Kut mjeri rotaciju ili okret između dvije linije. Zamislite otvaranje vrata ili okretanje kotača. Mjeri se u stupnjevima (°), radijanima (rad) ili gradijanima. 360° = puni krug = jedna potpuna rotacija.

• Kut = količina rotacije
• Puni krug = 360° = 2π rad
• Pravi kut = 90° = π/2 rad
• Pruženi kut = 180° = π rad

Stupnjevi: krug podijeljen na 360 dijelova (povijesno). Radijani: bazirani na radijusu kruga. 2π radijana = 360°. Radijani su 'prirodni' za matematiku/fiziku. π rad = 180°, pa je 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (puni krug)
• 180° = π rad (pola kruga)
• 90° = π/2 rad (pravi kut)
• 1 rad ≈ 57,2958° (pretvorba)

Gradijan: 100 grad = 90° (metrički kut). Lučna minuta/sekunda: podjele stupnja (astronomija). Tisućiti: vojna navigacija (6400 tisućitih = krug). Svaka jedinica za specifičnu primjenu.

• Gradijan: 400 grad = krug
• Lučna minuta: 1′ = 1/60°
• Lučna sekunda: 1″ = 1/3600°
• Tisućiti (NATO): 6400 tisućitih = krug

360° po krugu (babilonsko podrijetlo - ~360 dana/godini). Podijeljen: 1° = 60′ (lučnih minuta) = 3600″ (lučnih sekundi). Univerzalno za navigaciju, geodeziju, svakodnevnu upotrebu.

• 360° = puni krug
• 1° = 60 lučnih minuta (′)
• 1′ = 60 lučnih sekundi (″)
• Lako za ljude, povijesno

Radijan: duljina luka = radijus. 2π rad = opseg kruga/radijus. Prirodno za račun (derivacije sin, cos). Standard u fizici, inženjerstvu. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (točno)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Prirodno za matematiku/fiziku

Gradijan: 400 grad = krug (metrički kut). 100 grad = pravi kut. Tisućiti: vojna navigacija - NATO koristi 6400 tisućitih. SSSR je koristio 6000. Postoje različiti standardi.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (pravi kut)
• Tisućiti (NATO): 6400 po krugu
• Tisućiti (SSSR): 6000 po krugu

rad = stupanj × π/180. stupanj = rad × 180/π. grad = stupanj × 10/9. Uvijek koristite radijane u računu! Trigonometrijske funkcije trebaju radijane za derivacije.

• rad = stupanj × (π/180)
• stupanj = rad × (180/π)
• grad = stupanj × (10/9)
• Račun zahtijeva radijane

sin, cos, tan povezuju kutove s omjerima. Jedinična kružnica: radijus=1, kut=θ. Koordinate točke: (cos θ, sin θ). Osnovno za fiziku, inženjerstvo, grafiku.

• sin θ = nasuprotna kateta/hipotenuza
• cos θ = priležeća kateta/hipotenuza
• tan θ = nasuprotna kateta/priležeća kateta
• Jedinična kružnica: (cos θ, sin θ)

Kutovi se zbrajaju/oduzimaju normalno. 45° + 45° = 90°. Puna rotacija: dodajte/oduzmite 360° (ili 2π). Modularna aritmetika za 'prelamanje': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normalno zbrajanje)
• Prelamanje: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negativni kutovi: -90° = 270°

Kompasni smjerovi: 0°=Sjever, 90°=Istok, 180°=Jug, 270°=Zapad. Vojska koristi tisućite za preciznost. Kompas ima 32 točke (svaka 11,25°). GPS koristi decimalne stupnjeve.

• Smjerovi: 0-360° od Sjevera
• NATO tisućiti: 6400 po krugu
• Točke kompasa: 32 (svaka 11,25°)
• GPS: decimalni stupnjevi

Položaji zvijezda: preciznost lučnih sekundi. Paralalaksa: miliarksekunde. Hubble: ~50 mas rezolucija. Satelit Gaia: preciznost mikroarksekundi. Satni kut: 24h = 360°.

• Lučna sekunda: položaji zvijezda
• Miliarksekunda: paralaksa, VLBI
• Mikroarksekunda: satelit Gaia
• Satni kut: 15°/sat

Nagib: postotak nagiba ili kut. 10% nagib ≈ 5,7°. Dizajn cesta koristi postotak. Geodezija koristi stupnjeve/minute/sekunde. Gradijanski sustav za metričke zemlje.

