محول الزوايا
الزاوية — من الدرجات إلى الثواني القوسية الميكروية
أتقِن وحدات الزوايا عبر الرياضيات، وعلم الفلك، والملاحة، والهندسة. من الدرجات إلى الراديان، ومن الدقائق القوسية إلى المِل، افهم الدورانات وما تعنيه الأرقام في التطبيقات الحقيقية.
أساسيات الزوايا
ما هي الزاوية؟
الزاوية تقيس الدوران أو الانعطاف بين خطين. فكر في فتح باب أو تدوير عجلة. تُقاس بالدرجات (°) أو الراديان (rad) أو الغراد. 360° = دائرة كاملة = دورة كاملة واحدة.
- الزاوية = مقدار الدوران
- دائرة كاملة = 360° = 2π rad
- زاوية قائمة = 90° = π/2 rad
- خط مستقيم = 180° = π rad
الدرجة مقابل الراديان
الدرجات: دائرة مقسمة إلى 360 جزءًا (تاريخيًا). الراديان: يعتمد على نصف قطر الدائرة. 2π راديان = 360°. الراديان 'طبيعي' للرياضيات/الفيزياء. π راديان = 180°، لذا 1 راديان ≈ 57.3°.
- 360° = 2π rad (دائرة كاملة)
- 180° = π rad (نصف دائرة)
- 90° = π/2 rad (زاوية قائمة)
- 1 rad ≈ 57.2958° (تحويل)
وحدات الزوايا الأخرى
الغراد: 100 غراد = 90° (زاوية مترية). الدقيقة/الثانية القوسية: تقسيمات فرعية للدرجة (علم الفلك). المِل: الملاحة العسكرية (6400 مِل = دائرة). كل وحدة لتطبيق محدد.
- الغراد: 400 grad = دائرة
- الدقيقة القوسية: 1′ = 1/60°
- الثانية القوسية: 1″ = 1/3600°
- المِل (NATO): 6400 mil = دائرة
- دائرة كاملة = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (نصف دائرة)
- 1 rad ≈ 57.3°, 1° ≈ 0.01745 rad
- الراديان طبيعي لحساب التفاضل والتكامل/الفيزياء
شرح أنظمة الوحدات
نظام الدرجات
360 درجة لكل دائرة (أصل بابلي - ~360 يومًا/سنة). مقسمة فرعيًا: 1° = 60′ (دقيقة قوسية) = 3600″ (ثانية قوسية). عالمي للملاحة، والمساحة، والاستخدام اليومي.
- 360° = دائرة كاملة
- 1° = 60 دقيقة قوسية (′)
- 1′ = 60 ثانية قوسية (″)
- سهل للبشر، تاريخي
نظام الراديان
الراديان: طول القوس = نصف القطر. 2π rad = محيط الدائرة/نصف القطر. طبيعي لحساب التفاضل والتكامل (مشتقات sin, cos). معيار في الفيزياء والهندسة. π راديان = 180°.
- 2π rad = 360° (بالضبط)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57.2958°
- طبيعي للرياضيات/الفيزياء
الغراد والعسكري
الغراد: 400 غراد = دائرة (زاوية مترية). 100 غراد = زاوية قائمة. المِل: الملاحة العسكرية - يستخدم حلف NATO 6400 مِل. استخدم الاتحاد السوفيتي 6000. توجد معايير مختلفة.
- 400 grad = 360°
- 100 grad = 90° (زاوية قائمة)
- المِل (NATO): 6400 لكل دائرة
- المِل (USSR): 6000 لكل دائرة
رياضيات الزوايا
التحويلات الرئيسية
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. استخدم دائمًا الراديان في حساب التفاضل والتكامل! تحتاج الدوال المثلثية إلى الراديان للمشتقات.
