కోణం అనేది రెండు రేఖల మధ్య భ్రమణం లేదా మలుపును కొలుస్తుంది. ఒక తలుపు తెరవడం లేదా ఒక చక్రాన్ని తిప్పడం గురించి ఆలోచించండి. డిగ్రీలు (°), రేడియన్లు (rad), లేదా గ్రేడియన్లలో కొలుస్తారు. 360° = పూర్తి వృత్తం = ఒక పూర్తి భ్రమణం.

• కోణం = భ్రమణం యొక్క మొత్తం
• పూర్తి వృత్తం = 360° = 2π rad
• లంబ కోణం = 90° = π/2 rad
• సరళ రేఖ = 180° = π rad

డిగ్రీలు: వృత్తాన్ని 360 భాగాలుగా విభజించడం (చారిత్రక). రేడియన్లు: వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఆధారంగా. 2π రేడియన్లు = 360°. రేడియన్లు గణితం/భౌతికశాస్త్రానికి 'సహజమైనవి'. π rad = 180°, కాబట్టి 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (పూర్తి వృత్తం)
• 180° = π rad (అర్ధ వృత్తం)
• 90° = π/2 rad (లంబ కోణం)
• 1 rad ≈ 57.2958° (మార్పిడి)

గ్రేడియన్: 100 grad = 90° (మెట్రిక్ కోణం). ఆర్క్‌మినిట్/ఆర్క్‌సెకండ్: డిగ్రీ యొక్క ఉపవిభజనలు (ఖగోళశాస్త్రం). మిల్: సైనిక నావిగేషన్ (6400 మిల్స్ = వృత్తం). ప్రతి యూనిట్ నిర్దిష్ట అనువర్తనం కోసం.

• గ్రేడియన్: 400 grad = వృత్తం
• ఆర్క్‌మినిట్: 1′ = 1/60°
• ఆర్క్‌సెకండ్: 1″ = 1/3600°
• మిల్ (NATO): 6400 mil = వృత్తం

ఒక వృత్తానికి 360° (బాబిలోనియన్ మూలం - ~360 రోజులు/సంవత్సరం). ఉపవిభజన: 1° = 60′ (ఆర్క్‌మినిట్‌లు) = 3600″ (ఆర్క్‌సెకండ్‌లు). నావిగేషన్, సర్వేయింగ్, రోజువారీ ఉపయోగం కోసం సార్వత్రికమైనది.

• 360° = పూర్తి వృత్తం
• 1° = 60 ఆర్క్‌మినిట్‌లు (′)
• 1′ = 60 ఆర్క్‌సెకండ్‌లు (″)
• మానవులకు సులభం, చారిత్రకమైనది

రేడియన్: ఆర్క్ పొడవు = వ్యాసార్థం. 2π rad = వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత/వ్యాసార్థం. కాలిక్యులస్ (sin, cos ఉత్పన్నాలు) కోసం సహజమైనది. భౌతికశాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్ ప్రమాణం. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (కచ్చితంగా)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• గణితం/భౌతికశాస్త్రానికి సహజమైనది

గ్రేడియన్: 400 grad = వృత్తం (మెట్రిక్ కోణం). 100 grad = లంబ కోణం. మిల్: సైనిక నావిగేషన్ - NATO 6400 మిల్స్‌ను ఉపయోగిస్తుంది. USSR 6000 ఉపయోగించింది. వేర్వేరు ప్రమాణాలు ఉన్నాయి.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (లంబ కోణం)
• మిల్ (NATO): ఒక వృత్తానికి 6400
• మిల్ (USSR): ఒక వృత్తానికి 6000

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. కాలిక్యులస్‌లో ఎల్లప్పుడూ రేడియన్లను వాడండి! ట్రిగ్ ఫంక్షన్లకు ఉత్పన్నాల కోసం రేడియన్లు అవసరం.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• కాలిక్యులస్‌కు రేడియన్లు అవసరం

sin, cos, tan కోణాలను నిష్పత్తులకు సంబంధింపజేస్తాయి. యూనిట్ వృత్తం: వ్యాసార్థం=1, కోణం=θ. పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు: (cos θ, sin θ). భౌతికశాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్, గ్రాఫిక్స్‌కు అవసరం.

