角度は2つの線の間の回転または向きを測定します。ドアを開けたり、車輪を回したりすることを考えてみてください。度（°）、ラジアン（rad）、またはグラジアンで測定されます。360° = 完全な円 = 1回の完全な回転。

• 角度 = 回転量
• 完全な円 = 360° = 2π rad
• 直角 = 90° = π/2 rad
• 直線 = 180° = π rad

度：円を360等分したもの（歴史的）。ラジアン：円の半径に基づく。2πラジアン = 360°。ラジアンは数学/物理学にとって「自然」です。π rad = 180°、なので1 rad ≈ 57.3°。

• 360° = 2π rad（完全な円）
• 180° = π rad（半円）
• 90° = π/2 rad（直角）
• 1 rad ≈ 57.2958°（変換）

グラジアン：100 grad = 90°（メートル法の角度）。分角/秒角：度の下位区分（天文学）。ミル：軍用航法（6400ミル = 円）。各単位は特定の用途向けです。

• グラジアン：400 grad = 円
• 分角：1′ = 1/60°
• 秒角：1″ = 1/3600°
• ミル（NATO）：6400ミル = 円

円周あたり360°（バビロニア起源 - 約360日/年）。下位区分：1° = 60′（分角）= 3600″（秒角）。航海、測量、日常使用に普遍的。

• 360° = 完全な円
• 1° = 60分角（′）
• 1′ = 60秒角（″）
• 人間にとって簡単、歴史的

ラジアン：弧の長さ = 半径。2π rad = 円周/半径。微積分（sin, cosの導関数）に自然。物理学、工学の標準。π rad = 180°。

• 2π rad = 360°（正確）
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• 数学/物理学にとって自然

グラジアン：400 grad = 円（メートル法の角度）。100 grad = 直角。ミル：軍用航法 - NATOは6400ミルを使用。ソ連は6000を使用。異なる基準が存在する。

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90°（直角）
• ミル（NATO）：円周あたり6400
• ミル（ソ連）：円周あたり6000

rad = 度 × π/180。度 = rad × 180/π。grad = 度 × 10/9。微積分では常にラジアンを使用してください！三角関数は導関数のためにラジアンを必要とします。

• rad = 度 × (π/180)
• 度 = rad × (180/π)
• grad = 度 × (10/9)
• 微積分はラジアンを必要とする

sin, cos, tanは角度を比率に関連付けます。単位円：半径=1、角度=θ。点の座標：（cos θ, sin θ）。物理学、工学、グラフィックスに不可欠。

• sin θ = 対辺/斜辺
• cos θ = 隣辺/斜辺
• tan θ = 対辺/隣辺
• 単位円：（cos θ, sin θ）

角度は通常通り加算/減算されます。45° + 45° = 90°。全回転：360°（または2π）を加算/減算。ラップアラウンドのためのモジュロ演算：370° = 10°。

• θ₁ + θ₂（通常の加算）
• ラップ：θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• 負の角度：-90° = 270°

コンパス方位：0°=北、90°=東、180°=南、270°=西。軍は精度のためにミルを使用。コンパスには32点（各11.25°）。GPSは10進度の度を使用。

• 方位：北から0-360°
• NATOミル：円周あたり6400
• コンパスの点：32（各11.25°）
• GPS：10進度の度

星の位置：秒角の精度。視差：ミリ秒角。ハッブル：約50 masの解像度。ガイア衛星：マイクロ秒角の精度。時角：24h = 360°。

• 秒角：星の位置
• ミリ秒角：視差、VLBI
• マイクロ秒角：ガイア衛星
• 時角：15°/時

勾配：パーセント勾配または角度。10%勾配 ≈ 5.7°。道路設計ではパーセントを使用。測量では度/分/秒を使用。メートル法の国ではグラジアン系。

• 勾配：％または度
• 10% ≈ 5.7°（arctan 0.1）
• 測量：DMS（度-分-秒）
• グラジアン：メートル法測量

rad = 度 × π/180。度 = rad × 180/π。クイック：180° = π rad、なのでこの比率で割る/掛ける。

• rad = 度 × 0.01745
• 度 = rad × 57.2958
• π rad = 180°（正確）
• 2π rad = 360°（正確）

角度 = arctan(勾配/100)。10%勾配 = arctan(0.1) ≈ 5.71°。逆：勾配 = tan(角度) × 100。

• θ = arctan(勾配/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• 急勾配：100% = 45°

