En vinkel måler rotasjon eller sving mellom to linjer. Tenk på å åpne en dør eller snu et hjul. Målt i grader (°), radianer (rad), eller gradianer. 360° = full sirkel = én komplett rotasjon.

• Vinkel = mengde rotasjon
• Full sirkel = 360° = 2π rad
• Rett vinkel = 90° = π/2 rad
• Rett linje = 180° = π rad

Grader: sirkel delt inn i 360 deler (historisk). Radianer: basert på sirkelens radius. 2π radianer = 360°. Radianer er 'naturlige' for matematikk/fysikk. π rad = 180°, så 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (full sirkel)
• 180° = π rad (halv sirkel)
• 90° = π/2 rad (rett vinkel)
• 1 rad ≈ 57,2958° (konvertering)

Gradian: 100 grad = 90° (metrisk vinkel). Bueminutt/buesekund: underinndelinger av en grad (astronomi). Mil: militær navigasjon (6400 mils = sirkel). Hver enhet for en spesifikk applikasjon.

• Gradian: 400 grad = sirkel
• Bueminutt: 1′ = 1/60°
• Buesekund: 1″ = 1/3600°
• Mil (NATO): 6400 mil = sirkel

360° per sirkel (babylonsk opprinnelse - ~360 dager/år). Underinndelt: 1° = 60′ (bueminutter) = 3600″ (buesekunder). Universelt for navigasjon, landmåling, daglig bruk.

• 360° = full sirkel
• 1° = 60 bueminutter (′)
• 1′ = 60 buesekunder (″)
• Enkelt for mennesker, historisk

Radian: buelengde = radius. 2π rad = sirkelens omkrets/radius. Naturlig for kalkulus (sin, cos deriverte). Fysikk, ingeniørstandard. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (nøyaktig)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Naturlig for matematikk/fysikk

Gradian: 400 grad = sirkel (metrisk vinkel). 100 grad = rett vinkel. Mil: militær navigasjon - NATO bruker 6400 mils. Sovjetunionen brukte 6000. Forskjellige standarder finnes.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (rett vinkel)
• Mil (NATO): 6400 per sirkel
• Mil (Sovjet): 6000 per sirkel

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Bruk alltid radianer i kalkulus! Trigonometriske funksjoner trenger radianer for derivasjon.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Kalkulus krever radianer

sin, cos, tan relaterer vinkler til forhold. Enhetssirkelen: radius=1, vinkel=θ. Punktkoordinater: (cos θ, sin θ). Essensielt for fysikk, ingeniørfag, grafikk.

• sin θ = motstående/hypotenus
• cos θ = hosliggende/hypotenus
• tan θ = motstående/hosliggende
• Enhetssirkelen: (cos θ, sin θ)

Vinkler legges til/trekkes fra normalt. 45° + 45° = 90°. Full rotasjon: legg til/trekk fra 360° (eller 2π). Modulo-aritmetikk for omløp: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normal addisjon)
• Omløp: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negative vinkler: -90° = 270°

Kompasskurs: 0°=Nord, 90°=Øst, 180°=Sør, 270°=Vest. Militæret bruker mils for presisjon. Kompasset har 32 streker (11,25° hver). GPS bruker desimalgrader.

• Kurs: 0-360° fra Nord
• NATO mil: 6400 per sirkel
• Kompass-streker: 32 (11,25° hver)
• GPS: desimalgrader

Stjerneposisjoner: presisjon på buesekunder. Parallakse: millibuesekunder. Hubble: ~50 mas oppløsning. Gaia-satellitten: presisjon på mikrobuesekunder. Timevinkel: 24t = 360°.

• Buesekund: stjerneposisjoner
• Millibuesekund: parallakse, VLBI
• Mikrobuesekund: Gaia-satellitten
• Timevinkel: 15°/time

Stigning: prosentgrad eller vinkel. 10% stigning ≈ 5,7°. Veidesign bruker prosent. Landmåling bruker grader/minutter/sekunder. Gradiansystem for metriske land.

