Kampas matuoja pasisukimą arba posūkį tarp dviejų linijų. Įsivaizduokite atidaromas duris arba besisukantį ratą. Matuojamas laipsniais (°), radianais (rad) arba gradais. 360° = pilnas apskritimas = vienas pilnas apsisukimas.

• Kampas = pasisukimo dydis
• Pilnas apskritimas = 360° = 2π rad
• Statusis kampas = 90° = π/2 rad
• Ištiestinis kampas = 180° = π rad

Laipsniai: apskritimas padalintas į 360 dalių (istoriškai). Radianai: paremti apskritimo spinduliu. 2π radianų = 360°. Radianai yra „natūralūs“ matematikai/fizikai. π rad = 180°, taigi 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (pilnas apskritimas)
• 180° = π rad (pusė apskritimo)
• 90° = π/2 rad (statusis kampas)
• 1 rad ≈ 57,2958° (perskaičiavimas)

Gradas: 100 grad = 90° (metrinis kampas). Lanko minutė/sekundė: laipsnio dalys (astronomija). Tūkstantoji: karinė navigacija (6400 tūkstantųjų = apskritimas). Kiekvienas vienetas skirtas konkrečiai sričiai.

• Gradas: 400 grad = apskritimas
• Lanko minutė: 1′ = 1/60°
• Lanko sekundė: 1″ = 1/3600°
• Tūkstantoji (NATO): 6400 tūkst. = apskritimas

360° per apskritimą (babiloniečių kilmė - ~360 dienų/metus). Skirstoma: 1° = 60′ (lanko minučių) = 3600″ (lanko sekundžių). Universali navigacijoje, geodezijoje, kasdieniame gyvenime.

• 360° = pilnas apskritimas
• 1° = 60 lanko minučių (′)
• 1′ = 60 lanko sekundžių (″)
• Lengva žmonėms, istoriška

Radianas: lanko ilgis = spindulys. 2π rad = apskritimo ilgis/spindulys. Natūrali diferencialiniam skaičiavimui (sin, cos išvestinės). Fizikos, inžinerijos standartas. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (tiksliai)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Natūrali matematikai/fizikai

Gradas: 400 grad = apskritimas (metrinis kampas). 100 grad = statusis kampas. Tūkstantoji: karinė navigacija - NATO naudoja 6400 tūkstantųjų. SSRS naudojo 6000. Egzistuoja skirtingi standartai.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (statusis kampas)
• Tūkstantoji (NATO): 6400 per apskritimą
• Tūkstantoji (SSRS): 6000 per apskritimą

rad = laipsniai × π/180. laipsniai = rad × 180/π. grad = laipsniai × 10/9. Diferencialiniame skaičiavime visada naudokite radianus! Trigonometrinėms funkcijoms reikia radianų išvestinėms.

• rad = laipsniai × (π/180)
• laipsniai = rad × (180/π)
• grad = laipsniai × (10/9)
• Diferencialiniam skaičiavimui reikia radianų

sin, cos, tan susieja kampus su santykiais. Vienetinis apskritimas: spindulys=1, kampas=θ. Taško koordinatės: (cos θ, sin θ). Būtina fizikoje, inžinerijoje, grafikoje.

• sin θ = statinis prieš kampą/įžambinė
• cos θ = statinis prie kampo/įžambinė
• tan θ = statinis prieš kampą/statinis prie kampo
• Vienetinis apskritimas: (cos θ, sin θ)

Kampai sudedami/atimami įprastai. 45° + 45° = 90°. Pilnas apsisukimas: pridėkite/atimkite 360° (arba 2π). Modulinė aritmetika apsisukimui: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (įprasta sudėtis)
• Apsisukimas: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Neigiami kampai: -90° = 270°

Kompaso azimutai: 0°=Šiaurė, 90°=Rytai, 180°=Pietūs, 270°=Vakarai. Kariuomenė naudoja tūkstantąsias tikslumui. Kompasas turi 32 rumbus (po 11,25°). GPS naudoja dešimtainius laipsnius.

• Azimutai: 0-360° nuo Šiaurės
• NATO tūkstantoji: 6400 per apskritimą
• Kompaso rumbai: 32 (po 11,25°)
• GPS: dešimtainiai laipsniai

Žvaigždžių pozicijos: lanko sekundžių tikslumas. Paralaksas: milisekundės. Hubble: ~50 mas rezoliucija. Gaia palydovas: mikroarksekundžių tikslumas. Valandinis kampas: 24h = 360°.

• Lanko sekundė: žvaigždžių pozicijos
• Milisekundė: paralaksas, VLBI
• Mikroarksekundė: Gaia palydovas
• Valandinis kampas: 15°/valandą

Nuolydis: procentinis nuolydis arba kampas. 10% nuolydis ≈ 5,7°. Kelių projektavime naudojami procentai. Geodezijoje naudojami laipsniai/minutės/sekundės. Gradų sistema metrinėse šalyse.