- rad = deg × (π/180)
- deg = rad × (180/π)
- grad = deg × (10/9)
- حساب التفاضل والتكامل يتطلب الراديان
علم المثلثات
sin, cos, tan تربط الزوايا بالنسب. دائرة الوحدة: نصف القطر=1, الزاوية=θ. إحداثيات النقطة: (cos θ, sin θ). أساسي للفيزياء، والهندسة، والرسومات.
- sin θ = المقابل/الوتر
- cos θ = المجاور/الوتر
- tan θ = المقابل/المجاور
- دائرة الوحدة: (cos θ, sin θ)
جمع الزوايا
تُجمع/تُطرح الزوايا بشكل طبيعي. 45° + 45° = 90°. دورة كاملة: أضف/اطرح 360° (أو 2π). حساب الباقي للالتفاف: 370° = 10°.
- θ₁ + θ₂ (جمع عادي)
- التفاف: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- الزوايا السالبة: -90° = 270°
الزوايا الشائعة
| الزاوية | الدرجة | الراديان | ملاحظات |
|---|---|---|---|
| الصفر | 0° | 0 rad | لا يوجد دوران |
| حادة | 30° | π/6 | مثلث متساوي الأضلاع |
| حادة | 45° | π/4 | نصف زاوية قائمة |
| حادة | 60° | π/3 | مثلث متساوي الأضلاع |
| قائمة | 90° | π/2 | متعامدة، ربع دورة |
| منفرجة | 120° | 2π/3 | داخل مسدس |
| منفرجة | 135° | 3π/4 | خارج مثمن |
| مستقيمة | 180° | π | نصف دائرة، خط مستقيم |
| منعكسة | 270° | 3π/2 | ثلاثة أرباع دورة |
| كاملة | 360° | 2π | دورة كاملة |
| الثانية القوسية | 1″ | 4.85 µrad | دقة فلكية |
| المللي ثانية القوسية | 0.001″ | 4.85 nrad | دقة Hubble |
| الثانية القوسية الميكروية | 0.000001″ | 4.85 prad | قمر Gaia الصناعي |
مكافئات الزوايا
| الوصف | الدرجة | الراديان | الغراد |
|---|---|---|---|
| دائرة كاملة | 360° | 2π ≈ 6.283 | 400 grad |
| نصف دائرة | 180° | π ≈ 3.142 | 200 grad |
| زاوية قائمة | 90° | π/2 ≈ 1.571 | 100 grad |
| راديان واحد | ≈ 57.296° | 1 rad | ≈ 63.662 grad |
| درجة واحدة | 1° | ≈ 0.01745 rad | ≈ 1.111 grad |
| غراد واحد | 0.9° | ≈ 0.01571 rad | 1 grad |
| الدقيقة القوسية | 1/60° | ≈ 0.000291 rad | 1/54 grad |
| الثانية القوسية | 1/3600° | ≈ 0.00000485 rad | 1/3240 grad |
| مِل NATO | 0.05625° | ≈ 0.000982 rad | 0.0625 grad |
تطبيقات من العالم الحقيقي
الملاحة
اتجاهات البوصلة: 0°=الشمال, 90°=الشرق, 180°=الجنوب, 270°=الغرب. يستخدم الجيش المِل للدقة. البوصلة بها 32 نقطة (11.25° لكل منها). يستخدم GPS الدرجات العشرية.
- الاتجاهات: 0-360° من الشمال
- مِل NATO: 6400 لكل دائرة
- نقاط البوصلة: 32 (11.25° لكل منها)
- GPS: درجات عشرية
علم الفلك
مواقع النجوم: دقة الثواني القوسية. اختلاف المنظر: مللي ثانية قوسية. دقة Hubble: ~50 mas. قمر Gaia الصناعي: دقة الثواني القوسية الميكروية. زاوية الساعة: 24 ساعة = 360°.
