Un angle mesure la rotation ou le tour entre deux lignes. Pensez à l'ouverture d'une porte ou au tour d'une roue. Il se mesure en degrés (°), radians (rad) ou grades. 360° = cercle complet = une rotation complète.

• Angle = quantité de rotation
• Cercle complet = 360° = 2π rad
• Angle droit = 90° = π/2 rad
• Ligne droite = 180° = π rad

Degrés : cercle divisé en 360 parties (historique). Radians : basé sur le rayon du cercle. 2π radians = 360°. Les radians sont 'naturels' pour les mathématiques/la physique. π rad = 180°, donc 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (cercle complet)
• 180° = π rad (demi-cercle)
• 90° = π/2 rad (angle droit)
• 1 rad ≈ 57,2958° (conversion)

Grade : 100 grad = 90° (angle métrique). Minute/seconde d'arc : subdivisions du degré (astronomie). Millième : navigation militaire (6400 millièmes = cercle). Chaque unité a une application spécifique.

• Grade : 400 grad = cercle
• Minute d'arc : 1′ = 1/60°
• Seconde d'arc : 1″ = 1/3600°
• Millième (OTAN) : 6400 millièmes = cercle

360° par cercle (origine babylonienne - ~360 jours/an). Subdivisé : 1° = 60′ (minutes d'arc) = 3600″ (secondes d'arc). Universel pour la navigation, l'arpentage, l'usage quotidien.

• 360° = cercle complet
• 1° = 60 minutes d'arc (′)
• 1′ = 60 secondes d'arc (″)
• Facile pour les humains, historique

Radian : longueur de l'arc = rayon. 2π rad = circonférence du cercle/rayon. Naturel pour le calcul (dérivées de sin, cos). Standard en physique, ingénierie. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exact)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Naturel pour les mathématiques/la physique

Grade : 400 grad = cercle (angle métrique). 100 grad = angle droit. Millième : navigation militaire - l'OTAN utilise 6400 millièmes. L'URSS en utilisait 6000. Il existe différentes normes.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (angle droit)
• Millième (OTAN) : 6400 par cercle
• Millième (URSS) : 6000 par cercle

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Utilisez toujours les radians en calcul ! Les fonctions trigonométriques ont besoin de radians pour les dérivées.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Le calcul nécessite des radians

sin, cos, tan relient les angles à des rapports. Cercle unité : rayon=1, angle=θ. Coordonnées du point : (cos θ, sin θ). Essentiel pour la physique, l'ingénierie, les graphiques.

• sin θ = opposé/hypoténuse
• cos θ = adjacent/hypoténuse
• tan θ = opposé/adjacent
• Cercle unité : (cos θ, sin θ)

Les angles s'additionnent/se soustraient normalement. 45° + 45° = 90°. Rotation complète : ajoutez/soustrayez 360° (ou 2π). Arithmétique modulaire pour le 'bouclage' : 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (addition normale)
• Bouclage : θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Angles négatifs : -90° = 270°

Relèvements au compas : 0°=Nord, 90°=Est, 180°=Sud, 270°=Ouest. Les militaires utilisent les millièmes pour la précision. Le compas a 32 points (11,25° chacun). Le GPS utilise des degrés décimaux.

• Relèvements : 0-360° depuis le Nord
• Millième OTAN : 6400 par cercle
• Points du compas : 32 (11,25° chacun)
• GPS : degrés décimaux

Positions des étoiles : précision en secondes d'arc. Parallaxe : millisecondes d'arc. Hubble : résolution ~50 mas. Satellite Gaia : précision en microsecondes d'arc. Angle horaire : 24h = 360°.

• Seconde d'arc : positions des étoiles
• Milliseconde d'arc : parallaxe, VLBI
• Microseconde d'arc : satellite Gaia
• Angle horaire : 15°/heure

Pente : pourcentage de pente ou angle. 10 % de pente ≈ 5,7°. La conception des routes utilise des pourcentages. L'arpentage utilise des degrés/minutes/secondes. Le système des grades pour les pays métriques.

