Leņķis mēra rotāciju vai pagriezienu starp divām līnijām. Iedomājieties durvju atvēršanu vai riteņa griešanu. Mēra grādos (°), radiānos (rad) vai grados. 360° = pilns aplis = viena pilnīga rotācija.

• Leņķis = rotācijas daudzums
• Pilns aplis = 360° = 2π rad
• Taisns leņķis = 90° = π/2 rad
• Taisna līnija = 180° = π rad

Grādi: aplis sadalīts 360 daļās (vēsturiski). Radiāni: balstīti uz apļa rādiusu. 2π radiāni = 360°. Radiāni ir 'dabiski' matemātikai/fizikai. π rad = 180°, tātad 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (pilns aplis)
• 180° = π rad (pusaplis)
• 90° = π/2 rad (taisns leņķis)
• 1 rad ≈ 57.2958° (pārveidošana)

Grads: 100 grad = 90° (metriskais leņķis). Loka minūte/sekunde: grāda apakšvienības (astronomija). Tūkstošdaļa: militārā navigācija (6400 tūkstošdaļas = aplis). Katra vienība noteiktam pielietojumam.

• Grads: 400 grad = aplis
• Loka minūte: 1′ = 1/60°
• Loka sekunde: 1″ = 1/3600°
• Tūkstošdaļa (NATO): 6400 tūkstošdaļas = aplis

360° aplī (Babilonijas izcelsme - ~360 dienas/gadā). Apakšvienības: 1° = 60′ (loka minūtes) = 3600″ (loka sekundes). Universāla navigācijai, mērniecībai, ikdienas lietošanai.

• 360° = pilns aplis
• 1° = 60 loka minūtes (′)
• 1′ = 60 loka sekundes (″)
• Viegli cilvēkiem, vēsturiski

Radiāns: loka garums = rādiuss. 2π rad = apļa apkārtmērs/rādiuss. Dabiski aprēķiniem (sin, cos atvasinājumi). Fizikas, inženierzinātņu standarts. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (precīzi)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Dabiski matemātikai/fizikai

Grads: 400 grad = aplis (metriskais leņķis). 100 grad = taisns leņķis. Tūkstošdaļa: militārā navigācija - NATO izmanto 6400 tūkstošdaļas. PSRS izmantoja 6000. Pastāv dažādi standarti.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (taisns leņķis)
• Tūkstošdaļa (NATO): 6400 aplī
• Tūkstošdaļa (PSRS): 6000 aplī

rad = grādi × π/180. grādi = rad × 180/π. grad = grādi × 10/9. Aprēķinos vienmēr izmantojiet radiānus! Trigonometriskajām funkcijām ir nepieciešami radiāni atvasinājumiem.

• rad = grādi × (π/180)
• grādi = rad × (180/π)
• grad = grādi × (10/9)
• Aprēķiniem nepieciešami radiāni

sin, cos, tan saista leņķus ar attiecībām. Vienības aplis: rādiuss=1, leņķis=θ. Punkta koordinātas: (cos θ, sin θ). Būtiski fizikai, inženierzinātnēm, grafikai.

• sin θ = pretējā katete/hipotenūza
• cos θ = piegulošā katete/hipotenūza
• tan θ = pretējā katete/piegulošā katete
• Vienības aplis: (cos θ, sin θ)

Leņķus saskaita/atņem parasti. 45° + 45° = 90°. Pilna rotācija: pieskaitiet/atņemiet 360° (vai 2π). Moduļu aritmētika 'apritei': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (parasta saskaitīšana)
• Aprite: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negatīvi leņķi: -90° = 270°

Kompasa gultņi: 0°=Ziemeļi, 90°=Austrumi, 180°=Dienvidi, 270°=Rietumi. Militāristi izmanto tūkstošdaļas precizitātei. Kompasam ir 32 punkti (katrs 11,25°). GPS izmanto decimālgrādus.

• Gultņi: 0-360° no Ziemeļiem
• NATO tūkstošdaļa: 6400 aplī
• Kompasa punkti: 32 (katrs 11,25°)
• GPS: decimālgrādi

Zvaigžņu pozīcijas: loka sekunžu precizitāte. Paralakse: miliarksekundes. Habla teleskops: ~50 mas izšķirtspēja. Gaia satelīts: mikroarksekunžu precizitāte. Stundu leņķis: 24h = 360°.

• Loka sekunde: zvaigžņu pozīcijas
• Miliarksekunde: paralakse, VLBI
• Mikroarksekunde: Gaia satelīts
• Stundu leņķis: 15°/stundā

Slīpums: procentuālais slīpums vai leņķis. 10% slīpums ≈ 5,7°. Ceļu projektēšanā izmanto procentus. Mērniecībā izmanto grādus/minūtes/sekundes. Gradu sistēma metriskajās valstīs.

