Kulma mittaa kiertoa tai käännöstä kahden viivan välillä. Ajattele oven avaamista tai pyörän pyörittämistä. Mitataan asteina (°), radiaaneina (rad) tai gooneina. 360° = täysi ympyrä = yksi täydellinen kierto.

• Kulma = kierron määrä
• Täysi ympyrä = 360° = 2π rad
• Suora kulma = 90° = π/2 rad
• Oikokulma = 180° = π rad

Asteet: ympyrä jaettu 360 osaan (historiallinen). Radiaanit: perustuu ympyrän säteeseen. 2π radiaania = 360°. Radiaanit ovat 'luonnollisia' matematiikalle/fysiikalle. π rad = 180°, joten 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (täysi ympyrä)
• 180° = π rad (puoliympyrä)
• 90° = π/2 rad (suora kulma)
• 1 rad ≈ 57,2958° (muunnos)

Gooni: 100 grad = 90° (metrinen kulma). Kaariminuutti/kaarisekunti: asteen alaosat (tähtitiede). Piiru: sotilaallinen navigointi (6400 piirua = ympyrä). Jokainen yksikkö tiettyyn sovellukseen.

• Gooni: 400 grad = ympyrä
• Kaariminuutti: 1′ = 1/60°
• Kaarisekunti: 1″ = 1/3600°
• Piiru (NATO): 6400 piirua = ympyrä

360° per ympyrä (babylonialainen alkuperä - ~360 päivää/vuosi). Alajaoteltu: 1° = 60′ (kaariminuuttia) = 3600″ (kaarisekuntia). Yleiskäyttöinen navigointiin, maanmittaukseen, arkikäyttöön.

• 360° = täysi ympyrä
• 1° = 60 kaariminuuttia (′)
• 1′ = 60 kaarisekuntia (″)
• Helppo ihmisille, historiallinen

Radiaani: kaaren pituus = säde. 2π rad = ympyrän kehä/säde. Luonnollinen laskennalle (sinin, cosinin derivaatat). Fysiikan, tekniikan standardi. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (tarkka)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Luonnollinen matematiikalle/fysiikalle

Gooni: 400 grad = ympyrä (metrinen kulma). 100 grad = suora kulma. Piiru: sotilaallinen navigointi - NATO käyttää 6400 piirua. Neuvostoliitto käytti 6000. Eri standardeja on olemassa.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (suora kulma)
• Piiru (NATO): 6400 per ympyrä
• Piiru (Neuvostoliitto): 6000 per ympyrä

rad = aste × π/180. aste = rad × 180/π. grad = aste × 10/9. Käytä laskennassa aina radiaaneja! Trigonometriset funktiot tarvitsevat radiaaneja derivaattoja varten.

• rad = aste × (π/180)
• aste = rad × (180/π)
• grad = aste × (10/9)
• Laskenta vaatii radiaaneja

sini, kosini, tangentti yhdistävät kulmat suhteisiin. Yksikköympyrä: säde=1, kulma=θ. Pisteen koordinaatit: (cos θ, sin θ). Olennainen fysiikassa, tekniikassa, grafiikassa.

• sin θ = vastakkainen/hypotenuusa
• cos θ = viereinen/hypotenuusa
• tan θ = vastakkainen/viereinen
• Yksikköympyrä: (cos θ, sin θ)

Kulmat lasketaan yhteen/vähennetään normaalisti. 45° + 45° = 90°. Täysi kierto: lisää/vähennä 360° (tai 2π). Moduloaritmetiikka 'kiertämiseen': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normaali yhteenlasku)
• Kiertäminen: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negatiiviset kulmat: -90° = 270°

Kompassisuunnat: 0°=Pohjoinen, 90°=Itä, 180°=Etelä, 270°=Länsi. Sotilaat käyttävät piiruja tarkkuuteen. Kompassissa on 32 suuntaa (kukin 11,25°). GPS käyttää desimaaliasteita.

• Suunnat: 0-360° pohjoisesta
• NATO-piiru: 6400 per ympyrä
• Kompassisuunnat: 32 (kukin 11,25°)
• GPS: desimaaliasteet

Tähtien sijainnit: kaarisekunnin tarkkuus. Parallaksi: millikaarisekunnit. Hubble: ~50 mas resoluutio. Gaia-satelliitti: mikrokaarisekunnin tarkkuus. Tuntikulma: 24h = 360°.

• Kaarisekunti: tähtien sijainnit
• Millikaarisekunti: parallaksi, VLBI
• Mikrokaarisekunti: Gaia-satelliitti
• Tuntikulma: 15°/tunti

Kaltevuus: prosentuaalinen jyrkkyys tai kulma. 10 % jyrkkyys ≈ 5,7°. Teiden suunnittelussa käytetään prosentteja. Maanmittauksessa käytetään asteita/minuutteja/sekunteja. Goonijärjestelmä metrisissä maissa.

