Nurk mõõdab pööret või pööramist kahe joone vahel. Mõelge ukse avamisele või ratta pööramisele. Mõõdetakse kraadides (°), radiaanides (rad) või gradides. 360° = täisring = üks täispööre.

• Nurk = pöörde suurus
• Täisring = 360° = 2π rad
• Täisnurk = 90° = π/2 rad
• Sirgjoon = 180° = π rad

Kraadid: ring jagatud 360 osaks (ajalooline). Radiaanid: põhinevad ringi raadiusel. 2π radiaani = 360°. Radiaanid on matemaatika/füüsika jaoks 'loomulikud'. π rad = 180°, seega 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (täisring)
• 180° = π rad (poolring)
• 90° = π/2 rad (täisnurk)
• 1 rad ≈ 57,2958° (teisendus)

Grad: 100 grad = 90° (meetriline nurk). Kaareminut/kaaresekund: kraadi alajaotused (astronoomia). Tuhandik: sõjaline navigatsioon (6400 tuhandikku = ring). Iga ühik konkreetse rakenduse jaoks.

• Grad: 400 grad = ring
• Kaareminut: 1′ = 1/60°
• Kaaresekund: 1″ = 1/3600°
• Tuhandik (NATO): 6400 tuhandikku = ring

360° ringis (Babüloonia päritolu - ~360 päeva/aastas). Alajaotatud: 1° = 60′ (kaareminutit) = 3600″ (kaaresekundit). Universaalne navigatsiooniks, maamõõtmiseks, igapäevaseks kasutamiseks.

• 360° = täisring
• 1° = 60 kaareminutit (′)
• 1′ = 60 kaaresekundit (″)
• Inimestele lihtne, ajalooline

Radiaan: kaare pikkus = raadius. 2π rad = ringjoone pikkus/raadius. Loomulik arvutuste jaoks (sin, cos tuletised). Füüsika, inseneriteaduse standard. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (täpne)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Loomulik matemaatika/füüsika jaoks

Grad: 400 grad = ring (meetriline nurk). 100 grad = täisnurk. Tuhandik: sõjaline navigatsioon - NATO kasutab 6400 tuhandikku. NSVL kasutas 6000. On olemas erinevaid standardeid.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (täisnurk)
• Tuhandik (NATO): 6400 ringis
• Tuhandik (NSVL): 6000 ringis

rad = kraad × π/180. kraad = rad × 180/π. grad = kraad × 10/9. Kasutage arvutustes alati radiaane! Trigonomeetrilised funktsioonid vajavad tuletiste jaoks radiaane.

• rad = kraad × (π/180)
• kraad = rad × (180/π)
• grad = kraad × (10/9)
• Arvutused nõuavad radiaane

sin, cos, tan seovad nurgad suhetega. Ühikring: raadius=1, nurk=θ. Punkti koordinaadid: (cos θ, sin θ). Oluline füüsikas, inseneriteaduses, graafikas.

• sin θ = vastaskülg/hüpotenuus
• cos θ = lähiskülg/hüpotenuus
• tan θ = vastaskülg/lähiskülg
• Ühikring: (cos θ, sin θ)

Nurgad liidetakse/lahutatakse tavaliselt. 45° + 45° = 90°. Täispööre: lisage/lahutage 360° (või 2π). Moodularitmeetika 'mähkimiseks': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (tavaline liitmine)
• Mähkimine: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negatiivsed nurgad: -90° = 270°

Kompassikursid: 0°=Põhi, 90°=Ida, 180°=Lõuna, 270°=Lääs. Sõjavägi kasutab täpsuse saavutamiseks tuhandikke. Kompassil on 32 punkti (igaüks 11,25°). GPS kasutab kümnendkraade.

• Kursid: 0-360° põhjast
• NATO tuhandik: 6400 ringis
• Kompassipunktid: 32 (igaüks 11,25°)
• GPS: kümnendkraadid

Tähtede asukohad: kaaresekundi täpsus. Parallaks: millikaaresekundid. Hubble: ~50 mas resolutsioon. Gaia satelliit: mikrokaaresekundi täpsus. Tunninurk: 24h = 360°.

• Kaaresekund: tähtede asukohad
• Millikaaresekund: parallaks, VLBI
• Mikrokaaresekund: Gaia satelliit
• Tunninurk: 15°/tund

Kalle: protsentuaalne kalle või nurk. 10% kalle ≈ 5,7°. Teede projekteerimisel kasutatakse protsente. Maamõõtmisel kasutatakse kraade/minuteid/sekundeid. Grad-süsteem meetrilistes riikides.

• Kalle: % või kraadid
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Maamõõtmine: KMS (kraad-minut-sekund)
• Grad: meetriline maamõõtmine

rad = kraad × π/180. kraad = rad × 180/π. Kiirelt: 180° = π rad, seega jagage/korrutage selle suhtega.