1° = 60′（分角）。1′ = 60″（秒角）。合計：1° = 3600″。精度のための素早い下位区分。

• 1° = 60分角
• 1′ = 60秒角
• 1° = 3600秒角
• DMS：度-分-秒

道路の勾配は8%です。角度は何度ですか？

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°。比較的なだらかな勾配です！

135°の方位で航行します。コンパスのどの方向ですか？

0°=N、90°=E、180°=S、270°=W。135°はE（90°）とS（180°）の間です。方向：南東（SE）。

星が0.5秒角移動しました。これは何度ですか？

1″ = 1/3600°。なので0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°。ごくわずかな動きです！

バビロニア人は60進法（セクサゲシマル）を使用していました。360には多くの約数があります（24個の因数！）。1年の約360日とほぼ一致します。天文学や時間計測に便利です。また、2、3、4、5、6、8、9、10、12...で割り切れます。

ラジアンは弧の長さ = 半径によって定義されます。これにより、微積分が美しくなります：d/dx(sin x) = cos x（ラジアンでのみ！）。度では、d/dx(sin x) = (π/180)cos x（面倒）。自然はラジアンを「使用」しています！

メートル法の角度：100グラジアン = 直角。フランス革命中にメートル法とともに試みられました。普及しませんでした—度が定着しすぎていました。一部の測量（スイス、北ヨーロッパ）ではまだ使用されています。電卓には「grad」モードがあります！

1ミリ秒角 ≈ 10km離れた場所から見た人間の髪の毛の幅！ハッブル宇宙望遠鏡は約50 masを分解できます。天文学にとって信じられないほどの精度です。恒星の視差、連星の測定に使用されます。

軍用ミル：1ミル ≈ 1km先で1mの幅（NATO：1.02m、十分近い）。距離推定のための簡単な暗算。国によって異なるミルを使用しています（円周あたり6000、6300、6400）。実用的な弾道単位です！

90 = 360/4（四分の一回転）。しかし、「直」はラテン語の「rectus」= 直立、まっすぐに由来します。直角は垂直な線を作ります。建設に不可欠です—建物が立つためには直角が必要です！

バビロニア人は天文学と時間計測にセクサゲシマル（60進法）の数体系を使用していました。彼らが円を360等分したのは、360が1年の日数にほぼ等しく（実際は365.25日）、360には24個の約数があり、分数にとって非常に便利だったからです。

この60進法は今日でも続いています：1分に60秒、1時間と1度に60分。360という数字は2³ × 3² × 5と因数分解され、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180で割り切れます—電卓の夢です！

• 紀元前2000年：バビロニアの天文学者が天体の位置を度で追跡
• 360°はその割り切れやすさと年のおおよその近似のために選ばれた
• 60進法は私たちに時間（24 = 360/15）と分/秒を与えた
• ギリシャの天文学者がバビロニアの表から360°を採用

ユークリッドの『原論』（紀元前300年）は角度の幾何学を形式化しました—直角（90°）、余角（合計90°）、補角（合計180°）。ヒッパルコスのようなギリシャの数学者は、天文学と測量のために度に基づいた表を使用して三角法を作成しました。

中世の航海士はアストロラーベと32点（各11.25°）のコンパスを使用しました。船乗りは正確な方位を必要としていました。分角（1/60°）と秒角（1/3600°）は星表と海図のために生まれました。