• sin θ = ఎదుటి భుజం/కర్ణం
• cos θ = ఆసన్న భుజం/కర్ణం
• tan θ = ఎదుటి భుజం/ఆసన్న భుజం
• యూనిట్ వృత్తం: (cos θ, sin θ)

కోణాలను సాధారణంగా కూడవచ్చు/తీయవచ్చు. 45° + 45° = 90°. పూర్తి భ్రమణం: 360° (లేదా 2π) ను కూడండి/తీయండి. చుట్టడానికి మాడ్యులో అరిథ్‌మెటిక్: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (సాధారణ సంకలనం)
• చుట్టడం: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• ప్రతికూల కోణాలు: -90° = 270°

దిక్సూచి బేరింగ్‌లు: 0°=ఉత్తరం, 90°=తూర్పు, 180°=దక్షిణం, 270°=పశ్చిమం. సైన్యం కచ్చితత్వం కోసం మిల్స్‌ను ఉపయోగిస్తుంది. దిక్సూచికి 32 పాయింట్లు ఉంటాయి (ప్రతి ఒక్కటి 11.25°). GPS డెసిమల్ డిగ్రీలను ఉపయోగిస్తుంది.

• బేరింగ్‌లు: ఉత్తరం నుండి 0-360°
• NATO మిల్: ఒక వృత్తానికి 6400
• దిక్సూచి పాయింట్లు: 32 (ప్రతి ఒక్కటి 11.25°)
• GPS: డెసిమల్ డిగ్రీలు

నక్షత్ర స్థానాలు: ఆర్క్‌సెకండ్‌ల కచ్చితత్వం. పారలాక్స్: మిల్లీఆర్క్‌సెకండ్‌లు. హబుల్: ~50 mas రిజల్యూషన్. గాయా ఉపగ్రహం: మైక్రోఆర్క్‌సెకండ్ కచ్చితత్వం. గంటల కోణం: 24h = 360°.

• ఆర్క్‌సెకండ్: నక్షత్ర స్థానాలు
• మిల్లీఆర్క్‌సెకండ్: పారలాక్స్, VLBI
• మైక్రోఆర్క్‌సెకండ్: గాయా ఉపగ్రహం
• గంటల కోణం: 15°/గంట

వాలు: శాతం గ్రేడ్ లేదా కోణం. 10% గ్రేడ్ ≈ 5.7°. రోడ్డు డిజైన్ శాతం ఉపయోగిస్తుంది. సర్వేయింగ్ డిగ్రీలు/నిమిషాలు/సెకన్లను ఉపయోగిస్తుంది. మెట్రిక్ దేశాలకు గ్రేడియన్ సిస్టమ్.

• వాలు: % లేదా డిగ్రీలు
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• సర్వేయింగ్: DMS (డిగ్రీ-నిమిషం-సెకన్)
• గ్రేడియన్: మెట్రిక్ సర్వేయింగ్

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. త్వరితంగా: 180° = π rad, కాబట్టి ఈ నిష్పత్తితో భాగించండి/గుణించండి.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (కచ్చితంగా)
• 2π rad = 360° (కచ్చితంగా)

కోణం = arctan(వాలు/100). 10% వాలు = arctan(0.1) ≈ 5.71°. రివర్స్: వాలు = tan(కోణం) × 100.

• θ = arctan(గ్రేడ్/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• నిటారు: 100% = 45°

1° = 60′ (ఆర్క్‌మినిట్). 1′ = 60″ (ఆర్క్‌సెకండ్). మొత్తం: 1° = 3600″. కచ్చితత్వం కోసం త్వరిత ఉపవిభజన.

• 1° = 60 ఆర్క్‌మినిట్‌లు
• 1′ = 60 ఆర్క్‌సెకండ్‌లు
• 1° = 3600 ఆర్క్‌సెకండ్‌లు
• DMS: డిగ్రీలు-నిమిషాలు-సెకన్లు

రోడ్డుకు 8% గ్రేడ్ ఉంది. కోణం ఎంత?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. చాలా సున్నితమైన వాలు!

135° బేరింగ్‌లో నావిగేట్ చేయండి. అది ఏ దిక్సూచి దిశ?

0°=ఉ, 90°=తూ, 180°=ద, 270°=ప. 135° తూ (90°) మరియు ద (180°) మధ్య ఉంది. దిశ: ఆగ్నేయం (SE).

ఒక నక్షత్రం 0.5 ఆర్క్‌సెకండ్‌లు కదిలింది. అది ఎన్ని డిగ్రీలు?

1″ = 1/3600°. కాబట్టి 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. చాలా చిన్న కదలిక!