• Pente : % ou degrés
• 10 % ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Arpentage : DMS (degré-minute-seconde)
• Grade : arpentage métrique

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Rapide : 180° = π rad, donc divisez/multipliez par ce rapport.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (exact)
• 2π rad = 360° (exact)

angle = arctan(pente/100). 10 % de pente = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Inverse : pente = tan(angle) × 100.

• θ = arctan(pente/100)
• 10 % → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100 %
• Raide : 100 % = 45°

1° = 60′ (minute d'arc). 1′ = 60″ (seconde d'arc). Total : 1° = 3600″. Subdivision rapide pour la précision.

• 1° = 60 minutes d'arc
• 1′ = 60 secondes d'arc
• 1° = 3600 secondes d'arc
• DMS : degrés-minutes-secondes

Une route a une pente de 8 %. Quel est l'angle ?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Une pente relativement douce !

Naviguez à un relèvement de 135°. Quelle est la direction du compas ?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=O. 135° est entre l'Est (90°) et le Sud (180°). Direction : Sud-Est (SE).

Une étoile s'est déplacée de 0,5 seconde d'arc. Combien de degrés cela fait-il ?

1″ = 1/3600°. Donc 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Un mouvement minuscule !

Les Babyloniens utilisaient un système sexagésimal (base 60). 360 a de nombreux diviseurs (24 facteurs !). Il correspond approximativement aux 360 jours de l'année. Pratique pour l'astronomie et la mesure du temps. Il se divise également de manière égale par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Le radian est défini par la longueur de l'arc = rayon. Cela rend le calcul élégant : d/dx(sin x) = cos x (uniquement en radians !). En degrés, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (compliqué). La nature 'utilise' les radians !

Angle métrique : 100 grades = angle droit. Il a été tenté pendant la Révolution française avec le système métrique. Jamais populaire — les degrés étaient trop ancrés. Encore utilisé dans certains travaux d'arpentage (Suisse, Europe du Nord). Les calculatrices ont un mode 'grad' !

1 milliseconde d'arc ≈ la largeur d'un cheveu humain vu à 10 km de distance ! Le télescope spatial Hubble peut résoudre ~50 mas. Une précision incroyable pour l'astronomie. Utilisé pour mesurer la parallaxe stellaire, les étoiles binaires.

Millième militaire : 1 millième ≈ 1 m de largeur à 1 km de distance (OTAN : 1,02 m, assez proche). Calcul mental facile pour l'estimation de la portée. Différents pays utilisent différents millièmes (6000, 6300, 6400 par cercle). Unité balistique pratique !

90 = 360/4 (quart de tour). Mais 'droit' vient du latin 'rectus' = debout, droit. Un angle droit forme des lignes perpendiculaires. Essentiel pour la construction — les bâtiments ont besoin d'angles droits pour tenir debout !

Les Babyloniens utilisaient un système numérique sexagésimal (base 60) pour l'astronomie et la mesure du temps. Ils ont divisé le cercle en 360 parties parce que 360 ≈ jours dans une année (en fait 365,25), et 360 a 24 diviseurs — incroyablement pratique pour les fractions.

Ce système en base 60 persiste aujourd'hui : 60 secondes par minute, 60 minutes par heure et par degré. Le nombre 360 se factorise en 2³ × 3² × 5, se divisant de manière égale par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 — le rêve d'un calculateur !

• 2000 av. J.-C. : Les astronomes babyloniens suivent les positions célestes en degrés
• 360° choisi pour sa divisibilité et son approximation de l'année
• La base 60 nous donne les heures (24 = 360/15) et les minutes/secondes
• Les astronomes grecs adoptent le 360° des tables babyloniennes

Les Éléments d'Euclide (300 av. J.-C.) ont formalisé la géométrie des angles — angles droits (90°), complémentaires (somme de 90°), supplémentaires (somme de 180°). Des mathématiciens grecs comme Hipparque ont créé la trigonométrie en utilisant des tables basées sur les degrés pour l'astronomie et l'arpentage.

Les navigateurs médiévaux utilisaient l'astrolabe et le compas avec 32 points (chacun de 11,25°). Les marins avaient besoin de relèvements précis ; les minutes d'arc (1/60°) et les secondes d'arc (1/3600°) sont apparues pour les catalogues d'étoiles et les cartes marines.

