Угол измеряет вращение или поворот между двумя линиями. Представьте себе открытие двери или вращение колеса. Измеряется в градусах (°), радианах (rad) или градах. 360° = полный круг = один полный оборот.

• Угол = величина вращения
• Полный круг = 360° = 2π rad
• Прямой угол = 90° = π/2 rad
• Прямая линия = 180° = π rad

Градусы: круг, разделенный на 360 частей (исторически). Радианы: основаны на радиусе круга. 2π радианов = 360°. Радианы 'естественны' для математики/физики. π рад = 180°, поэтому 1 рад ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (полный круг)
• 180° = π rad (полукруг)
• 90° = π/2 rad (прямой угол)
• 1 rad ≈ 57,2958° (преобразование)

Град: 100 град = 90° (метрический угол). Угловая минута/секунда: подразделения градуса (астрономия). Тысячная: военная навигация (6400 тысячных = круг). Каждая единица для конкретного применения.

• Град: 400 grad = круг
• Угловая минута: 1′ = 1/60°
• Угловая секунда: 1″ = 1/3600°
• Тысячная (НАТО): 6400 mil = круг

360° на круг (вавилонское происхождение - ~360 дней/год). Подразделяется: 1° = 60′ (угловых минут) = 3600″ (угловых секунд). Универсальна для навигации, геодезии, повседневного использования.

• 360° = полный круг
• 1° = 60 угловых минут (′)
• 1′ = 60 угловых секунд (″)
• Легко для людей, исторически сложилось

Радиан: длина дуги = радиус. 2π rad = длина окружности/радиус. Естественна для исчисления (производные sin, cos). Стандарт в физике, инженерии. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (точно)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Естественна для математики/физики

Град: 400 grad = круг (метрический угол). 100 grad = прямой угол. Тысячная: военная навигация - НАТО использует 6400 тысячных. СССР использовал 6000. Существуют разные стандарты.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (прямой угол)
• Тысячная (НАТО): 6400 на круг
• Тысячная (СССР): 6000 на круг

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Всегда используйте радианы в исчислении! Тригонометрическим функциям нужны радианы для производных.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Исчисление требует радианов

sin, cos, tan связывают углы с отношениями. Единичная окружность: радиус=1, угол=θ. Координаты точки: (cos θ, sin θ). Важно для физики, инженерии, графики.

• sin θ = противолежащий/гипотенуза
• cos θ = прилежащий/гипотенуза
• tan θ = противолежащий/прилежащий
• Единичная окружность: (cos θ, sin θ)

Углы складываются/вычитаются обычным образом. 45° + 45° = 90°. Полный оборот: прибавить/вычесть 360° (или 2π). Модульная арифметика для цикличности: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (обычное сложение)
• Цикличность: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Отрицательные углы: -90° = 270°

Компасные пеленги: 0°=Север, 90°=Восток, 180°=Юг, 270°=Запад. Военные используют тысячные для точности. Компас имеет 32 румба (каждый 11,25°). GPS использует десятичные градусы.

• Пеленги: 0-360° от Севера
• Тысячная НАТО: 6400 на круг
• Румбы компаса: 32 (каждый 11,25°)
• GPS: десятичные градусы

Положения звезд: точность до угловых секунд. Параллакс: миллисекунды дуги. Хаббл: разрешение ~50 mas. Спутник Gaia: точность до микросекунд дуги. Часовой угол: 24ч = 360°.

• Угловая секунда: положения звезд
• Миллисекунда дуги: параллакс, РСДБ
• Микросекунда дуги: спутник Gaia
• Часовой угол: 15°/час

Уклон: процентный уклон или угол. 10% уклон ≈ 5,7°. В дорожном проектировании используются проценты. В геодезии используются градусы/минуты/секунды. Система градов для метрических стран.