బాబిలోనియన్లు బేస్-60 (షష్ఠాంశ) వ్యవస్థను ఉపయోగించారు. 360కి చాలా భాజకాలు ఉన్నాయి (24 కారకాలు!). సంవత్సరంలోని 360 రోజులకు దాదాపుగా సరిపోలుతుంది. ఖగోళశాస్త్రం మరియు సమయపాలనకు సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఇది 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... లతో కూడా నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

రేడియన్ ఆర్క్ పొడవు = వ్యాసార్థం ద్వారా నిర్వచించబడింది. ఇది కాలిక్యులస్‌ను అందంగా చేస్తుంది: d/dx(sin x) = cos x (రేడియన్లలో మాత్రమే!). డిగ్రీలలో, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (చిందరవందరగా). ప్రకృతి 'రేడియన్లను' ఉపయోగిస్తుంది!

మెట్రిక్ కోణం: 100 grad = లంబ కోణం. ఫ్రెంచ్ విప్లవం సమయంలో మెట్రిక్ సిస్టమ్‌తో ప్రయత్నించారు. ఎప్పుడూ ప్రాచుర్యం పొందలేదు—డిగ్రీలు చాలా బలంగా పాతుకుపోయాయి. ఇప్పటికీ కొన్ని సర్వేయింగ్‌లలో (స్విట్జర్లాండ్, ఉత్తర యూరప్) ఉపయోగిస్తారు. కాలిక్యులేటర్లలో 'grad' మోడ్ ఉంటుంది!

1 మిల్లీఆర్క్‌సెకండ్ ≈ 10 కి.మీ దూరం నుండి చూసిన మానవ వెంట్రుక వెడల్పు! హబుల్ స్పేస్ టెలిస్కోప్ ~50 mas వరకు రిజల్యూషన్ చేయగలదు. ఖగోళశాస్త్రానికి అద్భుతమైన కచ్చితత్వం. నక్షత్ర పారలాక్స్, బైనరీ నక్షత్రాలను కొలవడానికి ఉపయోగిస్తారు.

సైనిక మిల్: 1 మిల్ ≈ 1 కి.మీ దూరంలో 1 మీ వెడల్పు (NATO: 1.02 మీ, చాలా దగ్గరగా). రేంజ్ అంచనా కోసం సులభమైన మానసిక గణితం. వేర్వేరు దేశాలు వేర్వేరు మిల్స్‌ను ఉపయోగిస్తాయి (ఒక వృత్తానికి 6000, 6300, 6400). ఆచరణాత్మక బాలిస్టిక్స్ యూనిట్!

90 = 360/4 (పావు వంతు భ్రమణం). కానీ 'లంబ' (right) లాటిన్ 'rectus' = నిటారుగా, సరళంగా నుండి వచ్చింది. లంబ కోణం లంబ రేఖలను చేస్తుంది. నిర్మాణానికి అవసరం—భవనాలు నిలబడటానికి లంబ కోణాలు అవసరం!

బాబిలోనియన్లు ఖగోళశాస్త్రం మరియు సమయపాలన కోసం షష్ఠాంశ (బేస్-60) సంఖ్యా వ్యవస్థను ఉపయోగించారు. వారు వృత్తాన్ని 360 భాగాలుగా విభజించారు ఎందుకంటే 360 ≈ సంవత్సరంలోని రోజులు (వాస్తవానికి 365.25), మరియు 360కి 24 భాజకాలు ఉన్నాయి—భిన్నాలకు నమ్మశక్యం కాని విధంగా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఈ బేస్-60 వ్యవస్థ నేటికీ కొనసాగుతుంది: నిమిషానికి 60 సెకన్లు, గంటకు మరియు డిగ్రీకి 60 నిమిషాలు. 360 సంఖ్యను 2³ × 3² × 5 గా కారకాలుగా విభజించవచ్చు, ఇది 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది—ఒక కాలిక్యులేటర్ కల!

• క్రీ.పూ. 2000: బాబిలోనియన్ ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞులు ఖగోళ స్థానాలను డిగ్రీలలో ట్రాక్ చేస్తారు
• 360° భాగించదగినతనం మరియు ~సంవత్సర అంచనా కోసం ఎంపిక చేయబడింది
• బేస్-60 మనకు గంటలు (24 = 360/15) మరియు నిమిషాలు/సెకన్లను ఇస్తుంది
• గ్రీకు ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞులు బాబిలోనియన్ పట్టికల నుండి 360°ను స్వీకరించారు

యూక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్ (క్రీ.పూ. 300) కోణ జ్యామితిని లాంఛనప్రాయంగా చేసింది—లంబ కోణాలు (90°), పూరక కోణాలు (మొత్తం 90°), సంపూరక కోణాలు (మొత్తం 180°). హిప్పార్కస్ వంటి గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఖగోళశాస్త్రం మరియు సర్వేయింగ్ కోసం డిగ్రీ-ఆధారిత పట్టికలను ఉపయోగించి ట్రిగనోమెట్రీని సృష్టించారు.