• Slīpums: % vai grādi
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0.1)
• Mērniecība: GMS (grādi-minūtes-sekundes)
• Grads: metriskā mērniecība

rad = grādi × π/180. grādi = rad × 180/π. Ātri: 180° = π rad, tātad daliet/reiziniet ar šo attiecību.

• rad = grādi × 0.01745
• grādi = rad × 57.2958
• π rad = 180° (precīzi)
• 2π rad = 360° (precīzi)

leņķis = arctan(slīpums/100). 10% slīpums = arctan(0.1) ≈ 5,71°. Reversi: slīpums = tan(leņķis) × 100.

• θ = arctan(slīpums/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Stāvs: 100% = 45°

1° = 60′ (loka min.). 1′ = 60″ (loka sek.). Kopā: 1° = 3600″. Ātra apakšvienība precizitātei.

• 1° = 60 loka minūtes
• 1′ = 60 loka sekundes
• 1° = 3600 loka sekundes
• GMS: grādi-minūtes-sekundes

Ceļam ir 8% slīpums. Kāds ir leņķis?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Salīdzinoši lēzens slīpums!

Navigējiet ar 135° gultni. Kāds ir kompasa virziens?

0°=Z, 90°=A, 180°=D, 270°=R. 135° ir starp A (90°) un D (180°). Virziens: Dienvidaustrumi (DA).

Zvaigzne pārvietojās par 0.5 loka sekundēm. Cik grādu tas ir?

1″ = 1/3600°. Tātad 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Niecīga kustība!

Babilonieši izmantoja sešdesmitnieku (bāze 60) sistēmu. 360 ir daudz dalītāju (24 faktori!). Aptuveni atbilst 360 dienām gadā. Ērti astronomijai un laika uzskaitei. Dalās arī vienmērīgi ar 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radiāns ir definēts ar loka garumu = rādiuss. Tas padara aprēķinus skaistus: d/dx(sin x) = cos x (tikai radiānos!). Grādos, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (sarežģīti). Daba 'izmanto' radiānus!

Metriskais leņķis: 100 gradi = taisns leņķis. Mēģināts ieviest Franču revolūcijas laikā ar metrisko sistēmu. Nekad nekļuva populārs — grādi bija pārāk iesakņojušies. Joprojām tiek izmantots dažos mērniecības darbos (Šveice, Ziemeļeiropa). Kalkulatoriem ir 'grad' režīms!

1 miliarksekunde ≈ cilvēka mata platums, skatoties no 10 km attāluma! Habla kosmiskais teleskops var izšķirt ~50 mas. Neticama precizitāte astronomijai. Izmanto, lai mērītu zvaigžņu paralaksi, dubultzvaigznes.

Militārā tūkstošdaļa: 1 tūkstošdaļa ≈ 1 m platums 1 km attālumā (NATO: 1.02 m, pietiekami tuvu). Viegla garīgā matemātika attāluma novērtēšanai. Dažādas valstis izmanto dažādas tūkstošdaļas (6000, 6300, 6400 aplī). Praktiska ballistikas vienība!

90 = 360/4 (ceturtdaļapgrieziens). Bet 'taisns' nāk no latīņu 'rectus' = stāvs, taisns. Taisns leņķis veido perpendikulāras līnijas. Būtisks būvniecībai — ēkām ir nepieciešami taisni leņķi, lai stāvētu!

Babilonieši astronomijai un laika uzskaitei izmantoja sešdesmitnieku (bāze 60) skaitļu sistēmu. Viņi sadalīja apli 360 daļās, jo 360 ≈ dienas gadā (faktiski 365,25), un 360 ir 24 dalītāji — neticami ērti daļskaitļiem.

Šī bāzes 60 sistēma pastāv arī šodien: 60 sekundes minūtē, 60 minūtes stundā un grādā. Skaitlis 360 sadalās kā 2³ × 3² × 5, daloties vienmērīgi ar 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 — kalkulatora sapnis!

• 2000. g. p.m.ē.: Babiloniešu astronomi seko debess ķermeņu pozīcijām grādos
• 360° izvēlēts tā dalāmības un ~gada tuvinājuma dēļ
• Bāze 60 dod mums stundas (24 = 360/15) un minūtes/sekundes
• Grieķu astronomi pieņem 360° no Babilonijas tabulām

Eiklīda 'Elementi' (300. g. p.m.ē.) formalizēja leņķu ģeometriju — taisni leņķi (90°), papildinoši (summa 90°), blakusleņķi (summa 180°). Grieķu matemātiķi, piemēram, Hiparhs, izveidoja trigonometriju, izmantojot grādos balstītas tabulas astronomijai un mērniecībai.

Viduslaiku navigatori izmantoja astrolabu un kompasu ar 32 punktiem (katrs 11,25°). Jūrniekiem bija nepieciešami precīzi gultņi; loka minūtes (1/60°) un loka sekundes (1/3600°) radās zvaigžņu katalogiem un jūras kartēm.