• Stigning: % eller grader
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Landmåling: GMS (grader-minutter-sekunder)
• Gradian: metrisk landmåling

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Raskt: 180° = π rad, så del/multipliser med dette forholdet.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (nøyaktig)
• 2π rad = 360° (nøyaktig)

vinkel = arctan(stigning/100). 10% stigning = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Motsatt: stigning = tan(vinkel) × 100.

• θ = arctan(grad/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Bratt: 100% = 45°

1° = 60′ (bueminutt). 1′ = 60″ (buesekund). Totalt: 1° = 3600″. Rask underinndeling for presisjon.

• 1° = 60 bueminutter
• 1′ = 60 buesekunder
• 1° = 3600 buesekunder
• GMS: grader-minutter-sekunder

En vei har 8% stigning. Hva er vinkelen?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. En relativt slak stigning!

Naviger med en kurs på 135°. Hvilken kompassretning er det?

0°=N, 90°=Ø, 180°=S, 270°=V. 135° er mellom Ø (90°) og S (180°). Retning: Sørøst (SØ).

En stjerne flyttet seg 0,5 buesekunder. Hvor mange grader er det?

1″ = 1/3600°. Så 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. En bitteliten bevegelse!

Babylonerne brukte et base-60 (seksagesimalt) system. 360 har mange divisorer (24 faktorer!). Tilsvarer omtrent 360 dager i et år. Praktisk for astronomi og tidtaking. Deler også jevnt med 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radianen er definert av buelengde = radius. Gjør kalkulus vakkert: d/dx(sin x) = cos x (kun i radianer!). I grader er d/dx(sin x) = (π/180)cos x (rotete). Naturen 'bruker' radianer!

Metrisk vinkel: 100 grad = rett vinkel. Forsøkt under den franske revolusjonen med det metriske systemet. Ble aldri populært—grader var for inngrodd. Brukes fortsatt i noe landmåling (Sveits, Nord-Europa). Kalkulatorer har 'grad'-modus!

1 millibuesekund ≈ bredden av et menneskehår sett fra 10 km unna! Hubble-romteleskopet kan løse opp ~50 mas. Utrolig presisjon for astronomi. Brukes til å måle stjerneparallakse, dobbeltstjerner.

Militær mil: 1 mil ≈ 1 m bredde på 1 km avstand (NATO: 1,02 m, nært nok). Enkel hoderegning for avstandsestimering. Forskjellige land bruker forskjellige mils (6000, 6300, 6400 per sirkel). En praktisk ballistikkenhet!

90 = 360/4 (kvart omdreining). Men 'rett' kommer fra latin 'rectus' = oppreist, rett. En rett vinkel lager vinkelrette linjer. Essensielt for konstruksjon—bygninger trenger rette vinkler for å stå!

Babylonerne brukte et seksagesimalt (base-60) tallsystem for astronomi og tidtaking. De delte sirkelen i 360 deler fordi 360 ≈ dager i et år (faktisk 365,25), og 360 har 24 divisorer—utrolig praktisk for brøker.

Dette base-60 systemet vedvarer i dag: 60 sekunder per minutt, 60 minutter per time og per grad. Tallet 360 faktorisert som 2³ × 3² × 5, deles jevnt på 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—en kalkulators drøm!

• 2000 f.Kr.: Babyloniske astronomer sporer himmelposisjoner i grader
• 360° valgt for delelighet og ~års-tilnærming
• Base-60 gir oss timer (24 = 360/15) og minutter/sekunder
• Greske astronomer adopterer 360° fra babylonske tabeller

Euklids Elementer (300 f.Kr.) formaliserte vinkelgeometri—rette vinkler (90°), komplementære (sum til 90°), supplementære (sum til 180°). Greske matematikere som Hipparkhos skapte trigonometri ved hjelp av gradbaserte tabeller for astronomi og landmåling.

Middelalderens navigatører brukte astrolabium og kompass med 32 streker (hver på 11,25°). Sjøfolk trengte presise kurser; bueminutter (1/60°) og buesekunder (1/3600°) dukket opp for stjernekataloger og sjøkart.