• Kaltevuus: % tai asteet
• 10 % ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Maanmittaus: AMS (aste-minuutti-sekunti)
• Gooni: metrinen maanmittaus

rad = aste × π/180. aste = rad × 180/π. Nopeasti: 180° = π rad, joten jaa/kerro tällä suhteella.

• rad = aste × 0,01745
• aste = rad × 57,2958
• π rad = 180° (tarkka)
• 2π rad = 360° (tarkka)

kulma = arctan(kaltevuus/100). 10 % kaltevuus = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Käänteisesti: kaltevuus = tan(kulma) × 100.

• θ = arctan(jyrkkyys/100)
• 10 % → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100 %
• Jyrkkä: 100 % = 45°

1° = 60′ (kaariminuutti). 1′ = 60″ (kaarisekunti). Yhteensä: 1° = 3600″. Nopea alajako tarkkuutta varten.

• 1° = 60 kaariminuuttia
• 1′ = 60 kaarisekuntia
• 1° = 3600 kaarisekuntia
• AMS: asteet-minuutit-sekunnit

Tiellä on 8 %:n jyrkkyys. Mikä on kulma?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Suhteellisen loiva kaltevuus!

Navigoi 135°:n suuntaan. Mikä kompassisuunta se on?

0°=P, 90°=I, 180°=E, 270°=L. 135° on idän (90°) ja etelän (180°) välissä. Suunta: Kaakko (SE).

Tähti siirtyi 0,5 kaarisekuntia. Kuinka monta astetta se on?

1″ = 1/3600°. Joten 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Pieni liike!

Babylonialaiset käyttivät 60-kantaista (seksagesimaalista) järjestelmää. 360:llä on monta tekijää (24 tekijää!). Vastaa suunnilleen 360 päivää vuodessa. Kätevä tähtitieteessä ja ajanotossa. Jakautuu myös tasan 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radiaani määritellään kaaren pituudella = säde. Tekee laskennasta kaunista: d/dx(sin x) = cos x (vain radiaaneissa!). Asteina, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (sotkuista). Luonto 'käyttää' radiaaneja!

Metrinen kulma: 100 goonia = suora kulma. Yritettiin Ranskan vallankumouksen aikana metrijärjestelmän kanssa. Ei koskaan tullut suosituksi – asteet olivat liian syvällä. Käytetään edelleen joissakin maanmittaustöissä (Sveitsi, Pohjois-Eurooppa). Laskimissa on 'grad'-tila!

1 millikaarisekunti ≈ ihmisen hiuksen leveys 10 km:n etäisyydeltä katsottuna! Hubble-avaruusteleskooppi pystyy erottamaan ~50 mas. Uskomatonta tarkkuutta tähtitieteelle. Käytetään tähtien parallaksin, kaksoistähtien mittaamiseen.

Sotilaallinen piiru: 1 piiru ≈ 1 m leveys 1 km:n etäisyydellä (NATO: 1,02 m, riittävän lähellä). Helppo päässälasku etäisyyden arviointiin. Eri maat käyttävät eri piiruja (6000, 6300, 6400 per ympyrä). Käytännöllinen ballistinen yksikkö!

90 = 360/4 (neljänneskierto). Mutta 'suora' tulee latinan sanasta 'rectus' = pystyssä, suora. Suora kulma tekee kohtisuoria viivoja. Olennainen rakentamisessa – rakennukset tarvitsevat suoria kulmia pysyäkseen pystyssä!

Babylonialaiset käyttivät seksagesimaalista (60-kantaista) lukujärjestelmää tähtitieteeseen ja ajanottoon. He jakoivat ympyrän 360 osaan, koska 360 ≈ päiviä vuodessa (oikeasti 365,25), ja 360:llä on 24 tekijää – uskomattoman kätevää murtoluvuille.

Tämä 60-kantainen järjestelmä on edelleen olemassa: 60 sekuntia minuutissa, 60 minuuttia tunnissa ja asteessa. Luku 360 tekijöinä on 2³ × 3² × 5, ja se on jaollinen tasan 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 – laskimen unelma!

• 2000 eaa.: Babylonialaiset tähtitieteilijät seuraavat taivaankappaleiden sijainteja asteina
• 360° valittiin jaollisuuden ja ~vuoden likiarvon vuoksi
• 60-kanta antaa meille tunnit (24 = 360/15) ja minuutit/sekunnit
• Kreikkalaiset tähtitieteilijät omaksuivat 360° babylonialaisista taulukoista

Eukleideen 'Alkeet' (300 eaa.) formalisoi kulmageometrian – suorat kulmat (90°), komplementtikulmat (summa 90°), suplementtikulmat (summa 180°). Kreikkalaiset matemaatikot kuten Hipparkhos loivat trigonometrian käyttämällä astepohjaisia taulukoita tähtitieteeseen ja maanmittaukseen.

Keskiaikaiset merenkulkijat käyttivät astrolabia ja kompassia, jossa oli 32 suuntaa (kukin 11,25°). Merimiehet tarvitsivat tarkkoja suuntia; kaariminuutit (1/60°) ja kaarisekunnit (1/3600°) syntyivät tähtiluetteloita ja merikarttoja varten.