• Уклон: % или градусы
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Геодезия: ГМС (градусы-минуты-секунды)
• Град: метрическая геодезия

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Быстро: 180° = π rad, так что делите/умножайте на это соотношение.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (точно)
• 2π rad = 360° (точно)

угол = arctan(уклон/100). 10% уклон = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Обратно: уклон = tan(угол) × 100.

• θ = arctan(уклон/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Крутой: 100% = 45°

1° = 60′ (угловая мин). 1′ = 60″ (угловая сек). Всего: 1° = 3600″. Быстрое подразделение для точности.

• 1° = 60 угловых минут
• 1′ = 60 угловых секунд
• 1° = 3600 угловых секунд
• ГМС: градусы-минуты-секунды

У дороги уклон 8%. Какой это угол?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Относительно пологий уклон!

Плыть по пеленгу 135°. Какое это направление по компасу?

0°=С, 90°=В, 180°=Ю, 270°=З. 135° находится между В (90°) и Ю (180°). Направление: Юго-Восток (ЮВ).

Звезда сместилась на 0,5 угловой секунды. Сколько это градусов?

1″ = 1/3600°. Значит, 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Крошечное движение!

Вавилоняне использовали шестидесятеричную систему (основание 60). У 360 много делителей (24 фактора!). Примерно соответствует 360 дням в году. Удобно для астрономии и хронометража. Также делится нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Радиан определяется как длина дуги = радиус. Это делает исчисление прекрасным: d/dx(sin x) = cos x (только в радианах!). В градусах d/dx(sin x) = (π/180)cos x (неудобно). Природа 'использует' радианы!

Метрический угол: 100 град = прямой угол. Его пытались ввести во время Французской революции вместе с метрической системой. Никогда не стал популярным—градусы были слишком укоренившимися. Все еще используется в некоторых геодезических работах (Швейцария, Северная Европа). В калькуляторах есть режим 'grad'!

1 миллисекунда дуги ≈ ширина человеческого волоса, видимого с расстояния 10 км! Космический телескоп Хаббл может разрешать ~50 mas. Невероятная точность для астрономии. Используется для измерения звездного параллакса, двойных звезд.

Военная тысячная: 1 тысячная ≈ 1 м ширины на расстоянии 1 км (НАТО: 1,02 м, достаточно близко). Легкий устный счет для оценки дальности. Разные страны используют разные тысячные (6000, 6300, 6400 на круг). Практическая баллистическая единица!

90 = 360/4 (четверть оборота). Но 'прямой' происходит от латинского 'rectus' = прямой, вертикальный. Прямой угол образует перпендикулярные линии. Важно для строительства—зданиям нужны прямые углы, чтобы стоять!

Вавилоняне использовали шестидесятеричную (основание 60) систему счисления для астрономии и хронометража. Они разделили круг на 360 частей, потому что 360 ≈ количество дней в году (на самом деле 365,25), и у 360 есть 24 делителя—невероятно удобно для дробей.

Эта система с основанием 60 сохраняется и сегодня: 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и в градусе. Число 360 раскладывается на множители как 2³ × 3² × 5, делясь нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—мечта калькулятора!

• 2000 до н.э.: Вавилонские астрономы отслеживают небесные положения в градусах
• 360° выбрано за делимость и ~годовую аппроксимацию
• Основание 60 дает нам часы (24 = 360/15) и минуты/секунды
• Греческие астрономы заимствовали 360° из вавилонских таблиц

«Начала» Евклида (300 до н.э.) формализовали геометрию углов—прямые углы (90°), комплементарные (сумма до 90°), смежные (сумма до 180°). Греческие математики, такие как Гиппарх, создали тригонометрию, используя таблицы на основе градусов для астрономии и геодезии.

Средневековые навигаторы использовали астролябию и компас с 32 румбами (каждый 11,25°). Морякам нужны были точные пеленги; угловые минуты (1/60°) и угловые секунды (1/3600°) появились для звездных каталогов и морских карт.

