Ang isang anggulo ay sumusukat sa pag-ikot o pagliko sa pagitan ng dalawang linya. Isipin ang pagbubukas ng pinto o pagpihit ng gulong. Sinusukat sa degrees (°), radians (rad), o gradians. 360° = buong bilog = isang kumpletong pag-ikot.

• Anggulo = dami ng pag-ikot
• Buong bilog = 360° = 2π rad
• Right angle = 90° = π/2 rad
• Tuwid na linya = 180° = π rad

Degrees: bilog na hinati sa 360 bahagi (makasaysayan). Radians: batay sa radius ng bilog. 2π radians = 360°. Ang radians ay 'natural' para sa matematika/pisika. π rad = 180°, kaya 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (buong bilog)
• 180° = π rad (kalahating bilog)
• 90° = π/2 rad (right angle)
• 1 rad ≈ 57.2958° (conversion)

Gradian: 100 grad = 90° (metric angle). Arcminute/arcsecond: mga subdibisyon ng degree (astronomiya). Mil: military navigation (6400 mils = bilog). Bawat yunit para sa tiyak na aplikasyon.

• Gradian: 400 grad = bilog
• Arcminute: 1′ = 1/60°
• Arcsecond: 1″ = 1/3600°
• Mil (NATO): 6400 mil = bilog

360° bawat bilog (pinagmulan sa Babylonian - ~360 araw/taon). Nahahati sa: 1° = 60′ (arcminutes) = 3600″ (arcseconds). Universal para sa nabigasyon, pagsusukat, at pang-araw-araw na paggamit.

• 360° = buong bilog
• 1° = 60 arcminutes (′)
• 1′ = 60 arcseconds (″)
• Madali para sa mga tao, makasaysayan

Radian: haba ng arko = radius. 2π rad = circumference ng bilog/radius. Natural para sa calculus (sin, cos derivatives). Standard sa physics, engineering. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (eksakto)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Natural para sa matematika/pisika

Gradian: 400 grad = bilog (metric angle). 100 grad = right angle. Mil: military navigation - ginagamit ng NATO ang 6400 mils. Ginamit ng USSR ang 6000. Mayroong iba't ibang mga pamantayan.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (right angle)
• Mil (NATO): 6400 bawat bilog
• Mil (USSR): 6000 bawat bilog

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Palaging gumamit ng radians sa calculus! Kailangan ng mga trig function ang radians para sa mga derivatives.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Ang calculus ay nangangailangan ng radians

sin, cos, tan ay nag-uugnay ng mga anggulo sa mga ratio. Unit circle: radius=1, anggulo=θ. Mga coordinate ng punto: (cos θ, sin θ). Mahalaga para sa physics, engineering, graphics.

• sin θ = opposite/hypotenuse
• cos θ = adjacent/hypotenuse
• tan θ = opposite/adjacent
• Unit circle: (cos θ, sin θ)

Ang mga anggulo ay normal na idinadagdag/ibinabawas. 45° + 45° = 90°. Buong pag-ikot: magdagdag/magbawas ng 360° (o 2π). Modulo arithmetic para sa pag-wrap: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normal na pagdaragdag)
• Wrap: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Mga negatibong anggulo: -90° = 270°

Mga compass bearing: 0°=North, 90°=East, 180°=South, 270°=West. Gumagamit ang militar ng mils para sa katumpakan. Ang compass ay may 32 puntos (11.25° bawat isa). Gumagamit ang GPS ng decimal degrees.

• Bearings: 0-360° mula sa North
• NATO mil: 6400 bawat bilog
• Mga puntos ng compass: 32 (11.25° bawat isa)
• GPS: decimal degrees

Mga posisyon ng bituin: katumpakan ng arcseconds. Parallax: milliarcseconds. Hubble: ~50 mas resolution. Gaia satellite: katumpakan ng microarcsecond. Hour angle: 24h = 360°.

• Arcsecond: mga posisyon ng bituin
• Milliarcsecond: parallax, VLBI
• Microarcsecond: Gaia satellite
• Hour angle: 15°/oras

Slope: porsyento ng grado o anggulo. 10% grade ≈ 5.7°. Gumagamit ang disenyo ng kalsada ng porsyento. Gumagamit ang pagsusukat ng degrees/minutes/seconds. Sistema ng gradian para sa mga bansang metric.

• Slope: % o degrees
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Pagsusukat: DMS (deg-min-sec)
• Gradian: metric na pagsusukat

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Mabilis: 180° = π rad, kaya hatiin/i-multiply sa ratio na ito.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (eksakto)
• 2π rad = 360° (eksakto)

anggulo = arctan(slope/100). 10% slope = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Baliktad: slope = tan(anggulo) × 100.