మధ్యయుగ నావికులు 32 పాయింట్లతో (ప్రతి ఒక్కటి 11.25°) ఆస్ట్రోలేబ్ మరియు దిక్సూచిని ఉపయోగించారు. నావికులకు కచ్చితమైన బేరింగ్‌లు అవసరం; ఆర్క్‌మినిట్‌లు (1/60°) మరియు ఆర్క్‌సెకండ్‌లు (1/3600°) నక్షత్ర కేటలాగ్‌లు మరియు నాటికల్ చార్ట్‌ల కోసం ఉద్భవించాయి.

• క్రీ.పూ. 300: యూక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్ జ్యామితీయ కోణాలను నిర్వచిస్తుంది
• క్రీ.పూ. 150: హిప్పార్కస్ మొదటి ట్రిగ్ పట్టికలను (డిగ్రీలు) సృష్టిస్తాడు
• 1200లు: ఆస్ట్రోలేబ్ ఖగోళ నావిగేషన్ కోసం డిగ్రీ గుర్తులను ఉపయోగిస్తుంది
• 1569: మెర్కేటర్ మ్యాప్ ప్రొజెక్షన్‌కు కోణ-సంరక్షణ గణితం అవసరం

న్యూటన్ మరియు లైబ్నిజ్ కాలిక్యులస్‌ను (1670లు) అభివృద్ధి చేస్తున్నప్పుడు, డిగ్రీలు సమస్యాత్మకంగా మారాయి: డిగ్రీలలో d/dx(sin x) = (π/180)cos x—ఒక అసహ్యమైన స్థిరాంకం! రోజర్ కోట్స్ (1682-1716) మరియు లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ రేడియన్‌ను లాంఛనప్రాయంగా చేశారు: కోణం = ఆర్క్ పొడవు / వ్యాసార్థం. ఇప్పుడు d/dx(sin x) = cos x అందంగా ఉంది.

జేమ్స్ థామ్సన్ 1873లో 'రేడియన్' అనే పదాన్ని (లాటిన్ 'radius' నుండి) సృష్టించాడు. రేడియన్ గణిత విశ్లేషణ, భౌతికశాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్‌కు యూనిట్ అయింది. అయినప్పటికీ, మానవులు π కంటే పూర్ణాంకాలను ఇష్టపడటం వలన రోజువారీ జీవితంలో డిగ్రీలు కొనసాగాయి.

• 1670లు: కాలిక్యులస్ డిగ్రీలు గజిబిజి ఫార్ములాలను సృష్టిస్తాయని వెల్లడిస్తుంది
• 1714: రోజర్ కోట్స్ 'వృత్తాకార కొలత' (ప్రీ-రేడియన్)ను అభివృద్ధి చేస్తాడు
• 1748: ఆయిలర్ విశ్లేషణలో రేడియన్లను విస్తృతంగా ఉపయోగిస్తాడు
• 1873: థామ్సన్ దానికి 'రేడియన్' అని పేరు పెట్టాడు; గణిత ప్రమాణంగా మారింది

మొదటి ప్రపంచ యుద్ధ ఫిరంగికి ఆచరణాత్మక కోణ యూనిట్లు అవసరం: మిల్ పుట్టింది—1 మిల్ ≈ 1 కి.మీ దూరంలో 1 మీటర్ విచలనం. NATO 6400 మిల్స్/వృత్తాన్ని (2 యొక్క మంచి ఘాతాంకం) ప్రామాణీకరించింది, అయితే USSR 6000 (దశాంశ సౌలభ్యం) ఉపయోగించింది. నిజమైన మిల్లీరేడియన్ = 6283/వృత్తం.