- الثانية القوسية: مواقع النجوم
- المللي ثانية القوسية: اختلاف المنظر، VLBI
- الثانية القوسية الميكروية: قمر Gaia الصناعي
- زاوية الساعة: 15°/ساعة
الهندسة والمساحة
الميل: نسبة مئوية للميل أو زاوية. ميل 10% ≈ 5.7°. يستخدم تصميم الطرق النسبة المئوية. تستخدم المساحة الدرجات/الدقائق/الثواني. نظام الغراد للدول المترية.
- الميل: % أو درجات
- 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
- المساحة: DMS (درجة-دقيقة-ثانية)
- الغراد: مساحة مترية
حسابات سريعة
درجة ↔ راديان
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. بسرعة: 180° = π راديان، لذا قسّم/اضرب بهذه النسبة.
- rad = deg × 0.01745
- deg = rad × 57.2958
- π rad = 180° (بالضبط)
- 2π rad = 360° (بالضبط)
الميل إلى زاوية
الزاوية = arctan(الميل/100). ميل 10% = arctan(0.1) ≈ 5.71°. العكس: الميل = tan(الزاوية) × 100.
- θ = arctan(الميل/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- شديد الانحدار: 100% = 45°
الدقائق القوسية
1° = 60′ (دقيقة قوسية). 1′ = 60″ (ثانية قوسية). الإجمالي: 1° = 3600″. تقسيم فرعي سريع للدقة.
- 1° = 60 دقيقة قوسية
- 1′ = 60 ثانية قوسية
- 1° = 3600 ثانية قوسية
- DMS: درجات-دقائق-ثواني
كيف تعمل التحويلات
- الخطوة 1: المصدر ← درجات
- الخطوة 2: الدرجات ← الهدف
- الراديان: deg × (π/180)
- الميل: arctan(الميل/100)
- الدقائق القوسية: deg × 60
التحويلات الشائعة
| من | إلى | الصيغة | مثال |
|---|---|---|---|
| درجة | راديان | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| راديان | درجة | × 180/π | π rad = 180° |
| درجة | غراد | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| درجة | دقيقة قوسية | × 60 | 1° = 60′ |
| دقيقة قوسية | ثانية قوسية | × 60 | 1′ = 60″ |
| درجة | دورة | ÷ 360 | 180° = 0.5 دورة |
| ميل % | درجة | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71° |
| درجة | مِل (NATO) | × 17.778 | 1° ≈ 17.78 mil |
أمثلة سريعة
مسائل محلولة
ميل الطريق
طريق له ميل 8%. ما هي الزاوية؟
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. ميل لطيف نسبيًا!
اتجاه البوصلة
تنقل باتجاه 135°. ما هو اتجاه البوصلة؟
0°=شمال، 90°=شرق، 180°=جنوب، 270°=غرب. 135° تقع بين الشرق (90°) والجنوب (180°). الاتجاه: جنوب شرق (SE).
موقع النجم
تحرك نجم 0.5 ثانية قوسية. كم يساوي ذلك بالدرجات؟
1″ = 1/3600°. لذا 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. حركة ضئيلة جدًا!
أخطاء شائعة
- **وضع الراديان**: الآلة الحاسبة في وضع الدرجات عند استخدام الراديان = خطأ! تحقق من الوضع. sin(π) في وضع الدرجات ≠ sin(π) في وضع الراديان.
- **تقريب π**: π ≠ 3.14 بالضبط. استخدم زر π أو Math.PI. 180° = π راديان بالضبط، وليس 3.14 راديان.
- **الزوايا السالبة**: -90° ليست غير صالحة! السالب = في اتجاه عقارب الساعة. -90° = 270° (بالتحرك في اتجاه عقارب الساعة من 0°).
- **الخلط في الميل**: ميل 10% ≠ 10°! يجب استخدام arctan. 10% ≈ 5.71°، وليس 10°. خطأ شائع!
- **الدقيقة القوسية ≠ دقيقة الزمن**: 1′ (دقيقة قوسية) = 1/60°. 1 دقيقة (زمن) = شيء مختلف! لا تخلط بينهما.