• θ = arctan(grade/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Matarik: 100% = 45°

1° = 60′ (arcmin). 1′ = 60″ (arcsec). Kabuuan: 1° = 3600″. Mabilis na subdibisyon para sa katumpakan.

• 1° = 60 arcminutes
• 1′ = 60 arcseconds
• 1° = 3600 arcseconds
• DMS: degrees-minutes-seconds

Ang kalsada ay may 8% grade. Ano ang anggulo?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Medyo banayad na slope!

Mag-navigate sa 135° bearing. Anong direksyon sa compass ito?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=W. Ang 135° ay nasa pagitan ng E (90°) at S (180°). Direksyon: Southeast (SE).

Isang bituin ay gumalaw ng 0.5 arcseconds. Ilang degrees ito?

1″ = 1/3600°. Kaya 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Napakaliit na paggalaw!

Ginamit ng mga Babylonian ang base-60 (sexagesimal) system. Ang 360 ay may maraming divisors (24 factors!). Halos tumutugma sa 360 araw sa isang taon. Maginhawa para sa astronomiya at pagtatala ng oras. Nahahati rin ito nang pantay sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Ang Radian ay tinukoy ng haba ng arko = radius. Ginagawa nitong maganda ang calculus: d/dx(sin x) = cos x (sa radians lamang!). Sa degrees, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (magulo). 'Ginagamit' ng kalikasan ang radians!

Metric angle: 100 grad = right angle. Sinubukan noong French Revolution kasama ang metric system. Hindi naging popular—masyadong nakaugat ang degrees. Ginagamit pa rin sa ilang pagsusukat (Switzerland, hilagang Europa). May 'grad' mode ang mga calculator!

1 milliarcsecond ≈ lapad ng buhok ng tao na tinitingnan mula sa 10 km ang layo! Kayang i-resolve ng Hubble Space Telescope ang ~50 mas. Hindi kapani-paniwalang katumpakan para sa astronomiya. Ginamit upang sukatin ang stellar parallax, binary stars.

Military mil: 1 mil ≈ 1 m lapad sa 1 km distansya (NATO: 1.02 m, sapat na malapit). Madaling mental math para sa pagtatantya ng range. Iba't ibang bansa ay gumagamit ng iba't ibang mils (6000, 6300, 6400 bawat bilog). Praktikal na yunit ng ballistics!

90 = 360/4 (isang-kapat na pag-ikot). Ngunit ang 'right' ay mula sa Latin na 'rectus' = patayo, tuwid. Ang right angle ay gumagawa ng mga perpendicular na linya. Mahalaga para sa konstruksyon—kailangan ng mga gusali ang mga right angle upang tumayo!

Ginamit ng mga Babylonian ang isang sexagesimal (base-60) na sistema ng numero para sa astronomiya at pagtatala ng oras. Hinati nila ang bilog sa 360 bahagi dahil ang 360 ≈ mga araw sa isang taon (sa katunayan 365.25), at ang 360 ay may 24 na divisors—napakaginhawa para sa mga fraction.

Ang base-60 na sistemang ito ay nananatili ngayon: 60 segundo bawat minuto, 60 minuto bawat oras at bawat degree. Ang numerong 360 ay may factors na 2³ × 3² × 5, na nahahati nang pantay sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—pangarap ng isang calculator!

• 2000 BCE: Sinusubaybayan ng mga Babylonian astronomer ang mga posisyon ng celestial sa degrees
• 360° pinili para sa divisibility at ~taon na approximation
• Ang Base-60 ay nagbibigay sa atin ng mga oras (24 = 360/15) at minuto/segundo
• Inampon ng mga Greek astronomer ang 360° mula sa mga talaan ng Babylonian

Ang Elements ni Euclid (300 BCE) ay nagpormalisa sa geometry ng anggulo—right angles (90°), complementary (sum to 90°), supplementary (sum to 180°). Ang mga Greek mathematician tulad ni Hipparchus ay lumikha ng trigonometry gamit ang mga talahanayan na batay sa degree para sa astronomiya at pagsusukat.

Ginamit ng mga medieval navigator ang astrolabe at compass na may 32 puntos (bawat isa ay 11.25°). Kailangan ng mga marino ang mga tumpak na bearing; lumitaw ang mga arcminutes (1/60°) at arcseconds (1/3600°) para sa mga star catalog at nautical chart.

