Агол ја мери ротацијата или вртењето помеѓу две линии. Замислете отворање на врата или вртење на тркало. Се мери во степени (°), радијани (rad) или градијани. 360° = цел круг = една целосна ротација.

• Агол = количина на ротација
• Цел круг = 360° = 2π rad
• Прав агол = 90° = π/2 rad
• Права линија = 180° = π rad

Степени: кругот поделен на 360 дела (историски). Радијани: базирани на радиусот на кругот. 2π радијани = 360°. Радијаните се 'природни' за математика/физика. π rad = 180°, па 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (цел круг)
• 180° = π rad (половина круг)
• 90° = π/2 rad (прав агол)
• 1 rad ≈ 57,2958° (конверзија)

Градијан: 100 grad = 90° (метрички агол). Лачна минута/секунда: поделби на степенот (астрономија). Илјадити: воена навигација (6400 илјадити = круг). Секоја единица за специфична примена.

• Градијан: 400 grad = круг
• Лачна минута: 1′ = 1/60°
• Лачна секунда: 1″ = 1/3600°
• Илјадити (НАТО): 6400 mil = круг

360° по круг (вавилонско потекло - ~360 дена/година). Поделен: 1° = 60′ (лачни минути) = 3600″ (лачни секунди). Универзален за навигација, геодезија, секојдневна употреба.

• 360° = цел круг
• 1° = 60 лачни минути (′)
• 1′ = 60 лачни секунди (″)
• Лесен за луѓе, историски

Радијан: должина на лак = радиус. 2π rad = обем на круг/радиус. Природен за анализа (изводи на sin, cos). Стандард во физика, инженерство. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (точно)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Природен за математика/физика

Градијан: 400 grad = круг (метрички агол). 100 grad = прав агол. Илјадити: воена навигација - НАТО користи 6400 илјадити. СССР користел 6000. Постојат различни стандарди.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (прав агол)
• Илјадити (НАТО): 6400 по круг
• Илјадити (СССР): 6000 по круг

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Секогаш користете радијани во анализа! Тригонометриските функции бараат радијани за изводи.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Анализата бара радијани

sin, cos, tan ги поврзуваат аглите со односи. Единичен круг: радиус=1, агол=θ. Координати на точка: (cos θ, sin θ). Суштински за физика, инженерство, графика.

• sin θ = спротивна/хипотенуза
• cos θ = соседна/хипотенуза
• tan θ = спротивна/соседна
• Единичен круг: (cos θ, sin θ)

Аглите се собираат/одземаат нормално. 45° + 45° = 90°. Целосна ротација: додајте/одземете 360° (или 2π). Модуларна аритметика за обвиткување: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (нормално собирање)
• Обвиткување: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Негативни агли: -90° = 270°

Компасни курсеви: 0°=Север, 90°=Исток, 180°=Југ, 270°=Запад. Војската користи илјадити за прецизност. Компасот има 32 точки (секоја по 11,25°). GPS користи децимални степени.

• Курсеви: 0-360° од Север
• НАТО илјадити: 6400 по круг
• Компасни точки: 32 (секоја по 11,25°)
• GPS: децимални степени

Позиции на ѕвезди: прецизност до лачни секунди. Паралакса: милилачни секунди. Hubble: ~50 mas резолуција. Сателитот Gaia: прецизност до микролачни секунди. Часовен агол: 24ч = 360°.

• Лачна секунда: позиции на ѕвезди
• Милилачна секунда: паралакса, VLBI
• Микролачна секунда: сателит Gaia
• Часовен агол: 15°/час

Наклон: процентен наклон или агол. 10% наклон ≈ 5,7°. Дизајнот на патишта користи проценти. Геодезијата користи степени/минути/секунди. Градијански систем за метрички земји.

• Наклон: % или степени
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Геодезија: СМС (степени-минути-секунди)
• Градијан: метричка геодезија

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Брзо: 180° = π rad, па поделете/помножете со овој однос.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (точно)
• 2π rad = 360° (точно)

агол = arctan(наклон/100). 10% наклон = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Обратно: наклон = tan(агол) × 100.

