Un angolo misura la rotazione o il giro tra due linee. Pensa all'apertura di una porta o alla rotazione di una ruota. Si misura in gradi (°), radianti (rad) o gradi centesimali. 360° = cerchio completo = una rotazione completa.

• Angolo = quantità di rotazione
• Cerchio completo = 360° = 2π rad
• Angolo retto = 90° = π/2 rad
• Linea retta = 180° = π rad

Gradi: cerchio diviso in 360 parti (storico). Radianti: basati sul raggio del cerchio. 2π radianti = 360°. I radianti sono 'naturali' per la matematica/fisica. π rad = 180°, quindi 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (cerchio completo)
• 180° = π rad (mezzo cerchio)
• 90° = π/2 rad (angolo retto)
• 1 rad ≈ 57,2958° (conversione)

Grado centesimale: 100 grad = 90° (angolo metrico). Minuto/secondo d'arco: suddivisioni del grado (astronomia). Millesimo: navigazione militare (6400 millesimi = cerchio). Ogni unità per un'applicazione specifica.

• Grado centesimale: 400 grad = cerchio
• Minuto d'arco: 1′ = 1/60°
• Secondo d'arco: 1″ = 1/3600°
• Millesimo (NATO): 6400 millesimi = cerchio

360° per cerchio (origine babilonese - ~360 giorni/anno). Suddiviso: 1° = 60′ (minuti d'arco) = 3600″ (secondi d'arco). Universale per navigazione, topografia, uso quotidiano.

• 360° = cerchio completo
• 1° = 60 minuti d'arco (′)
• 1′ = 60 secondi d'arco (″)
• Facile per gli esseri umani, storico

Radiante: lunghezza dell'arco = raggio. 2π rad = circonferenza del cerchio/raggio. Naturale per il calcolo (derivate di sin, cos). Standard in fisica, ingegneria. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (esatto)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Naturale per la matematica/fisica

Grado centesimale: 400 grad = cerchio (angolo metrico). 100 grad = angolo retto. Millesimo: navigazione militare - la NATO usa 6400 millesimi. L'URSS ne usava 6000. Esistono standard diversi.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (angolo retto)
• Millesimo (NATO): 6400 per cerchio
• Millesimo (URSS): 6000 per cerchio

rad = gradi × π/180. gradi = rad × 180/π. grad = gradi × 10/9. Usare sempre i radianti nel calcolo! Le funzioni trigonometriche necessitano di radianti per le derivate.

• rad = gradi × (π/180)
• gradi = rad × (180/π)
• grad = gradi × (10/9)
• Il calcolo richiede radianti

sin, cos, tan mettono in relazione gli angoli con i rapporti. Cerchio unitario: raggio=1, angolo=θ. Coordinate del punto: (cos θ, sin θ). Essenziale per fisica, ingegneria, grafica.

• sin θ = opposto/ipotenusa
• cos θ = adiacente/ipotenusa
• tan θ = opposto/adiacente
• Cerchio unitario: (cos θ, sin θ)

Gli angoli si sommano/sottraggono normalmente. 45° + 45° = 90°. Rotazione completa: aggiungi/sottrai 360° (o 2π). Aritmetica modulare per l'avvolgimento: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (addizione normale)
• Avvolgimento: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Angoli negativi: -90° = 270°

Rilevamenti della bussola: 0°=Nord, 90°=Est, 180°=Sud, 270°=Ovest. I militari usano i millesimi per la precisione. La bussola ha 32 punti (11,25° ciascuno). Il GPS usa gradi decimali.

• Rilevamenti: 0-360° dal Nord
• Millesimo NATO: 6400 per cerchio
• Punti della bussola: 32 (11,25° ciascuno)
• GPS: gradi decimali

Posizioni delle stelle: precisione in secondi d'arco. Parallasse: millisecondi d'arco. Hubble: risoluzione di ~50 mas. Satellite Gaia: precisione in microsecondi d'arco. Angolo orario: 24h = 360°.

• Secondo d'arco: posizioni delle stelle
• Millisecondo d'arco: parallasse, VLBI
• Microsecondo d'arco: satellite Gaia
• Angolo orario: 15°/ora

Pendenza: percentuale di pendenza o angolo. 10% di pendenza ≈ 5,7°. La progettazione stradale usa la percentuale. La topografia usa gradi/minuti/secondi. Sistema dei gradi centesimali per i paesi metrici.