• 300 av. J.-C. : Les Éléments d'Euclide définissent les angles géométriques
• 150 av. J.-C. : Hipparque crée les premières tables trigonométriques (degrés)
• Années 1200 : L'astrolabe utilise des marques en degrés pour la navigation céleste
• 1569 : La projection de Mercator nécessite des mathématiques conservant les angles

Alors que Newton et Leibniz développaient le calcul (années 1670), les degrés sont devenus problématiques : d/dx(sin x) = (π/180)cos x en degrés — une constante laide ! Roger Cotes (1682-1716) et Leonhard Euler ont formalisé le radian : angle = longueur de l'arc / rayon. Maintenant, d/dx(sin x) = cos x est magnifique.

James Thomson a inventé le terme 'radian' en 1873 (du latin 'radius'). Le radian est devenu L'UNITÉ pour l'analyse mathématique, la physique et l'ingénierie. Pourtant, les degrés ont persisté dans la vie quotidienne parce que les humains préfèrent les nombres entiers à π.

• Années 1670 : Le calcul révèle que les degrés créent des formules compliquées
• 1714 : Roger Cotes développe la 'mesure circulaire' (pré-radian)
• 1748 : Euler utilise abondamment les radians en analyse
• 1873 : Thomson le nomme 'radian' ; devient la norme mathématique

L'artillerie de la Première Guerre mondiale exigeait des unités d'angle pratiques : le millième est né — 1 millième ≈ 1 mètre de déviation à 1 km de distance. L'OTAN a normalisé 6400 millièmes/cercle (une belle puissance de 2), tandis que l'URSS en utilisait 6000 (commodité décimale). Le vrai milliradian = 6283/cercle.

L'astronomie de l'ère spatiale a atteint une précision de la milliseconde d'arc (Hipparcos, 1989), puis de la microseconde d'arc (Gaia, 2013). Gaia mesure la parallaxe stellaire à 20 microsecondes d'arc près — l'équivalent de voir un cheveu humain à 1 000 km de distance ! La physique moderne utilise les radians universellement ; seules la navigation et la construction privilégient encore les degrés.

• 1916 : L'artillerie militaire adopte le millième pour les calculs de portée
• 1960 : Le SI reconnaît le radian comme une unité dérivée cohérente
• 1989 : Satellite Hipparcos : précision de ~1 milliseconde d'arc
• 2013 : Satellite Gaia : précision de 20 microsecondes d'arc — cartographie 1 milliard d'étoiles

Utilisez les degrés pour : les angles quotidiens, la navigation, l'arpentage, la construction. Utilisez les radians pour : le calcul, les équations de physique, la programmation (fonctions trigonométriques). Les radians sont 'naturels' car la longueur de l'arc = rayon × angle. Les dérivées comme d/dx(sin x) = cos x ne fonctionnent qu'en radians !

La circonférence du cercle = 2πr. Un demi-cercle (ligne droite) = πr. Le radian est défini comme longueur de l'arc/rayon. Pour un demi-cercle : arc = πr, rayon = r, donc angle = πr/r = π radians. Par conséquent, π rad = 180° par définition.

Utilisez arctan : angle = arctan(pente/100). Exemple : 10 % de pente = arctan(0,1) ≈ 5,71°. PAS seulement multiplier ! 10 % ≠ 10°. Inverse : pente = tan(angle) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100 % de pente.

Une minute d'arc (′) = 1/60 de degré (angle). Une minute de temps = 1/60 d'heure (temps). Complètement différents ! En astronomie, une 'minute de temps' se convertit en angle : 1 min = 15 minutes d'arc (car 24h = 360°, donc 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Le millième a été conçu pour que 1 millième ≈ 1 mètre à 1 km (balistique pratique). Le vrai milliradian mathématique = 1/1000 rad ≈ 6283 par cercle. L'OTAN a simplifié à 6400 (puissance de 2, se divise bien). L'URSS a utilisé 6000 (divisible par 10). La Suède 6300 (compromis). Tous sont proches de 2π×1000.

Oui ! Positif = sens antihoraire (convention mathématique). Négatif = sens horaire. -90° = 270° (même position, direction différente). En navigation, utilisez la plage 0-360°. En mathématiques/physique, les angles négatifs sont courants. Exemple : -π/2 = -90° = 270°.