- **دورة كاملة**: 360° = 0° (نفس الموضع). الزوايا دورية. 370° = 10°.
حقائق ممتعة
لماذا 360 درجة؟
استخدم البابليون نظامًا ستينيًا (أساس 60). للرقم 360 العديد من القواسم (24 عاملاً!). يطابق تقريبًا 360 يومًا في السنة. ملائم لعلم الفلك وحفظ الوقت. كما أنه يقبل القسمة على 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 12...
الراديان طبيعي
يُعرَّف الراديان بأن طول القوس = نصف القطر. هذا يجعل حساب التفاضل والتكامل جميلاً: d/dx(sin x) = cos x (فقط بالراديان!). بالدرجات، d/dx(sin x) = (π/180)cos x (معقد). الطبيعة 'تستخدم' الراديان!
الغراد كاد أن ينجح
زاوية مترية: 100 غراد = زاوية قائمة. تمت محاولته خلال الثورة الفرنسية مع النظام المتري. لم يشتهر أبدًا—كانت الدرجات متجذرة جدًا. لا يزال يُستخدم في بعض أعمال المساحة (سويسرا، شمال أوروبا). الآلات الحاسبة بها وضع 'grad'!
المللي ثانية القوسية = شعرة بشرية
1 مللي ثانية قوسية ≈ عرض شعرة بشرية تُرى من مسافة 10 كم! يمكن لمرصد Hubble الفضائي التمييز بدقة ~50 mas. دقة مذهلة لعلم الفلك. يُستخدم لقياس اختلاف المنظر النجمي، والنجوم الثنائية.
المِل للمدفعية
المِل العسكري: 1 مِل ≈ عرض 1 متر على مسافة 1 كم (NATO: 1.02 متر، قريب بما فيه الكفاية). حسابات ذهنية سهلة لتقدير المدى. تستخدم دول مختلفة مِلات مختلفة (6000، 6300، 6400 لكل دائرة). وحدة مقذوفات عملية!
الزاوية القائمة = 90°، لماذا؟
90 = 360/4 (ربع دورة). لكن كلمة 'قائمة' (right) تأتي من اللاتينية 'rectus' = منتصب، مستقيم. الزاوية القائمة تصنع خطوطًا متعامدة. أساسية للبناء—تحتاج المباني إلى زوايا قائمة لتقف!
تطور قياس الزوايا
من علم الفلك البابلي القديم إلى دقة الأقمار الصناعية الحديثة، تطور قياس الزوايا من حفظ الوقت العملي إلى أساس حساب التفاضل والتكامل وميكانيكا الكم. لا تزال دائرة الـ 360 درجة، وهي اتفاقية عمرها 4000 عام، تهيمن على الرغم من الأناقة الرياضية للراديان.
2000 قبل الميلاد - 300 قبل الميلاد
استخدم البابليون نظامًا عدديًا ستينيًا (أساس 60) لعلم الفلك وحفظ الوقت. قسموا الدائرة إلى 360 جزءًا لأن 360 ≈ عدد أيام السنة (في الواقع 365.25)، وللرقم 360 24 قاسمًا—وهو أمر ملائم بشكل لا يصدق للكسور.
يستمر هذا النظام الستيني حتى اليوم: 60 ثانية في الدقيقة، 60 دقيقة في الساعة وفي الدرجة. يُحلل الرقم 360 إلى 2³ × 3² × 5، ويقبل القسمة على 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 12، 15، 18، 20، 24، 30، 36، 40، 45، 60، 72، 90، 120، 180—حلم كل آلة حاسبة!
