Ъгълът измерва ротация или завъртане между две линии. Представете си отваряне на врата или завъртане на колело. Измерва се в градуси (°), радиани (rad) или гради. 360° = пълна окръжност = една пълна ротация.

• Ъгъл = количество ротация
• Пълна окръжност = 360° = 2π rad
• Прав ъгъл = 90° = π/2 rad
• Права линия = 180° = π rad

Градуси: окръжността, разделена на 360 части (исторически). Радиани: базирани на радиуса на окръжността. 2π радиана = 360°. Радианите са 'естествени' за математика/физика. π rad = 180°, така че 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (пълна окръжност)
• 180° = π rad (половин окръжност)
• 90° = π/2 rad (прав ъгъл)
• 1 rad ≈ 57.2958° (преобразуване)

Град: 100 grad = 90° (метричен ъгъл). Дъгова минута/секунда: подразделения на градуса (астрономия). Хилядна: военна навигация (6400 хилядни = окръжност). Всяка единица е за специфично приложение.

• Град: 400 grad = окръжност
• Дъгова минута: 1′ = 1/60°
• Дъгова секунда: 1″ = 1/3600°
• Хилядна (NATO): 6400 хилядни = окръжност

360° на окръжност (вавилонски произход - ~360 дни/година). Подразделя се: 1° = 60′ (дъгови минути) = 3600″ (дъгови секунди). Универсална за навигация, геодезия, ежедневна употреба.

• 360° = пълна окръжност
• 1° = 60 дъгови минути (′)
• 1′ = 60 дъгови секунди (″)
• Лесно за хората, исторически

Радиан: дължина на дъгата = радиус. 2π rad = обиколка на окръжността/радиус. Естествена за математическия анализ (производни на sin, cos). Стандарт във физиката, инженерството. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (точно)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Естествена за математика/физика

Град: 400 grad = окръжност (метричен ъгъл). 100 grad = прав ъгъл. Хилядна: военна навигация - NATO използва 6400 хилядни. СССР е използвал 6000. Съществуват различни стандарти.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (прав ъгъл)
• Хилядна (NATO): 6400 на окръжност
• Хилядна (СССР): 6000 на окръжност

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Винаги използвайте радиани в математическия анализ! Тригонометричните функции се нуждаят от радиани за производните.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Математическият анализ изисква радиани

sin, cos, tan свързват ъглите със съотношения. Единична окръжност: радиус=1, ъгъл=θ. Координати на точката: (cos θ, sin θ). Съществени за физиката, инженерството, графиката.

• sin θ = срещуположен катет/хипотенуза
• cos θ = прилежащ катет/хипотенуза
• tan θ = срещуположен катет/прилежащ катет
• Единична окръжност: (cos θ, sin θ)

Ъглите се събират/изваждат нормално. 45° + 45° = 90°. Пълна ротация: добавете/извадете 360° (или 2π). Модулна аритметика за 'навиване': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (нормално събиране)
• Навиване: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Отрицателни ъгли: -90° = 270°

Компасни азимути: 0°=Север, 90°=Изток, 180°=Юг, 270°=Запад. Военните използват хилядни за прецизност. Компасът има 32 точки (11.25° всяка). GPS използва десетични градуси.

• Азимути: 0-360° от Север
• Хилядна NATO: 6400 на окръжност
• Точки на компаса: 32 (11.25° всяка)
• GPS: десетични градуси

Позиции на звездите: точност до дъгови секунди. Паралакс: милисекунди. Hubble: резолюция ~50 mas. Сателитът Gaia: точност до микросекунди. Часов ъгъл: 24ч = 360°.

• Дъгова секунда: позиции на звездите
• Милисекунда: паралакс, VLBI
• Микросекунда: сателит Gaia
• Часов ъгъл: 15°/час

Наклон: процентен наклон или ъгъл. 10% наклон ≈ 5.7°. Пътното проектиране използва проценти. Геодезията използва градуси/минути/секунди. Градовата система за метрични страни.