• Nagib: % ili stupnjevi
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Geodezija: DMS (stupanj-minuta-sekunda)
• Gradijan: metrička geodezija

rad = stupanj × π/180. stupanj = rad × 180/π. Brzo: 180° = π rad, pa podijelite/pomnožite ovim omjerom.

• rad = stupanj × 0,01745
• stupanj = rad × 57,2958
• π rad = 180° (točno)
• 2π rad = 360° (točno)

kut = arctan(nagib/100). 10% nagib = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Obrnuto: nagib = tan(kut) × 100.

• θ = arctan(nagib/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Strmo: 100% = 45°

1° = 60′ (lučna minuta). 1′ = 60″ (lučna sekunda). Ukupno: 1° = 3600″. Brza podjela za preciznost.

• 1° = 60 lučnih minuta
• 1′ = 60 lučnih sekundi
• 1° = 3600 lučnih sekundi
• DMS: stupnjevi-minute-sekunde

Cesta ima nagib od 8%. Koliki je kut?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Relativno blag nagib!

Navigirajte smjerom od 135°. Koji je to smjer na kompasu?

0°=S, 90°=I, 180°=J, 270°=Z. 135° je između I (90°) i J (180°). Smjer: Jugoistok (JI).

Zvijezda se pomaknula za 0,5 lučnih sekundi. Koliko je to stupnjeva?

1″ = 1/3600°. Dakle 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Sićušan pokret!

Babilonci su koristili seksagezimalni sustav (baza 60). 360 ima mnogo djelitelja (24 faktora!). Približno odgovara 360 dana u godini. Pogodno za astronomiju i mjerenje vremena. Također se dijeli bez ostatka s 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radijan je definiran kao duljina luka = radijus. To čini račun prelijepim: d/dx(sin x) = cos x (samo u radijanima!). U stupnjevima, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (zbrkano). Priroda 'koristi' radijane!

Metrički kut: 100 grad = pravi kut. Pokušan tijekom Francuske revolucije s metričkim sustavom. Nikada nije postao popularan—stupnjevi su bili previše ukorijenjeni. Još uvijek se koristi u nekim geodetskim poslovima (Švicarska, sjeverna Europa). Kalkulatori imaju 'grad' način rada!

1 miliarksekunda ≈ širina ljudske vlasi promatrane s 10 km udaljenosti! Svemirski teleskop Hubble može razlučiti ~50 mas. Nevjerojatna preciznost za astronomiju. Koristi se za mjerenje zvjezdane paralakse, dvojnih zvijezda.

Vojni tisućiti: 1 tisućiti ≈ 1 m širine na 1 km udaljenosti (NATO: 1,02 m, dovoljno blizu). Laka mentalna matematika za procjenu dometa. Različite zemlje koriste različite tisućite (6000, 6300, 6400 po krugu). Praktična balistička jedinica!

90 = 360/4 (četvrtina okreta). Ali 'pravi' dolazi od latinskog 'rectus' = uspravan, ravan. Pravi kut stvara okomite linije. Osnovno za gradnju—zgradama su potrebni pravi kutovi da bi stajale!

Babilonci su koristili seksagezimalni (baza 60) brojevni sustav za astronomiju i mjerenje vremena. Podijelili su krug na 360 dijelova jer 360 ≈ dana u godini (zapravo 365,25), a 360 ima 24 djelitelja—nevjerojatno pogodno za razlomke.

Ovaj sustav s bazom 60 opstaje i danas: 60 sekundi u minuti, 60 minuta u satu i u stupnju. Broj 360 se faktorizira kao 2³ × 3² × 5, dijeleći se bez ostatka s 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—san svakog kalkulatora!

• 2000. pr. Kr.: Babilonski astronomi prate nebeske položaje u stupnjevima
• 360° izabrano zbog djeljivosti i ~godišnje aproksimacije
• Baza 60 nam daje sate (24 = 360/15) i minute/sekunde
• Grčki astronomi usvajaju 360° iz babilonskih tablica

Euklidovi 'Elementi' (300. pr. Kr.) su formalizirali geometriju kutova—pravi kutovi (90°), komplementarni (zbroj 90°), suplementarni (zbroj 180°). Grčki matematičari poput Hiparha stvorili su trigonometriju koristeći tablice zasnovane na stupnjevima za astronomiju i geodeziju.

Srednjovjekovni navigatori su koristili astrolab i kompas s 32 točke (svaka 11,25°). Pomorcima su bili potrebni precizni smjerovi; lučne minute (1/60°) i lučne sekunde (1/3600°) su se pojavile za zvjezdane kataloge i pomorske karte.