• 300 BCE: Tinutukoy ng Elements ni Euclid ang mga geometric na anggulo
• 150 BCE: Lumikha si Hipparchus ng unang mga trig table (degrees)
• 1200s: Gumagamit ang Astrolabe ng mga marka ng degree para sa celestial navigation
• 1569: Ang Mercator map projection ay nangangailangan ng math na nagpapanatili ng anggulo

Habang binuo nina Newton at Leibniz ang calculus (1670s), naging problema ang mga degree: d/dx(sin x) = (π/180)cos x sa degrees—isang pangit na constant! Pormal na binuo nina Roger Cotes (1682-1716) at Leonhard Euler ang radian: anggulo = haba ng arko / radius. Ngayon d/dx(sin x) = cos x nang maganda.

Si James Thomson ang lumikha ng 'radian' noong 1873 (mula sa Latin na 'radius'). Ang radian ay naging ANG yunit para sa mathematical analysis, physics, at engineering. Ngunit nanatili ang mga degree sa pang-araw-araw na buhay dahil mas gusto ng mga tao ang mga buong numero kaysa sa π.

• 1670s: Ipinakita ng Calculus na ang mga degree ay lumilikha ng magugulong formula
• 1714: Binuo ni Roger Cotes ang 'circular measure' (pre-radian)
• 1748: Malawakang ginamit ni Euler ang radians sa analysis
• 1873: Pinangalanan ito ni Thomson na 'radian'; naging pamantayan sa matematika

Kinailangan ng WWI artillery ang mga praktikal na yunit ng anggulo: ipinanganak ang mil—1 mil ≈ 1 metrong paglihis sa 1 km na distansya. Ginawang standard ng NATO ang 6400 mils/bilog (isang magandang power of 2), habang ginamit ng USSR ang 6000 (decimal convenience). Ang tunay na milliradian = 6283/bilog.

Nakamit ng space-age astronomy ang milliarcsecond precision (Hipparcos, 1989), pagkatapos ay microarcseconds (Gaia, 2013). Sinusukat ng Gaia ang stellar parallax sa 20 microarcseconds—katumbas ng pagkakita sa isang buhok ng tao mula sa 1,000 km ang layo! Ginagamit ng modernong physics ang radians sa pangkalahatan; tanging ang nabigasyon at konstruksyon pa rin ang mas pabor sa degrees.

• 1916: Inampon ng military artillery ang mil para sa mga kalkulasyon ng range
• 1960: Kinilala ng SI ang radian bilang coherent derived unit
• 1989: Hipparcos satellite: ~1 milliarcsecond precision
• 2013: Gaia satellite: 20 microarcsecond precision—nagmamapa ng 1 bilyong bituin

Gamitin ang degrees para sa: pang-araw-araw na mga anggulo, nabigasyon, pagsusukat, konstruksyon. Gamitin ang radians para sa: calculus, mga equation sa physics, programming (trig functions). Ang Radians ay 'natural' dahil ang haba ng arko = radius × anggulo. Ang mga derivative tulad ng d/dx(sin x) = cos x ay gumagana lamang sa radians!

Ang circumference ng bilog = 2πr. Kalahating bilog (tuwid na linya) = πr. Ang Radian ay tinutukoy bilang haba ng arko/radius. Para sa kalahating bilog: arko = πr, radius = r, kaya anggulo = πr/r = π radians. Samakatuwid, ang π rad = 180° sa pamamagitan ng kahulugan.

Gamitin ang arctan: anggulo = arctan(grade/100). Halimbawa: 10% grade = arctan(0.1) ≈ 5.71°. HINDI lang i-multiply! 10% ≠ 10°. Baliktad: grade = tan(anggulo) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% grade.

Arcminute (′) = 1/60 ng isang degree (anggulo). Minuto ng oras = 1/60 ng isang oras (oras). Ganap na magkaiba! Sa astronomiya, ang 'minuto ng oras' ay nagko-convert sa anggulo: 1 min = 15 arcminutes (dahil 24h = 360°, kaya 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Ang Mil ay idinisenyo upang ang 1 mil ≈ 1 metro sa 1 km (praktikal na ballistics). Ang tunay na mathematical milliradian = 1/1000 rad ≈ 6283 bawat bilog. Pinadali ng NATO sa 6400 (power of 2, madaling hatiin). Ginamit ng USSR ang 6000 (nahahati sa 10). Sweden 6300 (kompromiso). Lahat ay malapit sa 2π×1000.

Oo! Positibo = counterclockwise (kombensyon sa matematika). Negatibo = clockwise. -90° = 270° (parehong posisyon, iba't ibang direksyon). Sa nabigasyon, gamitin ang 0-360° range. Sa matematika/pisika, karaniwan ang mga negatibong anggulo. Halimbawa: -π/2 = -90° = 270°.