- 2000 قبل الميلاد: الفلكيون البابليون يتتبعون المواقع السماوية بالدرجات
- تم اختيار 360° لقابليته للقسمة وتقريب ~السنة
- الأساس 60 يعطينا الساعات (24 = 360/15) والدقائق/الثواني
- الفلكيون اليونانيون يتبنون 360° من الجداول البابلية
300 قبل الميلاد - 1600 ميلادي
كتاب 'الأصول' لإقليدس (300 قبل الميلاد) أضفى الطابع الرسمي على هندسة الزوايا—الزوايا القائمة (90°)، والمتتامة (مجموعها 90°)، والمتكاملة (مجموعها 180°). أنشأ علماء الرياضيات اليونانيون مثل هيبارخوس علم المثلثات باستخدام جداول قائمة على الدرجات لعلم الفلك والمساحة.
استخدم الملاحون في العصور الوسطى الأسطرلاب والبوصلة مع 32 نقطة (كل منها 11.25°). كان البحارة بحاجة إلى اتجاهات دقيقة؛ ظهرت الدقائق القوسية (1/60°) والثواني القوسية (1/3600°) لفهارس النجوم والخرائط البحرية.
- 300 قبل الميلاد: كتاب 'الأصول' لإقليدس يعرّف الزوايا الهندسية
- 150 قبل الميلاد: هيبارخوس ينشئ أول جداول مثلثية (بالدرجات)
- القرن الثالث عشر: الأسطرلاب يستخدم علامات الدرجات للملاحة السماوية
- 1569: إسقاط مركاتور للخرائط يتطلب رياضيات تحافظ على الزوايا
القرن السابع عشر - القرن التاسع عشر
مع تطوير نيوتن ولايبنتز لحساب التفاضل والتكامل (سبعينيات القرن السابع عشر)، أصبحت الدرجات إشكالية: d/dx(sin x) = (π/180)cos x بالدرجات—ثابت قبيح! أضفى روجر كوتس (1682-1716) وليونهارت أويلر الطابع الرسمي على الراديان: الزاوية = طول القوس / نصف القطر. الآن d/dx(sin x) = cos x بشكل جميل.
صاغ جيمس طومسون مصطلح 'راديان' في عام 1873 (من اللاتينية 'radius'). أصبح الراديان الوحدة الأساسية للتحليل الرياضي والفيزياء والهندسة. ومع ذلك، استمرت الدرجات في الحياة اليومية لأن البشر يفضلون الأعداد الصحيحة على π.
- سبعينيات القرن السابع عشر: حساب التفاضل والتكامل يكشف أن الدرجات تخلق صيغًا معقدة
- 1714: روجر كوتس يطور 'القياس الدائري' (ما قبل الراديان)
- 1748: أويلر يستخدم الراديان على نطاق واسع في التحليل
- 1873: طومسون يسميه 'راديان'؛ يصبح معيارًا رياضيًا
القرن العشرين - الحاضر
تطلبت مدفعية الحرب العالمية الأولى وحدات زوايا عملية: وُلد المِل—1 مِل ≈ انحراف 1 متر على مسافة 1 كم. قام حلف NATO بتوحيد 6400 مِل/دائرة (قوة جيدة للرقم 2)، بينما استخدم الاتحاد السوفيتي 6000 (للراحة العشرية). المللي راديان الحقيقي = 6283/دائرة.
حقق علم الفلك في عصر الفضاء دقة المللي ثانية القوسية (Hipparcos، 1989)، ثم الثواني القوسية الميكروية (Gaia، 2013). يقيس Gaia اختلاف المنظر النجمي بدقة 20 ثانية قوسية ميكروية—ما يعادل رؤية شعرة بشرية من مسافة 1000 كم! تستخدم الفيزياء الحديثة الراديان عالميًا؛ فقط الملاحة والبناء لا يزالان يفضلان الدرجات.
- 1916: المدفعية العسكرية تتبنى المِل لحسابات المدى
- 1960: النظام الدولي للوحدات (SI) يعترف بالراديان كوحدة مشتقة متماسكة
- 1989: قمر Hipparcos الصناعي: دقة ~1 مللي ثانية قوسية
- 2013: قمر Gaia الصناعي: دقة 20 ثانية قوسية ميكروية—يرسم خرائط لمليار نجم
نصائح احترافية
- **راديان سريع**: π rad = 180°. نصف دائرة! لذا π/2 = 90°، π/4 = 45°.