• 300 до н.э.: «Начала» Евклида определяют геометрические углы
• 150 до н.э.: Гиппарх создает первые тригонометрические таблицы (градусы)
• 1200-е: Астролябия использует градусные отметки для небесной навигации
• 1569: Проекция карты Меркатора требует математики, сохраняющей углы

Когда Ньютон и Лейбниц разрабатывали исчисление (1670-е), градусы стали проблемой: d/dx(sin x) = (π/180)cos x в градусах—уродливая константа! Роджер Котс (1682-1716) и Леонард Эйлер формализовали радиан: угол = длина дуги / радиус. Теперь d/dx(sin x) = cos x красиво.

Джеймс Томсон ввел термин «радиан» в 1873 году (от латинского «radius»). Радиан стал ЕДИНИЦЕЙ для математического анализа, физики и инженерии. Тем не менее, градусы сохранились в повседневной жизни, потому что люди предпочитают целые числа, а не π.

• 1670-е: Исчисление показывает, что градусы создают громоздкие формулы
• 1714: Роджер Котс разрабатывает «круговую меру» (предшественник радиана)
• 1748: Эйлер широко использует радианы в анализе
• 1873: Томсон называет его «радиан»; становится математическим стандартом

Артиллерия Первой мировой войны требовала практичных угловых единиц: родилась тысячная—1 тысячная ≈ 1 метр отклонения на расстоянии 1 км. НАТО стандартизировало 6400 тысячных/круг (хорошая степень двойки), в то время как СССР использовал 6000 (десятичное удобство). Истинный миллирадиан = 6283/круг.

Астрономия космической эры достигла точности миллисекунд дуги (Гиппарх, 1989), а затем микросекунд дуги (Gaia, 2013). Gaia измеряет звездный параллакс до 20 микросекунд дуги—что эквивалентно видению человеческого волоса с расстояния 1000 км! Современная физика использует радианы повсеместно; только навигация и строительство все еще предпочитают градусы.

• 1916: Военная артиллерия принимает тысячную для расчетов дальности
• 1960: СИ признает радиан как когерентную производную единицу
• 1989: Спутник Гиппарх: точность ~1 миллисекунда дуги
• 2013: Спутник Gaia: точность 20 микросекунд дуги—картографирует 1 миллиард звезд

Используйте градусы для: повседневных углов, навигации, геодезии, строительства. Используйте радианы для: исчисления, физических уравнений, программирования (тригонометрические функции). Радианы 'естественны', потому что длина дуги = радиус × угол. Производные, такие как d/dx(sin x) = cos x, работают только в радианах!

Длина окружности = 2πr. Полукруг (прямая линия) = πr. Радиан определяется как длина дуги/радиус. Для полукруга: дуга = πr, радиус = r, поэтому угол = πr/r = π радианов. Следовательно, по определению π rad = 180°.

Используйте арктангенс: угол = arctan(уклон/100). Пример: 10% уклон = arctan(0,1) ≈ 5,71°. НЕ просто умножать! 10% ≠ 10°. Обратно: уклон = tan(угол) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% уклон.

Угловая минута (′) = 1/60 градуса (угол). Минута времени = 1/60 часа (время). Совершенно разные вещи! В астрономии 'минута времени' преобразуется в угол: 1 мин = 15 угловых минут (потому что 24ч = 360°, так что 1 мин = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Тысячная была разработана так, чтобы 1 тысячная ≈ 1 метр на 1 км (практическая баллистика). Истинный математический миллирадиан = 1/1000 рад ≈ 6283 на круг. НАТО упростило до 6400 (степень двойки, хорошо делится). СССР использовал 6000 (делится на 10). Швеция 6300 (компромисс). Все они близки к 2π×1000.

Да! Положительные = против часовой стрелки (математическая конвенция). Отрицательные = по часовой стрелке. -90° = 270° (та же позиция, другое направление). В навигации используется диапазон 0-360°. В математике/физике отрицательные углы распространены. Пример: -π/2 = -90° = 270°.