• θ = arctan(наклон/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Стрмен: 100% = 45°

1° = 60′ (лачна мин). 1′ = 60″ (лачна сек). Вкупно: 1° = 3600″. Брза поделба за прецизност.

• 1° = 60 лачни минути
• 1′ = 60 лачни секунди
• 1° = 3600 лачни секунди
• СМС: степени-минути-секунди

Патот има 8% наклон. Кој е аголот?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Релативно благ наклон!

Навигирајте со курс од 135°. Која е таа компасна насока?

0°=С, 90°=И, 180°=Ј, 270°=З. 135° е помеѓу И (90°) и Ј (180°). Насока: Југоисток (ЈИ).

Ѕвездата се поместила за 0,5 лачни секунди. Колку е тоа во степени?

1″ = 1/3600°. Значи, 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Мало поместување!

Вавилонците користеле шеесетеречен систем (основа 60). 360 има многу делители (24 фактори!). Приближно одговара на 360 дена во годината. Практично за астрономија и мерење на време. Исто така се дели рамномерно со 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Радијанот се дефинира со должина на лак = радиус. Тоа ја прави анализата убава: d/dx(sin x) = cos x (само во радијани!). Во степени, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (хаотично). Природата 'користи' радијани!

Метрички агол: 100 grad = прав агол. Се обиделе да го воведат за време на Француската револуција со метричкиот систем. Никогаш не станал популарен—степените биле премногу вкоренети. Сè уште се користи во некои геодетски работи (Швајцарија, Северна Европа). Калкулаторите имаат 'grad' режим!

1 милилачна секунда ≈ ширина на човечко влакно видено од 10 км оддалеченост! Вселенскиот телескоп Hubble може да раздели ~50 mas. Неверојатна прецизност за астрономија. Се користи за мерење на ѕвездена паралакса, двојни ѕвезди.

Воен илјадити: 1 илјадити ≈ 1 м ширина на 1 км оддалеченост (НАТО: 1,02 м, доволно блиску). Лесна ментална математика за проценка на дострел. Различни земји користат различни илјадити (6000, 6300, 6400 по круг). Практична балистичка единица!

90 = 360/4 (четвртина вртење). Но 'прав' доаѓа од латинскиот збор 'rectus' = исправен, прав. Прав агол прави нормални линии. Суштински за градежништво—зградите требаат прави агли за да стојат!

Вавилонците користеле шеесетеречен (основа 60) броен систем за астрономија и мерење на време. Тие го поделиле кругот на 360 делови бидејќи 360 ≈ денови во годината (всушност 365,25), и 360 има 24 делители—неверојатно практично за дропки.

Овој систем со основа 60 опстојува и денес: 60 секунди во минута, 60 минути во час и во степен. Бројот 360 се факторизира како 2³ × 3² × 5, делејќи се рамномерно со 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—сон на секој калкулатор!

• 2000 п.н.е.: Вавилонските астрономи ги следат небесните позиции во степени
• 360° избрано поради деливоста и ~годишната апроксимација
• Основата 60 ни дава часови (24 = 360/15) и минути/секунди
• Грчките астрономи го усвоиле 360° од вавилонските табели

Елементите на Евклид (300 п.н.е.) ја формализирале геометријата на аглите—прави агли (90°), комплементарни (збир до 90°), суплементарни (збир до 180°). Грчките математичари како Хипарх ја создале тригонометријата користејќи табели базирани на степени за астрономија и геодезија.

Средновековните навигатори користеле астролаб и компас со 32 точки (секоја по 11,25°). Морнарите имале потреба од прецизни курсеви; лачните минути (1/60°) и лачните секунди (1/3600°) се појавиле за ѕвездените каталози и поморските карти.