- **حساب ذهني للميل**: الميول الصغيرة: ميل % ≈ زاوية ° × 1.75. (10% ≈ 5.7°)
- **الدقيقة القوسية**: 1° = 60′. إبهامك على بعد ذراع ≈ عرض 2° ≈ 120′.
- **السالب = اتجاه عقارب الساعة**: الزوايا الموجبة عكس اتجاه عقارب الساعة. -90° = 270° في اتجاه عقارب الساعة.
- **التفاف الباقي**: أضف/اطرح 360° بحرية. 370° = 10°، -90° = 270°.
- **دائرة الوحدة**: cos = x, sin = y. نصف القطر = 1. أساسي لعلم المثلثات!
- **ترميز علمي تلقائي**: القيم < 0.000001° أو > 1,000,000,000° تُعرض بالترميز العلمي لسهولة القراءة (أساسي للثواني القوسية الميكروية!).
مرجع الوحدات
الوحدات الشائعة
| الوحدة | الرمز | الدرجة | ملاحظات |
|---|---|---|---|
| درجة | ° | 1° (base) | الوحدة الأساسية؛ 360° = دائرة. معيار عالمي. |
| راديان | rad | 57.2958° | الوحدة الطبيعية؛ 2π rad = دائرة. مطلوبة لحساب التفاضل والتكامل. |
| غراديان (غون) | grad | 900.000000 m° | الزاوية المترية؛ 400 grad = دائرة. المساحة (أوروبا). |
| دورة (دورة كاملة) | turn | 360.0000° | دورة كاملة؛ 1 دورة = 360°. مفهوم بسيط. |
| دورة كاملة | rev | 360.0000° | مثل الدورة؛ 1 دورة = 360°. ميكانيكي. |
| دائرة | circle | 360.0000° | دورة كاملة؛ 1 دائرة = 360°. |
| زاوية قائمة (ربع) | ∟ | 90.0000° | ربع دورة؛ 90°. خطوط متعامدة. |
دقائق قوسية وثواني قوسية
| الوحدة | الرمز | الدرجة | ملاحظات |
|---|---|---|---|
| دقيقة قوسية (دقيقة قوسية) | ′ | 16.666667 m° | دقيقة قوسية؛ 1′ = 1/60°. علم الفلك، الملاحة. |
| ثانية قوسية (ثانية قوسية) | ″ | 277.777778 µ° | ثانية قوسية؛ 1″ = 1/3600°. علم الفلك الدقيق. |
| مللي ثانية قوسية | mas | 2.778e-7° | 0.001″. دقة Hubble (دقة ~50 mas). |
| ميكرو ثانية قوسية | µas | 2.778e-10° | 0.000001″. دقة قمر Gaia الصناعي. فائق الدقة. |
الملاحة والعسكرية
| الوحدة | الرمز | الدرجة | ملاحظات |
|---|---|---|---|
| نقطة (بوصلة) | point | 11.2500° | 32 نقطة؛ 1 نقطة = 11.25°. ملاحة تقليدية. |
| ميل (الناتو) | mil | 56.250000 m° | 6400 لكل دائرة؛ 1 مِل ≈ 1 متر على مسافة 1 كم. معيار عسكري. |
| ميل (اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية) | mil USSR | 60.000000 m° | 6000 لكل دائرة. معيار عسكري روسي/سوفيتي. |
| ميل (السويد) | streck | 57.142857 m° | 6300 لكل دائرة. معيار عسكري اسكندنافي. |
| درجة ثنائية | brad | 1.4063° | 256 لكل دائرة؛ 1 brad ≈ 1.406°. رسومات الحاسوب. |
علم الفلك والسماوية
| الوحدة | الرمز | الدرجة | ملاحظات |
|---|---|---|---|
| زاوية الساعة | h | 15.0000° | 24 ساعة = 360°؛ 1 ساعة = 15°. إحداثيات سماوية (RA). |