• 300 f.Kr.: Euklids Elementer definerer geometriske vinkler
• 150 f.Kr.: Hipparkhos lager de første trigonometriske tabellene (grader)
• 1200-tallet: Astrolabium bruker gradmarkeringer for himmelnavigasjon
• 1569: Mercators kartprojeksjon krever vinkelbevarende matematikk

Da Newton og Leibniz utviklet kalkulus (1670-årene), ble grader problematiske: d/dx(sin x) = (π/180)cos x i grader—en stygg konstant! Roger Cotes (1682-1716) og Leonhard Euler formaliserte radianen: vinkel = buelengde / radius. Nå blir d/dx(sin x) = cos x vakkert.

James Thomson skapte begrepet 'radian' i 1873 (fra latin 'radius'). Radianen ble DEN enheten for matematisk analyse, fysikk og ingeniørfag. Likevel vedvarte grader i dagliglivet fordi mennesker foretrekker heltall fremfor π.

• 1670-årene: Kalkulus avslører at grader skaper rotete formler
• 1714: Roger Cotes utvikler 'sirkulært mål' (pre-radian)
• 1748: Euler bruker radianer i stor utstrekning i analyse
• 1873: Thomson navngir den 'radian'; blir matematisk standard

Første verdenskrigs artilleri krevde praktiske vinkelenheter: milen ble født—1 mil ≈ 1 meters avvik på 1 km avstand. NATO standardiserte 6400 mils/sirkel (en fin potens av 2), mens Sovjetunionen brukte 6000 (desimal bekvemmelighet). Sann milliradian = 6283/sirkel.

Romfartens astronomi oppnådde presisjon på millibuesekunder (Hipparcos, 1989), deretter mikrobuesekunder (Gaia, 2013). Gaia måler stjerneparallakse med en nøyaktighet på 20 mikrobuesekunder—tilsvarer å se et menneskehår fra 1000 km unna! Moderne fysikk bruker radianer universelt; kun navigasjon og konstruksjon foretrekker fortsatt grader.

• 1916: Militært artilleri tar i bruk mil for avstandsberegninger
• 1960: SI anerkjenner radianen som en koherent avledet enhet
• 1989: Hipparcos-satellitten: ~1 millibuesekund presisjon
• 2013: Gaia-satellitten: 20 mikrobuesekund presisjon—kartlegger 1 milliard stjerner

Bruk grader for: dagligdagse vinkler, navigasjon, landmåling, konstruksjon. Bruk radianer for: kalkulus, fysikklikninger, programmering (trigonometriske funksjoner). Radianer er 'naturlige' fordi buelengden = radius × vinkel. Deriverte som d/dx(sin x) = cos x fungerer bare i radianer!

Sirkelens omkrets = 2πr. Halv sirkel (rett linje) = πr. Radianen er definert som buelengde/radius. For en halv sirkel: bue = πr, radius = r, så vinkel = πr/r = π radianer. Derfor er π rad = 180° per definisjon.

Bruk arctan: vinkel = arctan(grad/100). Eksempel: 10% grad = arctan(0,1) ≈ 5,71°. IKKE bare multipliser! 10% ≠ 10°. Motsatt: grad = tan(vinkel) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% grad.

Bueminutt (′) = 1/60 av en grad (vinkel). Tidsminutt = 1/60 av en time (tid). Helt forskjellig! I astronomi konverteres 'tidsminutt' til vinkel: 1 min = 15 bueminutter (fordi 24t = 360°, så 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Milen ble designet slik at 1 mil ≈ 1 meter på 1 km (praktisk ballistikk). Sann matematisk milliradian = 1/1000 rad ≈ 6283 per sirkel. NATO forenklet det til 6400 (en potens av 2, deler fint). Sovjetunionen brukte 6000 (deler på 10). Sverige 6300 (et kompromiss). Alle er nær 2π×1000.

Ja! Positivt = mot klokken (matematisk konvensjon). Negativt = med klokken. -90° = 270° (samme posisjon, annen retning). I navigasjon brukes 0-360°-området. I matematikk/fysikk er negative vinkler vanlige. Eksempel: -π/2 = -90° = 270°.