• Nuolydis: % arba laipsniai
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0.1)
• Geodezija: LMS (laipsniai-minutės-sekundės)
• Gradas: metrinė geodezija

rad = laipsniai × π/180. laipsniai = rad × 180/π. Greitai: 180° = π rad, taigi padalinkite/padauginkite iš šio santykio.

• rad = laipsniai × 0,01745
• laipsniai = rad × 57,2958
• π rad = 180° (tiksliai)
• 2π rad = 360° (tiksliai)

kampas = arctan(nuolydis/100). 10% nuolydis = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Atvirkščiai: nuolydis = tan(kampas) × 100.

• θ = arctan(nuolydis/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Status: 100% = 45°

1° = 60′ (lanko minutė). 1′ = 60″ (lanko sekundė). Iš viso: 1° = 3600″. Greitas padalijimas tikslumui.

• 1° = 60 lanko minučių
• 1′ = 60 lanko sekundžių
• 1° = 3600 lanko sekundžių
• LMS: laipsniai-minutės-sekundės

Kelias turi 8% nuolydį. Koks kampas?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Gana švelnus nuolydis!

Naviguokite 135° azimutu. Kokia tai kompaso kryptis?

0°=Š, 90°=R, 180°=P, 270°=V. 135° yra tarp R (90°) ir P (180°). Kryptis: Pietryčiai (PR).

Žvaigždė pasislinko 0,5 lanko sekundės. Kiek tai laipsnių?

1″ = 1/3600°. Taigi 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Mažytis judesys!

Babiloniečiai naudojo šešiasdešimtainę (pagrindas 60) sistemą. 360 turi daug daliklių (24 faktoriai!). Apytiksliai atitinka 360 dienų per metus. Patogu astronomijai ir laiko skaičiavimui. Taip pat dalijasi be liekanos iš 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radianas apibrėžiamas pagal lanko ilgį = spindulys. Tai daro diferencialinį skaičiavimą gražų: d/dx(sin x) = cos x (tik radianais!). Laipsniais, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (netvarkinga). Gamta „naudoja“ radianus!

Metrinis kampas: 100 gradų = statusis kampas. Bandyta įvesti per Prancūzijos revoliuciją su metrine sistema. Niekada neprigijo – laipsniai buvo per daug įsitvirtinę. Vis dar naudojama kai kuriose geodezijos srityse (Šveicarija, Šiaurės Europa). Skaičiuotuvai turi „grad“ režimą!

1 milisekundė ≈ žmogaus plauko plotis, žiūrint iš 10 km atstumo! Hubble kosminis teleskopas gali atskirti ~50 mas. Neįtikėtinas tikslumas astronomijai. Naudojama žvaigždžių paralaksui, dvinarėms žvaigždėms matuoti.

Karinė tūkstantoji: 1 tūkstantoji ≈ 1 m plotis 1 km atstumu (NATO: 1,02 m, pakankamai artima). Lengva mintinai apskaičiuoti nuotolį. Skirtingos šalys naudoja skirtingas tūkstantąsias (6000, 6300, 6400 per apskritimą). Praktinis balistinis vienetas!

90 = 360/4 (ketvirtis apsisukimo). Bet 'statusis' kilęs iš lotynų kalbos žodžio 'rectus' = stačias, tiesus. Statusis kampas sudaro statmenas linijas. Būtinas statybose – pastatams reikia stačių kampų, kad stovėtų!

Babiloniečiai naudojo šešiasdešimtainę (pagrindas 60) skaičiavimo sistemą astronomijai ir laiko skaičiavimui. Jie padalijo apskritimą į 360 dalių, nes 360 ≈ dienų skaičius per metus (iš tikrųjų 365,25), ir 360 turi 24 daliklius – neįtikėtinai patogu trupmenoms.

Ši 60-ainė sistema išliko iki šių dienų: 60 sekundžių per minutę, 60 minučių per valandą ir per laipsnį. Skaičius 360 dalijasi į 2³ × 3² × 5, be liekanos dalijasi iš 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 – skaičiuotuvo svajonė!

• 2000 m. pr. Kr.: Babiloniečių astronomai seka dangaus kūnų padėtis laipsniais
• 360° pasirinkta dėl dalumo ir ~metų apytikslės atitikties
• 60-ainė sistema mums davė valandas (24 = 360/15) ir minutes/sekundes
• Graikų astronomai perėmė 360° iš babiloniečių lentelių

Euklido „Pradmenys“ (300 m. pr. Kr.) formalizavo kampų geometriją – statieji kampai (90°), papildomieji (suma 90°), gretutiniai (suma 180°). Graikų matematikai, tokie kaip Hiparchas, sukūrė trigonometriją naudodami laipsniais pagrįstas lenteles astronomijai ir geodezijai.

Viduramžių jūrininkai naudojo astrolabiją ir kompasą su 32 rumbais (kiekvienas 11,25°). Jūreiviams reikėjo tikslių azimutų; lanko minutės (1/60°) ir lanko sekundės (1/3600°) atsirado žvaigždžių katalogams ir jūrlapiams.