• 300. pr. Kr.: Euklidovi 'Elementi' definiraju geometrijske kutove
• 150. pr. Kr.: Hiparh stvara prve trigonometrijske tablice (stupnjevi)
• 1200-te: Astrolab koristi oznake u stupnjevima za nebesku navigaciju
• 1569.: Mercatorova projekcija karte zahtijeva matematiku koja čuva kutove

Kako su Newton i Leibniz razvijali račun (1670-ih), stupnjevi su postali problematični: d/dx(sin x) = (π/180)cos x u stupnjevima—ružna konstanta! Roger Cotes (1682.-1716.) i Leonhard Euler su formalizirali radijan: kut = duljina luka / radijus. Sada je d/dx(sin x) = cos x prelijepo.

James Thomson je skovao termin 'radijan' 1873. (od latinskog 'radius'). Radijan je postao JEDINICA za matematičku analizu, fiziku i inženjerstvo. Ipak, stupnjevi su opstali u svakodnevnom životu jer ljudi preferiraju cijele brojeve u odnosu na π.

• 1670-ih: Račun otkriva da stupnjevi stvaraju zbrkane formule
• 1714.: Roger Cotes razvija 'kružnu mjeru' (pre-radijan)
• 1748.: Euler koristi radijane ekstenzivno u analizi
• 1873.: Thomson ga naziva 'radijan'; postaje matematički standard

Topništvo Prvog svjetskog rata zahtijevalo je praktične kutne jedinice: rođen je tisućiti—1 tisućiti ≈ 1 metar odstupanja na 1 km udaljenosti. NATO je standardizirao 6400 tisućitih/krugu (lijepa potencija broja 2), dok je SSSR koristio 6000 (decimalna pogodnost). Pravi miliradijan = 6283/krugu.

Astronomija svemirskog doba postigla je preciznost miliarksekundi (Hipparcos, 1989.), a zatim mikroarksekundi (Gaia, 2013.). Gaia mjeri zvjezdanu paralaksu do 20 mikroarksekundi—ekvivalentno gledanju ljudske vlasi s udaljenosti od 1.000 km! Moderna fizika koristi radijane univerzalno; samo navigacija i građevinarstvo još uvijek preferiraju stupnjeve.

• 1916.: Vojno topništvo usvaja tisućiti za proračune dometa
• 1960.: SI priznaje radijan kao koherentnu izvedenu jedinicu
• 1989.: Satelit Hipparcos: ~1 miliarksekunda preciznosti
• 2013.: Satelit Gaia: 20 mikroarksekundi preciznosti—mapira 1 milijardu zvijezda

Koristite stupnjeve za: svakodnevne kutove, navigaciju, geodeziju, gradnju. Koristite radijane za: račun, fizičke jednadžbe, programiranje (trigonometrijske funkcije). Radijani su 'prirodni' jer je duljina luka = radijus × kut. Derivacije poput d/dx(sin x) = cos x rade samo u radijanima!

Opseg kruga = 2πr. Pola kruga (ravna crta) = πr. Radijan je definiran kao duljina luka/radijus. Za pola kruga: luk = πr, radijus = r, pa je kut = πr/r = π radijana. Stoga, π rad = 180° po definiciji.

Koristite arctan: kut = arctan(nagib/100). Primjer: 10% nagib = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NE samo množiti! 10% ≠ 10°. Obrnuto: nagib = tan(kut) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% nagib.

Lučna minuta (′) = 1/60 stupnja (kut). Minuta vremena = 1/60 sata (vrijeme). Potpuno različito! U astronomiji, 'minuta vremena' se pretvara u kut: 1 min = 15 lučnih minuta (jer 24h = 360°, pa 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Tisućiti je dizajniran tako da je 1 tisućiti ≈ 1 metar na 1 km (praktična balistika). Pravi matematički miliradijan = 1/1000 rad ≈ 6283 po krugu. NATO je pojednostavio na 6400 (potencija broja 2, lijepo se dijeli). SSSR je koristio 6000 (dijeli se s 10). Švedska 6300 (kompromis). Svi su blizu 2π×1000.

Da! Pozitivno = suprotno od smjera kazaljke na satu (matematička konvencija). Negativno = u smjeru kazaljke na satu. -90° = 270° (isti položaj, različit smjer). U navigaciji, koristite opseg 0-360°. U matematici/fizici, negativni kutovi su uobičajeni. Primjer: -π/2 = -90° = 270°.