• rad = kraad × 0,01745
• kraad = rad × 57,2958
• π rad = 180° (täpne)
• 2π rad = 360° (täpne)

nurk = arctan(kalle/100). 10% kalle = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Vastupidi: kalle = tan(nurk) × 100.

• θ = arctan(kalle/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Järsk: 100% = 45°

1° = 60′ (kaareminut). 1′ = 60″ (kaaresekund). Kokku: 1° = 3600″. Kiire alajaotus täpsuse saavutamiseks.

• 1° = 60 kaareminutit
• 1′ = 60 kaaresekundit
• 1° = 3600 kaaresekundit
• KMS: kraadid-minutid-sekundid

Teel on 8% kalle. Mis on nurk?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Suhteliselt väike kalle!

Navigeerige 135° kursil. Mis kompassisuund see on?

0°=P, 90°=I, 180°=L, 270°=Lääs. 135° on I (90°) ja L (180°) vahel. Suund: Kagu (SE).

Täht liikus 0,5 kaaresekundit. Mitu kraadi see on?

1″ = 1/3600°. Seega 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Pisike liikumine!

Babüloonlased kasutasid 60-aluselist (seksagesimaalset) süsteemi. 360-l on palju jagajaid (24 tegurit!). See vastab ligikaudu 360 päevale aastas. Mugav astronoomia ja ajaarvestuse jaoks. Jagub ka täpselt 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radiaan on defineeritud kaare pikkuse = raadiusega. See muudab arvutused ilusaks: d/dx(sin x) = cos x (ainult radiaanides!). Kraadides on d/dx(sin x) = (π/180)cos x (keeruline). Loodus 'kasutab' radiaane!

Meetriline nurk: 100 grad = täisnurk. Prooviti Prantsuse revolutsiooni ajal meetermõõdustikuga. Ei saanud kunagi populaarseks – kraadid olid liiga sügavalt juurdunud. Kasutatakse endiselt mõnes maamõõtmistöös (Šveits, Põhja-Euroopa). Kalkulaatoritel on 'grad' mood!

1 millikaaresekund ≈ inimese juuksekarva laius vaadatuna 10 km kauguselt! Hubble'i kosmoseteleskoop suudab eraldada ~50 mas. Uskumatu täpsus astronoomia jaoks. Kasutatakse täheparallaksi, kaksiktähtede mõõtmiseks.

Sõjaline tuhandik: 1 tuhandik ≈ 1 m laius 1 km kaugusel (NATO: 1,02 m, piisavalt lähedal). Lihtne peastarvutus kauguse hindamiseks. Erinevad riigid kasutavad erinevaid tuhandikke (6000, 6300, 6400 ringis). Praktiline ballistiline ühik!

90 = 360/4 (veerand pööret). Kuid 'täis' (right) tuleb ladinakeelsest sõnast 'rectus' = püstine, sirge. Täisnurk moodustab risti jooned. Oluline ehituses – hooned vajavad püsti püsimiseks täisnurki!

Babüloonlased kasutasid astronoomias ja ajaarvestuses seksagesimaalset (60-aluselist) arvusüsteemi. Nad jagasid ringi 360 osaks, sest 360 ≈ päevi aastas (tegelikult 365,25) ja 360-l on 24 jagajat – murdude jaoks uskumatult mugav.

See 60-aluseline süsteem püsib tänapäevani: 60 sekundit minutis, 60 minutit tunnis ja kraadis. Arv 360 tegurdub kui 2³ × 3² × 5, jagudes täpselt 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180-ga – kalkulaatori unistus!

• 2000 eKr: Babüloonia astronoomid jälgivad taevakehade asukohti kraadides
• 360° valiti jagatavuse ja ~aasta ligikaudse vastavuse tõttu
• 60-aluseline süsteem annab meile tunnid (24 = 360/15) ja minutid/sekundid
• Kreeka astronoomid võtsid 360° üle Babüloonia tabelitest

Eukleidese 'Elemendid' (300 eKr) formaliseerisid nurgageomeetria – täisnurgad (90°), täiendusnurgad (summa 90°), kõrvunurgad (summa 180°). Kreeka matemaatikud nagu Hipparchos lõid trigonomeetria, kasutades kraadipõhiseid tabeleid astronoomia ja maamõõtmise jaoks.

Keskaegsed meresõitjad kasutasid astrolaabi ja kompassi 32 punktiga (igaüks 11,25°). Meremehed vajasid täpseid kursse; kaareminutid (1/60°) ja kaaresekundid (1/3600°) tekkisid tähekataloogide ja merekaartide jaoks.

