 60 daje nam godziny (24 = 360/15) i minuty/sekundy
• Greccy astronomowie przejęli 360° z tablic babilońskich

Elementy Euklidesa (300 p.n.e.) sformalizowały geometrię kątów—kąty proste (90°), dopełniające (suma do 90°), przyległe (suma do 180°). Greccy matematycy, tacy jak Hipparch, stworzyli trygonometrię używając tablic opartych na stopniach dla astronomii i geodezji.

Średniowieczni nawigatorzy używali astrolabium i kompasu z 32 punktami (każdy 11,25°). Marynarze potrzebowali precyzyjnych namiarów; minuty łuku (1/60°) i sekundy łuku (1/3600°) pojawiły się w katalogach gwiazd i na mapach morskich.

• 300 p.n.e.: Elementy Euklidesa definiują kąty geometryczne
• 150 p.n.e.: Hipparch tworzy pierwsze tablice trygonometryczne (stopnie)
• Lata 1200: Astrolabium używa oznaczeń w stopniach do nawigacji niebieskiej
• 1569: Rzut Mercatora wymaga matematyki zachowującej kąty

Gdy Newton i Leibniz rozwijali rachunek różniczkowy (lata 1670.), stopnie stały się problematyczne: d/dx(sin x) = (π/180)cos x w stopniach—brzydka stała! Roger Cotes (1682-1716) i Leonhard Euler sformalizowali radian: kąt = długość łuku / promień. Teraz d/dx(sin x) = cos x pięknie.

James Thomson ukuł termin 'radian' w 1873 roku (z łaciny 'radius'). Radian stał się JEDNOSTKĄ dla analizy matematycznej, fizyki i inżynierii. Mimo to, stopnie przetrwały w życiu codziennym, ponieważ ludzie wolą liczby całkowite od π.

• Lata 1670.: Rachunek różniczkowy ujawnia, że stopnie tworzą bałaganiarskie wzory
• 1714: Roger Cotes rozwija 'miarę kołową' (przed-radian)
• 1748: Euler szeroko stosuje radiany w analizie
• 1873: Thomson nazywa go 'radianem'; staje się standardem matematycznym

Artyleria I wojny światowej wymagała praktycznych jednostek kątowych: narodziła się tysięczna—1 tysięczna ≈ 1 metr odchylenia na odległości 1 km. NATO ustandaryzowało 6400 tysięcznych/okrąg (ładna potęga 2), podczas gdy ZSRR używało 6000 (wygoda dziesiętna). Prawdziwy miliradian = 6283/okrąg.

Astronomia ery kosmicznej osiągnęła precyzję milisekund łuku (Hipparcos, 1989), a następnie mikrosekund łuku (Gaia, 2013). Gaia mierzy paralaksę gwiazdową z dokładnością do 20 mikrosekund łuku—co odpowiada zobaczeniu ludzkiego włosa z odległości 1000 km! Współczesna fizyka powszechnie używa radianów; tylko nawigacja i budownictwo wciąż preferują stopnie.

• 1916: Artyleria wojskowa przyjmuje tysięczną do obliczeń zasięgu
• 1960: SI uznaje radian za spójną jednostkę pochodną
• 1989: Satelita Hipparcos: precyzja ~1 milisekundy łuku
• 2013: Satelita Gaia: precyzja 20 mikrosekund łuku—mapuje 1 miliard gwiazd

Używaj stopni do: codziennych kątów, nawigacji, geodezji, budownictwa. Używaj radianów do: rachunku różniczkowego, równań fizycznych, programowania (funkcje trygonometryczne). Radiany są 'naturalne', ponieważ długość łuku = promień × kąt. Pochodne, takie jak d/dx(sin x) = cos x, działają tylko w radianach!

Obwód koła = 2πr. Półkole (linia prosta) = πr. Radian jest zdefiniowany jako długość łuku/promień. Dla półkola: łuk = πr, promień = r, więc kąt = πr/r = π radianów. Dlatego, z definicji, π rad = 180°.

Użyj arctan: kąt = arctan(stopień/100). Przykład: 10% nachylenia = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NIE tylko mnożyć! 10% ≠ 10°. Odwrotnie: stopień = tan(kąt) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% nachylenia.

Minuta łuku (′) = 1/60 stopnia (kąt). Minuta czasu = 1/60 godziny (czas). Zupełnie co innego! W astronomii 'minuta czasu' jest przeliczana na kąt: 1 min = 15 minut łuku (ponieważ 24h = 360°, więc 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Tysięczna została zaprojektowana tak, aby 1 tysięczna ≈ 1 metr na 1 km (praktyczna balistyka). Prawdziwy matematyczny miliradian = 1/1000 rad ≈ 6283 na okrąg. NATO uprościło to do 6400 (potęga 2, ładnie się dzieli). ZSRR używało 6000 (dzieli się przez 10). Szwecja 6300 (kompromis). Wszystkie są bliskie 2π×1000.

Tak! Dodatnie = przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (konwencja matematyczna). Ujemne = zgodnie z ruchem wskazówek zegara. -90° = 270° (ta sama pozycja, inny kierunek). W nawigacji używa się zakresu 0-360°. W matematyce/fizyce kąty ujemne są powszechne. Przykład: -π/2 = -90° = 270°.