• Наклон: % или градуси
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Геодезия: ГМС (градус-минута-секунда)
• Град: метрична геодезия

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Бързо: 180° = π rad, така че разделете/умножете по това съотношение.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (точно)
• 2π rad = 360° (точно)

ъгъл = arctan(наклон/100). 10% наклон = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Обратно: наклон = tan(ъгъл) × 100.

• θ = arctan(наклон/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Стръмен: 100% = 45°

1° = 60′ (дъг. минута). 1′ = 60″ (дъг. секунда). Общо: 1° = 3600″. Бързо подразделение за точност.

• 1° = 60 дъгови минути
• 1′ = 60 дъгови секунди
• 1° = 3600 дъгови секунди
• ГМС: градуси-минути-секунди

Пътят има 8% наклон. Какъв е ъгълът?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Сравнително лек наклон!

Навигирайте по азимут 135°. Каква е посоката на компаса?

0°=С, 90°=И, 180°=Ю, 270°=З. 135° е между И (90°) и Ю (180°). Посока: Югоизток (ЮИ).

Звезда се е преместила с 0.5 дъгови секунди. Колко градуса е това?

1″ = 1/3600°. Така че 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Малко движение!

Вавилонците са използвали шестдесетична система (основа 60). 360 има много делители (24 фактора!). Приблизително съвпада с 360-те дни в годината. Удобно за астрономия и измерване на времето. Също така се дели без остатък на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Радианът се дефинира чрез дължина на дъгата = радиус. Това прави математическия анализ красив: d/dx(sin x) = cos x (само в радиани!). В градуси, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (сложно). Природата 'използва' радианите!

Метричен ъгъл: 100 grad = прав ъгъл. Опит за въвеждане по време на Френската революция с метричната система. Никога не става популярен—градусите са твърде вкоренени. Все още се използва в някои геодезически дейности (Швейцария, Северна Европа). Калкулаторите имат режим 'grad'!

1 милисекунда ≈ ширината на човешки косъм, видян от 10 км! Космическият телескоп Hubble може да различи ~50 mas. Невероятна прецизност за астрономията. Използва се за измерване на звезден паралакс, двойни звезди.

Военна хилядна: 1 хилядна ≈ 1 м ширина на разстояние 1 км (NATO: 1.02 м, достатъчно близо). Лесна мислена математика за оценка на разстоянието. Различните страни използват различни хилядни (6000, 6300, 6400 на окръжност). Практична балистична единица!

90 = 360/4 (четвърт оборот). Но 'прав' идва от латинското 'rectus' = изправен, прав. Правият ъгъл прави перпендикулярни линии. Съществен за строителството—сградите се нуждаят от прави ъгли, за да стоят!

Вавилонците са използвали шестдесетична (основа 60) бройна система за астрономия и измерване на времето. Те са разделили окръжността на 360 части, защото 360 ≈ дни в годината (всъщност 365.25), и 360 има 24 делителя—невероятно удобно за дроби.

Тази система с основа 60 продължава и днес: 60 секунди в минута, 60 минути в час и в градус. Числото 360 се разлага на множители като 2³ × 3² × 5, делейки се без остатък на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—мечтата на всеки калкулатор!

• 2000 пр.н.е.: Вавилонските астрономи проследяват небесните позиции в градуси
• 360° е избрано заради делимостта и приблизителното съответствие с годината
• Основа 60 ни дава часове (24 = 360/15) и минути/секунди
• Гръцките астрономи приемат 360° от вавилонските таблици

„Елементи“ на Евклид (300 пр.н.е.) формализират геометрията на ъглите—прави ъгли (90°), допълващи се (сума до 90°), съседни (сума до 180°). Гръцки математици като Хипарх създават тригонометрията, използвайки таблици, базирани на градуси, за астрономия и геодезия.

Средновековните навигатори са използвали астролабия и компас с 32 точки (всяка по 11.25°). Моряците са се нуждаели от прецизни азимути; дъговите минути (1/60°) и дъговите секунди (1/3600°) се появяват за звездни каталози и морски карти.