• 300 m. pr. Kr.: Euklido „Pradmenys“ apibrėžia geometrinius kampus
• 150 m. pr. Kr.: Hiparchas sukuria pirmąsias trigonometrines lenteles (laipsniais)
• 1200-ieji: Astrolabija naudoja laipsnių žymes dangaus navigacijai
• 1569 m.: Merkatoriaus žemėlapio projekcija reikalauja kampus išsaugančios matematikos

Kai Niutonas ir Leibnicas kūrė diferencialinį skaičiavimą (1670-ieji), laipsniai tapo problemiški: d/dx(sin x) = (π/180)cos x laipsniais – bjauri konstanta! Roger Cotes (1682–1716) ir Leonhardas Euleris formalizavo radianą: kampas = lanko ilgis / spindulys. Dabar d/dx(sin x) = cos x gražiai.

James Thomson sugalvojo terminą „radianas“ 1873 m. (iš lotynų k. „radius“). Radianas tapo PAGRINDINIU vienetu matematinei analizei, fizikai ir inžinerijai. Tačiau laipsniai išliko kasdieniame gyvenime, nes žmonės labiau mėgsta sveikuosius skaičius nei π.

• 1670-ieji: Diferencialinis skaičiavimas atskleidžia, kad laipsniai sukuria sudėtingas formules
• 1714 m.: Roger Cotes sukuria „apskritiminį matą“ (prieš radianą)
• 1748 m.: Euleris plačiai naudoja radianus analizėje
• 1873 m.: Thomson jį pavadina „radianu“; tampa matematikos standartu

Pirmojo pasaulinio karo artilerija reikalavo praktiškų kampo vienetų: gimė tūkstantoji – 1 tūkstantoji ≈ 1 metro nuokrypis 1 km atstumu. NATO standartizavo 6400 tūkstantųjų/apskritimui (gražus 2 laipsnis), o SSRS naudojo 6000 (dešimtainis patogumas). Tikrasis miliradianas = 6283/apskritimui.

Kosmoso amžiaus astronomija pasiekė milisekundžių tikslumą (Hipparcos, 1989), vėliau – mikroarksekundžių (Gaia, 2013). Gaia matuoja žvaigždžių paralaksą iki 20 mikroarksekundžių tikslumu – tai atitinka žmogaus plauko matymą iš 1000 km atstumo! Šiuolaikinė fizika naudoja radianus visuotinai; tik navigacija ir statyba vis dar renkasi laipsnius.

• 1916 m.: Karinė artilerija priima tūkstantąją nuotolio skaičiavimams
• 1960 m.: SI pripažįsta radianą kaip koherentišką išvestinį vienetą
• 1989 m.: Hipparcos palydovas: ~1 milisekundės tikslumas
• 2013 m.: Gaia palydovas: 20 mikroarksekundžių tikslumas – kartografuoja 1 milijardą žvaigždžių

Naudokite laipsnius: kasdieniams kampams, navigacijai, geodezijai, statyboms. Naudokite radianus: diferencialiniam skaičiavimui, fizikos lygtims, programavimui (trigonometrinėms funkcijoms). Radianai yra „natūralūs“, nes lanko ilgis = spindulys × kampas. Išvestinės, tokios kaip d/dx(sin x) = cos x, veikia tik radianais!

Apskritimo ilgis = 2πr. Pusė apskritimo (tiesi linija) = πr. Radianas apibrėžiamas kaip lanko ilgis/spindulys. Pusei apskritimo: lankas = πr, spindulys = r, taigi kampas = πr/r = π radianų. Todėl pagal apibrėžimą π rad = 180°.

Naudokite arctan: kampas = arctan(nuolydis/100). Pavyzdys: 10% nuolydis = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NE tik dauginti! 10% ≠ 10°. Atvirkščiai: nuolydis = tan(kampas) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% nuolydis.

Lanko minutė (′) = 1/60 laipsnio (kampas). Laiko minutė = 1/60 valandos (laikas). Visiškai skirtingi! Astronomijoje „laiko minutė“ konvertuojama į kampą: 1 min = 15 lanko minučių (nes 24h = 360°, taigi 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Tūkstantoji buvo sukurta taip, kad 1 tūkstantoji ≈ 1 metras 1 km atstumu (praktinė balistika). Tikrasis matematinis miliradianas = 1/1000 rad ≈ 6283 per apskritimą. NATO supaprastino iki 6400 (2 laipsnis, gerai dalijasi). SSRS naudojo 6000 (dalijasi iš 10). Švedija 6300 (kompromisas). Visi jie artimi 2π×1000.

Taip! Teigiamas = prieš laikrodžio rodyklę (matematinė konvencija). Neigiamas = pagal laikrodžio rodyklę. -90° = 270° (ta pati padėtis, kita kryptis). Navigacijoje naudokite 0-360° diapazoną. Matematikoje/fizikoje neigiami kampai yra įprasti. Pavyzdys: -π/2 = -90° = 270°.