• Pendenza: % o gradi
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Topografia: GMS (gradi-minuti-secondi)
• Grado centesimale: topografia metrica

rad = gradi × π/180. gradi = rad × 180/π. Rapido: 180° = π rad, quindi dividi/moltiplica per questo rapporto.

• rad = gradi × 0,01745
• gradi = rad × 57,2958
• π rad = 180° (esatto)
• 2π rad = 360° (esatto)

angolo = arctan(pendenza/100). 10% di pendenza = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Inverso: pendenza = tan(angolo) × 100.

• θ = arctan(pendenza/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Ripido: 100% = 45°

1° = 60′ (minuto d'arco). 1′ = 60″ (secondo d'arco). Totale: 1° = 3600″. Suddivisione rapida per la precisione.

• 1° = 60 minuti d'arco
• 1′ = 60 secondi d'arco
• 1° = 3600 secondi d'arco
• GMS: gradi-minuti-secondi

Una strada ha una pendenza dell'8%. Qual è l'angolo?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Una pendenza relativamente dolce!

Navigare con un rilevamento di 135°. Che direzione della bussola è?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=O. 135° è tra E (90°) e S (180°). Direzione: Sud-Est (SE).

Una stella si è spostata di 0,5 secondi d'arco. Quanti gradi sono?

1″ = 1/3600°. Quindi 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Un movimento minuscolo!

I Babilonesi usavano un sistema sessagesimale (base 60). 360 ha molti divisori (24 fattori!). Corrisponde approssimativamente ai 360 giorni dell'anno. Comodo per l'astronomia e la misurazione del tempo. Si divide anche esattamente per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Il radiante è definito dalla lunghezza dell'arco = raggio. Rende il calcolo bellissimo: d/dx(sin x) = cos x (solo in radianti!). In gradi, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (complicato). La natura 'usa' i radianti!

Angolo metrico: 100 gradi centesimali = angolo retto. Tentato durante la Rivoluzione Francese con il sistema metrico. Non divenne mai popolare—i gradi erano troppo radicati. Ancora usato in alcuni lavori di topografia (Svizzera, Nord Europa). Le calcolatrici hanno una modalità 'grad'!

1 millisecondo d'arco ≈ la larghezza di un capello umano visto da 10 km di distanza! Il Telescopio Spaziale Hubble può risolvere ~50 mas. Precisione incredibile per l'astronomia. Usato per misurare la parallasse stellare, le stelle binarie.

Millesimo militare: 1 millesimo ≈ 1 m di larghezza a 1 km di distanza (NATO: 1,02 m, abbastanza vicino). Calcolo mentale facile per la stima della gittata. Paesi diversi usano millesimi diversi (6000, 6300, 6400 per cerchio). Unità balistica pratica!

90 = 360/4 (un quarto di giro). Ma 'retto' deriva dal latino 'rectus' = dritto, eretto. Un angolo retto forma linee perpendicolari. Essenziale per la costruzione—gli edifici hanno bisogno di angoli retti per stare in piedi!

I Babilonesi usavano un sistema numerico sessagesimale (base 60) per l'astronomia e la misurazione del tempo. Divisero il cerchio in 360 parti perché 360 ≈ giorni in un anno (in realtà 365,25), e 360 ha 24 divisori—incredibilmente comodo per le frazioni.

Questo sistema in base 60 persiste ancora oggi: 60 secondi al minuto, 60 minuti all'ora e al grado. Il numero 360 si scompone in 2³ × 3² × 5, dividendosi esattamente per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—il sogno di una calcolatrice!

• 2000 a.C.: Gli astronomi babilonesi tracciano le posizioni celesti in gradi
• 360° scelto per la sua divisibilità e l'approssimazione all'anno
• La base 60 ci dà le ore (24 = 360/15) e i minuti/secondi
• Gli astronomi greci adottano i 360° dalle tavole babilonesi

Gli Elementi di Euclide (300 a.C.) formalizzarono la geometria degli angoli—angoli retti (90°), complementari (somma 90°), supplementari (somma 180°). Matematici greci come Ipparco crearono la trigonometria usando tavole basate sui gradi per l'astronomia e la topografia.

I navigatori medievali usavano l'astrolabio e la bussola con 32 punti (ciascuno di 11,25°). I marinai avevano bisogno di rilevamenti precisi; i minuti d'arco (1/60°) e i secondi d'arco (1/3600°) emersero per i cataloghi stellari e le carte nautiche.