• 300 п.н.е.: Елементите на Евклид ги дефинираат геометриските агли
• 150 п.н.е.: Хипарх ги создава првите тригонометриски табели (степени)
• 1200-ти: Астролабот користи ознаки во степени за небесна навигација
• 1569: Проекцијата на картата на Меркатор бара математика што ги зачувува аглите

Како што Њутн и Лајбниц ја развивале анализата (1670-ти), степените станале проблематични: d/dx(sin x) = (π/180)cos x во степени—грдо постојана! Роџер Коутс (1682-1716) и Леонард Ојлер го формализирале радијанот: агол = должина на лак / радиус. Сега d/dx(sin x) = cos x прекрасно.

Џејмс Томсон го смислил терминот 'радијан' во 1873 година (од латинскиот збор 'radius'). Радијанот станал ГЛАВНАТА единица за математичка анализа, физика и инженерство. Сепак, степените опстојале во секојдневниот живот бидејќи луѓето претпочитаат цели броеви пред π.

• 1670-ти: Анализата открива дека степените создаваат неуредни формули
• 1714: Роџер Коутс развива 'кружна мерка' (пред-радијан)
• 1748: Ојлер користи радијани во голема мера во анализата
• 1873: Томсон го именува 'радијан'; станува математички стандард

Артилеријата во Првата светска војна барала практични аголни единици: се родил илјадитиот—1 илјадити ≈ 1 метар отстапување на 1 км оддалеченост. НАТО стандардизирало 6400 илјадити/круг (добар степен на 2), додека СССР користел 6000 (децимална погодност). Вистински милирадијан = 6283/круг.

Астрономијата во вселенската ера постигнала прецизност до милилачни секунди (Хипаркос, 1989), а потоа и микролачни секунди (Gaia, 2013). Gaia ја мери ѕвездената паралакса до 20 микролачни секунди—еквивалентно на гледање на човечко влакно од 1.000 км оддалеченост! Модерната физика користи радијани универзално; само навигацијата и градежништвото сè уште ги претпочитаат степените.

• 1916: Воената артилерија го усвојува илјадитиот за пресметки на дострел
• 1960: СИ го признава радијанот како кохерентна изведена единица
• 1989: Сателитот Хипаркос: ~1 милилачна секунда прецизност
• 2013: Сателитот Gaia: 20 микролачни секунди прецизност—мапира 1 милијарда ѕвезди

Користете степени за: секојдневни агли, навигација, геодезија, градежништво. Користете радијани за: анализа, физички равенки, програмирање (тригонометриски функции). Радијаните се 'природни' бидејќи должината на лакот = радиус × агол. Изводите како d/dx(sin x) = cos x функционираат само во радијани!

Обемот на кругот = 2πr. Половина круг (права линија) = πr. Радијанот се дефинира како должина на лак/радиус. За половина круг: лак = πr, радиус = r, па агол = πr/r = π радијани. Затоа, по дефиниција π rad = 180°.

Користете arctan: агол = arctan(наклон/100). Пример: 10% наклон = arctan(0,1) ≈ 5,71°. НЕ само множете! 10% ≠ 10°. Обратно: наклон = tan(агол) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% наклон.

Лачна минута (′) = 1/60 од степен (агол). Временска минута = 1/60 од час (време). Сосема различни! Во астрономијата, 'временска минута' се конвертира во агол: 1 мин = 15 лачни минути (бидејќи 24ч = 360°, па 1 мин = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Илјадитиот е дизајниран така што 1 илјадити ≈ 1 метар на 1 км (практична балистика). Вистински математички милирадијан = 1/1000 rad ≈ 6283 по круг. НАТО го поедноставило на 6400 (степен на 2, убаво се дели). СССР користел 6000 (се дели со 10). Шведска 6300 (компромис). Сите се блиску до 2π×1000.

Да! Позитивно = спротивно од стрелките на часовникот (математичка конвенција). Негативно = во насока на стрелките на часовникот. -90° = 270° (иста позиција, различна насока). Во навигацијата, се користи опсегот 0-360°. Во математиката/физиката, негативните агли се вообичаени. Пример: -π/2 = -90° = 270°.