• 300 пр.н.е.: „Елементи“ на Евклид дефинират геометричните ъгли
• 150 пр.н.е.: Хипарх създава първите тригонометрични таблици (градуси)
• 1200-те: Астролабията използва градусови маркировки за небесна навигация
• 1569: Картографската проекция на Меркатор изисква математика, запазваща ъглите

Когато Нютон и Лайбниц развиват математическия анализ (1670-те), градусите стават проблематични: d/dx(sin x) = (π/180)cos x в градуси—грозна константа! Роджър Коутс (1682-1716) и Леонард Ойлер формализират радиана: ъгъл = дължина на дъгата / радиус. Сега d/dx(sin x) = cos x е красиво.

Джеймс Томсън въвежда термина 'радиан' през 1873 г. (от латинското 'radius'). Радианът става единицата за математически анализ, физика и инженерство. Въпреки това градусите остават в ежедневието, защото хората предпочитат цели числа пред π.

• 1670-те: Математическият анализ разкрива, че градусите създават сложни формули
• 1714: Роджър Коутс разработва 'кръгова мярка' (пред-радиан)
• 1748: Ойлер използва радианите широко в анализа
• 1873: Томсън го нарича 'радиан'; става математически стандарт

Артилерията от Първата световна война изисква практични мерни единици за ъгъл: ражда се хилядната—1 хилядна ≈ 1 метър отклонение на разстояние 1 км. NATO стандартизира 6400 хилядни/окръжност (удобна степен на 2), докато СССР използва 6000 (десетично удобство). Истинският милирадиан = 6283/окръжност.

Астрономията от космическата ера достига прецизност от милисекунди (Hipparcos, 1989), а след това и микросекунди (Gaia, 2013). Gaia измерва звездния паралакс до 20 микросекунди—еквивалентно на виждането на човешки косъм от 1000 км! Съвременната физика използва радианите универсално; само навигацията и строителството все още предпочитат градусите.

• 1916: Военната артилерия приема хилядната за изчисления на обсега
• 1960: SI признава радиана като кохерентна производна единица
• 1989: Сателит Hipparcos: точност ~1 милисекунда
• 2013: Сателит Gaia: точност 20 микросекунди—картографира 1 милиард звезди

Използвайте градуси за: ежедневни ъгли, навигация, геодезия, строителство. Използвайте радиани за: математически анализ, физични уравнения, програмиране (тригонометрични функции). Радианите са 'естествени', защото дължината на дъгата = радиус × ъгъл. Производните като d/dx(sin x) = cos x работят само в радиани!

Обиколката на окръжността = 2πr. Половин окръжност (права линия) = πr. Радианът се дефинира като дължина на дъгата/радиус. За половин окръжност: дъга = πr, радиус = r, така че ъгъл = πr/r = π радиана. Следователно π rad = 180° по дефиниция.

Използвайте arctan: ъгъл = arctan(наклон/100). Пример: 10% наклон = arctan(0.1) ≈ 5.71°. НЕ просто умножавайте! 10% ≠ 10°. Обратно: наклон = tan(ъгъл) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% наклон.

Дъгова минута (′) = 1/60 от градуса (ъгъл). Минута време = 1/60 от часа (време). Напълно различни! В астрономията, 'минута време' се преобразува в ъгъл: 1 мин = 15 дъгови минути (защото 24ч = 360°, така че 1 мин = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Хилядната е проектирана така, че 1 хилядна ≈ 1 метър на 1 км (практична балистика). Истинският математически милирадиан = 1/1000 rad ≈ 6283 на окръжност. NATO го е опростило до 6400 (степен на 2, дели се лесно). СССР е използвал 6000 (дели се на 10). Швеция 6300 (компромис). Всички са близки до 2π×1000.

Да! Положителен = обратно на часовниковата стрелка (математическа конвенция). Отрицателен = по часовниковата стрелка. -90° = 270° (същата позиция, различна посока). В навигацията използвайте диапазона 0-360°. В математиката/физиката отрицателните ъгли са често срещани. Пример: -π/2 = -90° = 270°.