• 300 a.C.: Gli Elementi di Euclide definiscono gli angoli geometrici
• 150 a.C.: Ipparco crea le prime tavole trigonometriche (gradi)
• 1200: L'astrolabio usa segni in gradi per la navigazione celeste
• 1569: La proiezione di Mercatore richiede una matematica che conservi gli angoli

Mentre Newton e Leibniz sviluppavano il calcolo (1670), i gradi divennero problematici: d/dx(sin x) = (π/180)cos x in gradi—una costante sgradevole! Roger Cotes (1682-1716) e Leonhard Euler formalizzarono il radiante: angolo = lunghezza dell'arco / raggio. Ora d/dx(sin x) = cos x magnificamente.

James Thomson coniò il termine 'radiante' nel 1873 (dal latino 'radius'). Il radiante divenne L'unità per l'analisi matematica, la fisica e l'ingegneria. Tuttavia, i gradi persistettero nella vita di tutti i giorni perché gli esseri umani preferiscono i numeri interi a π.

• 1670: Il calcolo rivela che i gradi creano formule complicate
• 1714: Roger Cotes sviluppa la 'misura circolare' (pre-radiante)
• 1748: Eulero usa ampiamente i radianti nell'analisi
• 1873: Thomson lo chiama 'radiante'; diventa lo standard matematico

L'artiglieria della Prima Guerra Mondiale richiedeva unità angolari pratiche: nacque il millesimo—1 millesimo ≈ 1 metro di deviazione a 1 km di distanza. La NATO standardizzò 6400 millesimi/cerchio (una bella potenza di 2), mentre l'URSS ne usò 6000 (comodità decimale). Il vero milliradiante = 6283/cerchio.

L'astronomia dell'era spaziale raggiunse la precisione del millisecondo d'arco (Hipparcos, 1989), poi del microsecondo d'arco (Gaia, 2013). Gaia misura la parallasse stellare fino a 20 microsecondi d'arco—equivalente a vedere un capello umano da 1.000 km di distanza! La fisica moderna usa i radianti universalmente; solo la navigazione e l'edilizia preferiscono ancora i gradi.

• 1916: L'artiglieria militare adotta il millesimo per i calcoli di gittata
• 1960: Il SI riconosce il radiante come unità derivata coerente
• 1989: Satellite Hipparcos: precisione di ~1 millisecondo d'arco
• 2013: Satellite Gaia: precisione di 20 microsecondi d'arco—mappa 1 miliardo di stelle

Usa i gradi per: angoli quotidiani, navigazione, topografia, edilizia. Usa i radianti per: calcolo, equazioni fisiche, programmazione (funzioni trigonometriche). I radianti sono 'naturali' perché la lunghezza dell'arco = raggio × angolo. Le derivate come d/dx(sin x) = cos x funzionano solo in radianti!

La circonferenza del cerchio = 2πr. Mezzo cerchio (linea retta) = πr. Il radiante è definito come lunghezza dell'arco/raggio. Per mezzo cerchio: arco = πr, raggio = r, quindi angolo = πr/r = π radianti. Pertanto, π rad = 180° per definizione.

Usa l'arcotangente: angolo = arctan(pendenza/100). Esempio: 10% di pendenza = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NON solo moltiplicare! 10% ≠ 10°. Inverso: pendenza = tan(angolo) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% di pendenza.

Minuto d'arco (′) = 1/60 di grado (angolo). Minuto di tempo = 1/60 di ora (tempo). Completamente diversi! In astronomia, 'minuto di tempo' si converte in angolo: 1 min = 15 minuti d'arco (perché 24h = 360°, quindi 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Il millesimo è stato progettato in modo che 1 millesimo ≈ 1 metro a 1 km (balistica pratica). Il vero milliradiante matematico = 1/1000 rad ≈ 6283 per cerchio. La NATO lo ha semplificato a 6400 (una potenza di 2, si divide bene). L'URSS ha usato 6000 (divisibile per 10). La Svezia 6300 (un compromesso). Tutti sono vicini a 2π×1000.

Sì! Positivo = senso antiorario (convenzione matematica). Negativo = senso orario. -90° = 270° (stessa posizione, direzione diversa). In navigazione, usa l'intervallo 0-360°. In matematica/fisica, gli angoli negativi sono comuni. Esempio: -π/2 = -90° = 270°.