• 紀元前300年：ユークリッドの『原論』が幾何学的な角度を定義
• 紀元前150年：ヒッパルコスが最初の三角関数表を作成（度）
• 1200年代：アストロラーベが天体航法に度の目盛りを使用
• 1569年：メルカトル図法は角度を保存する数学を必要とする

ニュートンとライプニッツが微積分を開発するにつれて（1670年代）、度は問題になりました：度ではd/dx(sin x) = (π/180)cos x—醜い定数！ロジャー・コーツ（1682-1716）とレオンハルト・オイラーはラジアンを形式化しました：角度 = 弧の長さ / 半径。今ではd/dx(sin x) = cos xが美しくなります。

ジェームズ・トムソンは1873年に「ラジアン」という用語を作り出しました（ラテン語の「radius」から）。ラジアンは数学的解析、物理学、工学の単位となりました。しかし、人間はπよりも整数を好むため、日常生活では度が存続しました。

• 1670年代：微積分は度が面倒な公式を生むことを明らかにする
• 1714年：ロジャー・コーツが「円周測度」（ラジアン以前）を開発
• 1748年：オイラーが解析学でラジアンを多用
• 1873年：トムソンが「ラジアン」と命名し、数学の標準となる

第一次世界大戦の砲兵は実用的な角度単位を要求しました：ミルが生まれました—1ミル ≈ 1km先で1メートルのずれ。NATOは6400ミル/円周を標準化しましたが（2のきれいなべき乗）、ソ連は6000を使用しました（10進法の利便性）。真のミリラジアン = 6283/円周。

宇宙時代の天文学はミリ秒角の精度（ヒッパルコス、1989年）、次にマイクロ秒角の精度（ガイア、2013年）を達成しました。ガイアは恒星の視差を20マイクロ秒角まで測定します—これは1,000km離れた場所から人間の髪の毛を見るのと同じです！現代物理学はラジアンを普遍的に使用しますが、航海と建設だけは依然として度を好みます。

• 1916年：軍の砲兵が距離計算にミルを採用
• 1960年：SIがラジアンを整合性のある組立単位として認識
• 1989年：ヒッパルコス衛星：約1ミリ秒角の精度
• 2013年：ガイア衛星：20マイクロ秒角の精度—10億個の星をマッピング

日常的な角度、航海、測量、建設には度を使用します。微積分、物理学の方程式、プログラミング（三角関数）にはラジアンを使用します。ラジアンは弧の長さ = 半径 × 角度であるため、「自然」です。d/dx(sin x) = cos xのような導関数はラジアンでのみ機能します！

円の円周 = 2πr。半円（直線） = πr。ラジアンは弧の長さ/半径として定義されます。半円の場合：弧 = πr、半径 = r、なので角度 = πr/r = πラジアン。したがって、定義によりπ rad = 180°です。

arctanを使用します：角度 = arctan(勾配/100)。例：10%勾配 = arctan(0.1) ≈ 5.71°。単に掛けるだけではありません！10% ≠ 10°。逆：勾配 = tan(角度) × 100。45° = tan(45°) × 100 = 100%勾配。

分角（′） = 1/60度（角度）。時間の分 = 1/60時間（時間）。全く異なります！天文学では、「時間の分」は角度に変換されます：1分 = 15分角（24h = 360°なので、1分 = 360°/1440 = 0.25° = 15′）。

ミルは1ミル ≈ 1km先で1メートル（実用的な弾道学）になるように設計されました。真の数学的ミリラジアン = 1/1000 rad ≈ 円周あたり6283。NATOはこれを6400に単純化しました（2のきれいなべき乗で、割りやすい）。ソ連は6000を使用しました（10で割り切れる）。スウェーデンは6300（妥協案）。すべて2π×1000に近いです。

はい！正 = 反時計回り（数学的慣習）。負 = 時計回り。-90° = 270°（同じ位置、異なる方向）。航海では0-360°の範囲を使用します。数学/物理学では、負の角度は一般的です。例：-π/2 = -90° = 270°。