• 300. g. p.m.ē.: Eiklīda 'Elementi' definē ģeometriskos leņķus
• 150. g. p.m.ē.: Hiparhs izveido pirmās trigonometrijas tabulas (grādos)
• 1200. gadi: Astrolabs izmanto grādu marķējumus debess navigācijai
• 1569. g.: Merkatora kartes projekcija prasa leņķus saglabājošu matemātiku

Kad Ņūtons un Leibnics attīstīja aprēķinus (1670. gados), grādi kļuva problemātiski: d/dx(sin x) = (π/180)cos x grādos — neglīta konstante! Rodžers Koutss (1682-1716) un Leonards Eilers formalizēja radiānu: leņķis = loka garums / rādiuss. Tagad d/dx(sin x) = cos x ir skaisti.

Džeimss Tomsons 1873. gadā ieviesa terminu 'radiāns' (no latīņu 'radius'). Radiāns kļuva par VIENĪBU matemātiskajai analīzei, fizikai un inženierzinātnēm. Tomēr grādi saglabājās ikdienas dzīvē, jo cilvēki dod priekšroku veseliem skaitļiem, nevis π.

• 1670. gadi: Aprēķini atklāj, ka grādi rada sarežģītas formulas
• 1714. g.: Rodžers Koutss attīsta 'apļa mēru' (pirmsradiāns)
• 1748. g.: Eilers plaši izmanto radiānus analīzē
• 1873. g.: Tomsons to nosauc par 'radiānu'; kļūst par matemātikas standartu

Pirmā pasaules kara artilērija prasīja praktiskas leņķa mērvienības: radās tūkstošdaļa — 1 tūkstošdaļa ≈ 1 metra novirze 1 km attālumā. NATO standartizēja 6400 tūkstošdaļas/aplī (jauka 2 pakāpe), kamēr PSRS izmantoja 6000 (decimāla ērtība). Patiesais miliradiāns = 6283/aplī.

Kosmosa ēras astronomija sasniedza miliarksekunžu precizitāti (Hipparcos, 1989), pēc tam mikroarksekundes (Gaia, 2013). Gaia mēra zvaigžņu paralaksi ar 20 mikroarksekunžu precizitāti — līdzvērtīgi cilvēka mata redzēšanai no 1000 km attāluma! Mūsdienu fizika universāli izmanto radiānus; tikai navigācija un būvniecība joprojām dod priekšroku grādiem.

• 1916. g.: Militārā artilērija pieņem tūkstošdaļu attāluma aprēķiniem
• 1960. g.: SI atzīst radiānu par koherentu atvasināto vienību
• 1989. g.: Hipparcos satelīts: ~1 miliarksekundes precizitāte
• 2013. g.: Gaia satelīts: 20 mikroarksekunžu precizitāte — kartē 1 miljardu zvaigžņu

Izmantojiet grādus: ikdienas leņķiem, navigācijai, mērniecībai, būvniecībai. Izmantojiet radiānus: aprēķiniem, fizikas vienādojumiem, programmēšanai (trigonometriskās funkcijas). Radiāni ir 'dabiski', jo loka garums = rādiuss × leņķis. Atvasinājumi, piemēram, d/dx(sin x) = cos x, darbojas tikai radiānos!

Apļa apkārtmērs = 2πr. Pusaplis (taisna līnija) = πr. Radiāns ir definēts kā loka garums/rādiuss. Pusaplim: loks = πr, rādiuss = r, tātad leņķis = πr/r = π radiāni. Tāpēc π rad = 180° pēc definīcijas.

Izmantojiet arctan: leņķis = arctan(slīpums/100). Piemērs: 10% slīpums = arctan(0.1) ≈ 5.71°. NE tikai reiziniet! 10% ≠ 10°. Reversi: slīpums = tan(leņķis) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% slīpums.

Loka minūte (′) = 1/60 no grāda (leņķis). Laika minūte = 1/60 no stundas (laiks). Pilnīgi atšķirīgi! Astronomijā 'laika minūte' tiek pārvērsta leņķī: 1 min = 15 loka minūtes (jo 24h = 360°, tātad 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Tūkstošdaļa tika izstrādāta tā, lai 1 tūkstošdaļa ≈ 1 metrs 1 km attālumā (praktiskā ballistika). Patiesais matemātiskais miliradiāns = 1/1000 rad ≈ 6283 aplī. NATO to vienkāršoja līdz 6400 (2 pakāpe, labi dalās). PSRS izmantoja 6000 (dalās ar 10). Zviedrija 6300 (kompromiss). Visi ir tuvu 2π×1000.

Jā! Pozitīvs = pretēji pulksteņrādītāja virzienam (matemātikas konvencija). Negatīvs = pulksteņrādītāja virzienā. -90° = 270° (tā pati pozīcija, atšķirīgs virziens). Navigācijā izmantojiet diapazonu 0-360°. Matemātikā/fizikā negatīvi leņķi ir bieži. Piemērs: -π/2 = -90° = 270°.