అంతరిక్ష-యుగ ఖగోళశాస్త్రం మిల్లీఆర్క్‌సెకండ్ కచ్చితత్వాన్ని (హిప్పార్కోస్, 1989), ఆపై మైక్రోఆర్క్‌సెకండ్‌లను (గాయా, 2013) సాధించింది. గాయా నక్షత్ర పారలాక్స్‌ను 20 మైక్రోఆర్క్‌సెకండ్‌లకు కొలుస్తుంది—ఇది 1,000 కి.మీ దూరం నుండి మానవ వెంట్రుకను చూడటానికి సమానం! ఆధునిక భౌతికశాస్త్రం సార్వత్రికంగా రేడియన్లను ఉపయోగిస్తుంది; కేవలం నావిగేషన్ మరియు నిర్మాణం మాత్రమే ఇప్పటికీ డిగ్రీలను ఇష్టపడతాయి.

• 1916: సైనిక ఫిరంగి రేంజ్ గణనల కోసం మిల్ స్వీకరించింది
• 1960: SI రేడియన్‌ను పొందికైన ఉత్పన్న యూనిట్‌గా గుర్తిస్తుంది
• 1989: హిప్పార్కోస్ ఉపగ్రహం: ~1 మిల్లీఆర్క్‌సెకండ్ కచ్చితత్వం
• 2013: గాయా ఉపగ్రహం: 20 మైక్రోఆర్క్‌సెకండ్ కచ్చితత్వం—1 బిలియన్ నక్షత్రాలను మ్యాప్ చేస్తుంది

డిగ్రీలను ఉపయోగించండి: రోజువారీ కోణాలు, నావిగేషన్, సర్వేయింగ్, నిర్మాణం. రేడియన్లను ఉపయోగించండి: కాలిక్యులస్, భౌతికశాస్త్ర సమీకరణాలు, ప్రోగ్రామింగ్ (ట్రిగ్ ఫంక్షన్లు). రేడియన్లు 'సహజమైనవి', ఎందుకంటే ఆర్క్ పొడవు = వ్యాసార్థం × కోణం. d/dx(sin x) = cos x వంటి ఉత్పన్నాలు రేడియన్లలో మాత్రమే పనిచేస్తాయి!

వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత = 2πr. అర్ధ వృత్తం (సరళ రేఖ) = πr. రేడియన్ ఆర్క్ పొడవు/వ్యాసార్థంగా నిర్వచించబడింది. అర్ధ వృత్తం కోసం: ఆర్క్ = πr, వ్యాసార్థం = r, కాబట్టి కోణం = πr/r = π రేడియన్లు. అందువల్ల, నిర్వచనం ప్రకారం π rad = 180°.

arctan ఉపయోగించండి: కోణం = arctan(గ్రేడ్/100). ఉదాహరణ: 10% గ్రేడ్ = arctan(0.1) ≈ 5.71°. కేవలం గుణించవద్దు! 10% ≠ 10°. రివర్స్: గ్రేడ్ = tan(కోణం) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% గ్రేడ్.

ఆర్క్‌మినిట్ (′) = ఒక డిగ్రీలో 1/60 (కోణం). సమయ నిమిషం = ఒక గంటలో 1/60 (సమయం). పూర్తిగా భిన్నమైనవి! ఖగోళశాస్త్రంలో, 'సమయ నిమిషం' కోణంగా మార్చబడుతుంది: 1 నిమిషం = 15 ఆర్క్‌మినిట్‌లు (ఎందుకంటే 24h = 360°, కాబట్టి 1 నిమిషం = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

మిల్ 1 మిల్ ≈ 1 కి.మీ వద్ద 1 మీటర్ (ఆచరణాత్మక బాలిస్టిక్స్) ఉండేలా రూపొందించబడింది. నిజమైన గణిత మిల్లీరేడియన్ = 1/1000 rad ≈ ఒక వృత్తానికి 6283. NATO దానిని 6400కి సరళీకరించింది (2 యొక్క ఘాతాంకం, చక్కగా భాగించబడుతుంది). USSR 6000 ఉపయోగించింది (10తో భాగించబడుతుంది). స్వీడన్ 6300 (రాజీ). అన్నీ 2π×1000కి దగ్గరగా ఉన్నాయి.

అవును! అనుకూలం = అపసవ్యదిశ (గణిత సంప్రదాయం). ప్రతికూలం = సవ్యదిశ. -90° = 270° (అదే స్థానం, వేరే దిశ). నావిగేషన్‌లో, 0-360° పరిధిని ఉపయోగించండి. గణితం/భౌతికశాస్త్రంలో, ప్రతికూల కోణాలు సాధారణం. ఉదాహరణ: -π/2 = -90° = 270°.