• 300 eaa.: Eukleideen 'Alkeet' määrittelee geometriset kulmat
• 150 eaa.: Hipparkhos luo ensimmäiset trigonometriset taulukot (asteet)
• 1200-luku: Astrolabi käyttää astemerkintöjä taivaannavigointiin
• 1569: Mercatorin karttaprojektio vaatii kulmia säilyttävää matematiikkaa

Kun Newton ja Leibniz kehittivät laskentaa (1670-luvulla), asteista tuli ongelmallisia: d/dx(sin x) = (π/180)cos x asteina – ruma vakio! Roger Cotes (1682-1716) ja Leonhard Euler formalisoivat radiaanin: kulma = kaaren pituus / säde. Nyt d/dx(sin x) = cos x kauniisti.

James Thomson keksi termin 'radiaani' vuonna 1873 (latinan sanasta 'radius'). Radiaanista tuli matemaattisen analyysin, fysiikan ja tekniikan YKSIKKÖ. Silti asteet säilyivät arkielämässä, koska ihmiset suosivat kokonaislukuja π:n sijaan.

• 1670-luku: Laskenta paljastaa, että asteet luovat sotkuisia kaavoja
• 1714: Roger Cotes kehittää 'ympyrämitan' (esi-radiaani)
• 1748: Euler käyttää radiaaneja laajasti analyysissä
• 1873: Thomson nimeää sen 'radiaaniksi'; siitä tulee matematiikan standardi

Ensimmäisen maailmansodan tykistö vaati käytännöllisiä kulmayksiköitä: piiru syntyi – 1 piiru ≈ 1 metrin poikkeama 1 km:n etäisyydellä. NATO standardoi 6400 piirua/ympyrä (hieno kahden potenssi), kun taas Neuvostoliitto käytti 6000 (desimaalinen mukavuus). Todellinen milliradiaani = 6283/ympyrä.

Avaruusajan tähtitiede saavutti millikaarisekunnin tarkkuuden (Hipparcos, 1989), sitten mikrokaarisekunnit (Gaia, 2013). Gaia mittaa tähtien parallaksin 20 mikrokaarisekunnin tarkkuudella – vastaa ihmisen hiuksen näkemistä 1 000 km:n etäisyydeltä! Moderni fysiikka käyttää radiaaneja yleisesti; vain navigointi ja rakentaminen suosivat edelleen asteita.

• 1916: Sotilaallinen tykistö ottaa käyttöön piirun etäisyyslaskelmiin
• 1960: SI tunnustaa radiaanin johdonmukaisena johdannaisyksikkönä
• 1989: Hipparcos-satelliitti: ~1 millikaarisekunnin tarkkuus
• 2013: Gaia-satelliitti: 20 mikrokaarisekunnin tarkkuus – kartoittaa miljardi tähteä

Käytä asteita: arkipäivän kulmiin, navigointiin, maanmittaukseen, rakentamiseen. Käytä radiaaneja: laskentaan, fysiikan yhtälöihin, ohjelmointiin (trigonometriset funktiot). Radiaanit ovat 'luonnollisia', koska kaaren pituus = säde × kulma. Derivaatat kuten d/dx(sin x) = cos x toimivat vain radiaaneissa!

Ympyrän kehä = 2πr. Puoliympyrä (suora viiva) = πr. Radiaani määritellään kaaren pituutena/säteenä. Puoliympyrälle: kaari = πr, säde = r, joten kulma = πr/r = π radiaania. Siksi π rad = 180° määritelmän mukaan.

Käytä arctania: kulma = arctan(jyrkkyys/100). Esimerkki: 10 % jyrkkyys = arctan(0,1) ≈ 5,71°. EI vain kerrota! 10 % ≠ 10°. Käänteisesti: jyrkkyys = tan(kulma) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100 % jyrkkyys.

Kaariminuutti (′) = 1/60 astetta (kulma). Aikaminuutti = 1/60 tuntia (aika). Täysin eri asioita! Tähtitieteessä 'aikaminuutti' muunnetaan kulmaksi: 1 min = 15 kaariminuuttia (koska 24h = 360°, joten 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Piiru suunniteltiin niin, että 1 piiru ≈ 1 metri 1 km:n etäisyydellä (käytännön ballistiikka). Todellinen matemaattinen milliradiaani = 1/1000 rad ≈ 6283 per ympyrä. NATO yksinkertaisti sen 6400:een (kahden potenssi, jakautuu hyvin). Neuvostoliitto käytti 6000 (jaollinen 10:llä). Ruotsi 6300 (kompromissi). Kaikki ovat lähellä arvoa 2π×1000.

Kyllä! Positiivinen = vastapäivään (matemaattinen sopimus). Negatiivinen = myötäpäivään. -90° = 270° (sama sijainti, eri suunta). Navigoinnissa käytä aluetta 0-360°. Matematiikassa/fysiikassa negatiiviset kulmat ovat yleisiä. Esimerkki: -π/2 = -90° = 270°.