| دقيقة زمنية | min | 250.000000 m° | 1 دقيقة = 15′ = 0.25°. زاوية مستندة إلى الوقت. |
| ثانية زمنية | s | 4.166667 m° | 1 ثانية = 15″ ≈ 0.00417°. زاوية زمنية دقيقة. |
| علامة (البرج) | sign | 30.0000° | علامة البرج؛ 12 علامة = 360°؛ 1 علامة = 30°. علم التنجيم. |
متخصصة وهندسية
| الوحدة | الرمز | الدرجة | ملاحظات |
|---|---|---|---|
| سدس | sextant | 60.0000° | 1/6 دائرة؛ 60°. تقسيم هندسي. |
| ثمن | octant | 45.0000° | 1/8 دائرة؛ 45°. تقسيم هندسي. |
| ربع | quadrant | 90.0000° | 1/4 دائرة؛ 90°. مثل الزاوية القائمة. |
| درجة مئوية (ميل) | % | formula | نسبة الميل المئوية؛ arctan(الميل/100) = زاوية. هندسة. |
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم الدرجات مقابل الراديان؟
استخدم الدرجات لـ: الزوايا اليومية، الملاحة، المساحة، البناء. استخدم الراديان لـ: حساب التفاضل والتكامل، المعادلات الفيزيائية، البرمجة (الدوال المثلثية). الراديان 'طبيعي' لأن طول القوس = نصف القطر × الزاوية. المشتقات مثل d/dx(sin x) = cos x تعمل فقط بالراديان!
لماذا π راديان = 180° بالضبط؟
محيط الدائرة = 2πr. نصف الدائرة (خط مستقيم) = πr. يُعرَّف الراديان بأنه طول القوس/نصف القطر. لنصف الدائرة: القوس = πr, نصف القطر = r, لذا الزاوية = πr/r = π راديان. لذلك، π راديان = 180° بالتعريف.
كيف أحول نسبة الميل المئوية إلى زاوية؟
استخدم arctan: الزاوية = arctan(الميل/100). مثال: ميل 10% = arctan(0.1) ≈ 5.71°. ليس مجرد ضرب! 10% ≠ 10°. العكس: الميل = tan(الزاوية) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% ميل.
ما الفرق بين الدقيقة القوسية ودقيقة الزمن؟
الدقيقة القوسية (′) = 1/60 من الدرجة (زاوية). دقيقة الزمن = 1/60 من الساعة (زمن). مختلفان تمامًا! في علم الفلك، 'دقيقة الزمن' تُحوَّل إلى زاوية: 1 دقيقة = 15 دقيقة قوسية (لأن 24 ساعة = 360°، لذا 1 دقيقة = 360°/1440 = 0.25° = 15′).
لماذا تستخدم دول مختلفة مِلات مختلفة؟
صُمم المِل بحيث يكون 1 مِل ≈ 1 متر على مسافة 1 كم (مقذوفات عملية). المللي راديان الرياضي الحقيقي = 1/1000 راديان ≈ 6283 لكل دائرة. قام حلف NATO بتبسيطه إلى 6400 (قوة للرقم 2، يقبل القسمة بسهولة). استخدم الاتحاد السوفيتي 6000 (يقبل القسمة على 10). السويد 6300 (حل وسط). كلها قريبة من 2π×1000.
هل يمكن أن تكون الزوايا سالبة؟
نعم! الموجب = عكس اتجاه عقارب الساعة (اتفاق رياضي). السالب = في اتجاه عقارب الساعة. -90° = 270° (نفس الموضع، اتجاه مختلف). في الملاحة، استخدم النطاق 0-360°. في الرياضيات/الفيزياء، الزوايا السالبة شائعة. مثال: -π/2 = -90° = 270°.
دليل الأدوات الكامل
كل الأدوات البالغ عددها 71 متاحة على UNITS