• 300 eKr: Eukleidese 'Elemendid' defineerivad geomeetrilisi nurki
• 150 eKr: Hipparchos loob esimesed trigonomeetrilised tabelid (kraadid)
• 1200. aastad: Astrolaab kasutab kraadimärgistust taevanavigatsiooniks
• 1569: Mercatori kaardiprojektsioon nõuab nurki säilitavat matemaatikat

Kui Newton ja Leibniz arendasid arvutust (1670. aastatel), muutusid kraadid problemaatiliseks: d/dx(sin x) = (π/180)cos x kraadides – kole konstant! Roger Cotes (1682–1716) ja Leonhard Euler formaliseerisid radiaani: nurk = kaare pikkus / raadius. Nüüd d/dx(sin x) = cos x on ilus.

James Thomson mõtles välja termini 'radiaan' 1873. aastal (ladinakeelsest sõnast 'radius'). Radiaanist sai matemaatilise analüüsi, füüsika ja inseneriteaduse PÕHIÜHIK. Sellegipoolest püsisid kraadid igapäevaelus, sest inimesed eelistavad täisarve π-le.

• 1670. aastad: Arvutus näitab, et kraadid tekitavad keerulisi valemeid
• 1714: Roger Cotes arendab 'ringmõõdu' (radiaani eelkäija)
• 1748: Euler kasutab analüüsis laialdaselt radiaane
• 1873: Thomson nimetab selle 'radiaaniks'; muutub matemaatika standardiks

Esimese maailmasõja suurtükivägi nõudis praktilisi nurgaühikuid: sündis tuhandik – 1 tuhandik ≈ 1 meetri hälve 1 km kaugusel. NATO standardiseeris 6400 tuhandikku/ringis (kena kahe aste), samas kui NSVL kasutas 6000 (kümnendsüsteemi mugavus). Tõeline milliradiaan = 6283/ringis.

Kosmoseajastu astronoomia saavutas millikaaresekundi täpsuse (Hipparcos, 1989), seejärel mikrokaaresekundid (Gaia, 2013). Gaia mõõdab täheparallaksi 20 mikrokaaresekundi täpsusega – see on samaväärne inimese juuksekarva nägemisega 1000 km kauguselt! Tänapäeva füüsika kasutab radiaane universaalselt; ainult navigatsioon ja ehitus eelistavad endiselt kraade.

• 1916: Sõjaline suurtükivägi võtab kasutusele tuhandiku kauguse arvutamiseks
• 1960: SI tunnistab radiaani koherentseks tuletatud ühikuks
• 1989: Hipparcose satelliit: ~1 millikaaresekundi täpsus
• 2013: Gaia satelliit: 20 mikrokaaresekundi täpsus – kaardistab 1 miljard tähte

Kasutage kraade: igapäevaste nurkade, navigatsiooni, maamõõtmise, ehituse jaoks. Kasutage radiaane: arvutuste, füüsikavõrrandite, programmeerimise (trigonomeetrilised funktsioonid) jaoks. Radiaanid on 'loomulikud', sest kaare pikkus = raadius × nurk. Tuletised nagu d/dx(sin x) = cos x toimivad ainult radiaanides!

Ringjoone pikkus = 2πr. Poolring (sirgjoon) = πr. Radiaan on defineeritud kui kaare pikkus/raadius. Poolringi jaoks: kaar = πr, raadius = r, seega nurk = πr/r = π radiaani. Seetõttu on π rad = 180° definitsiooni järgi.

Kasutage arctan: nurk = arctan(kalle/100). Näide: 10% kalle = arctan(0,1) ≈ 5,71°. MITTE lihtsalt korrutada! 10% ≠ 10°. Vastupidi: kalle = tan(nurk) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% kalle.

Kaareminut (′) = 1/60 kraadist (nurk). Ajaminut = 1/60 tunnist (aeg). Täiesti erinevad! Astronoomias teisendatakse 'ajaminut' nurgaks: 1 min = 15 kaareminutit (sest 24h = 360°, seega 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Tuhandik oli kavandatud nii, et 1 tuhandik ≈ 1 meeter 1 km kaugusel (praktiline ballistika). Tõeline matemaatiline milliradiaan = 1/1000 rad ≈ 6283 ringis. NATO lihtsustas selle 6400-le (kahe aste, jagub hästi). NSVL kasutas 6000 (jagub 10-ga). Rootsi 6300 (kompromiss). Kõik on lähedal 2π×1000-le.

Jah! Positiivne = vastupäeva (matemaatiline kokkulepe). Negatiivne = päripäeva. -90° = 270° (sama asukoht, erinev suund). Navigatsioonis kasutage vahemikku 0-360°. Matemaatikas/füüsikas on negatiivsed nurgad tavalised. Näide: -π/2 = -90° = 270°.