Një kënd mat rrotullimin ose kthesën midis dy vijave. Mendoni për hapjen e një dere ose rrotullimin e një rrote. Matet në gradë (°), radianë (rad), ose gradianë. 360° = rreth i plotë = një rrotullim i plotë.

• Këndi = sasia e rrotullimit
• Rreth i plotë = 360° = 2π rad
• Kënd i drejtë = 90° = π/2 rad
• Vijë e drejtë = 180° = π rad

Gradët: rrethi i ndarë në 360 pjesë (historike). Radianët: bazuar në rrezen e rrethit. 2π radianë = 360°. Radianët janë 'natyralë' për matematikë/fizikë. π rad = 180°, pra 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (rreth i plotë)
• 180° = π rad (gjysmërreth)
• 90° = π/2 rad (kënd i drejtë)
• 1 rad ≈ 57.2958° (konvertim)

Gradian: 100 grad = 90° (kënd metrik). Minuta e harkut/sekonda e harkut: nënndarje të gradës (astronomi). Mijëshi: navigacion ushtarak (6400 mijëshe = rreth). Çdo njësi për një aplikim specifik.

• Gradian: 400 grad = rreth
• Minuta e harkut: 1′ = 1/60°
• Sekonda e harkut: 1″ = 1/3600°
• Mijëshi (NATO): 6400 mil = rreth

360° për rreth (origjina babilonase - ~360 ditë/vit). Nënndahet: 1° = 60′ (minuta të harkut) = 3600″ (sekonda të harkut). Universal për navigacion, rilevim, përdorim të përditshëm.

• 360° = rreth i plotë
• 1° = 60 minuta të harkut (′)
• 1′ = 60 sekonda të harkut (″)
• E lehtë për njerëzit, historike

Radian: gjatësia e harkut = rrezja. 2π rad = perimetri i rrethit/rrezja. Natyral për kalkulusin (derivatet e sin, cos). Standard në fizikë, inxhinieri. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (saktësisht)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Natyral për matematikë/fizikë

Gradian: 400 grad = rreth (kënd metrik). 100 grad = kënd i drejtë. Mijëshi: navigacion ushtarak - NATO përdor 6400 mijëshe. BRSS përdorte 6000. Ekzistojnë standarde të ndryshme.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (kënd i drejtë)
• Mijëshi (NATO): 6400 për rreth
• Mijëshi (USSR): 6000 për rreth

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Gjithmonë përdorni radianë në kalkulus! Funksionet trigonometrike kanë nevojë për radianë për derivatet.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Kalkulusi kërkon radianë

sin, cos, tan lidhin këndet me raportet. Rrethi njësi: rrezja=1, këndi=θ. Koordinatat e pikës: (cos θ, sin θ). Thelbësore për fizikën, inxhinierinë, grafikën.

• sin θ = përballë/hipotenuzë
• cos θ = anash/hipotenuzë
• tan θ = përballë/anash
• Rrethi njësi: (cos θ, sin θ)

Këndet mblidhen/zbriten normalisht. 45° + 45° = 90°. Rrotullim i plotë: shtoni/zbritni 360° (ose 2π). Aritmetika modulare për mbështjellje: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (mbledhje normale)
• Mbështjellje: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Kënde negative: -90° = 270°

Drejtimet e busullës: 0°=Veri, 90°=Lindje, 180°=Jug, 270°=Perëndim. Ushtria përdor mijëshe për saktësi. Busulla ka 32 pika (secila 11.25°). GPS përdor gradë dhjetore.

• Drejtimet: 0-360° nga Veriu
• Mijëshi i NATO-s: 6400 për rreth
• Pikat e busullës: 32 (secila 11.25°)
• GPS: gradë dhjetore

Pozicionet e yjeve: saktësi e sekondave të harkut. Paralaksi: miliarksekonda. Hubble: ~50 mas rezolucion. Sateliti Gaia: saktësi e mikroarksekondave. Këndi orar: 24h = 360°.

• Sekonda e harkut: pozicionet e yjeve
• Miliarksekonda: paralaksi, VLBI
• Mikroarksekonda: sateliti Gaia
• Këndi orar: 15°/orë

Pjerrësia: përqindja e gradës ose këndi. 10% gradë ≈ 5.7°. Dizajni i rrugëve përdor përqindje. Gjeodezia përdor gradë/minuta/sekonda. Sistemi i gradianit për vendet metrike.

• Pjerrësia: % ose gradë
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Gjeodezia: GMS (gradë-minuta-sekonda)
• Gradiani: gjeodezi metrike

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Shpejt: 180° = π rad, kështu që pjesëtoni/shumëzoni me këtë raport.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (saktësisht)
• 2π rad = 360° (saktësisht)

këndi = arctan(pjerrësia/100). 10% pjerrësi = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Anasjelltas: pjerrësia = tan(këndi) × 100.

• θ = arctan(grada/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• E thepisur: 100% = 45°

1° = 60′ (minuta të harkut). 1′ = 60″ (sekonda të harkut). Totali: 1° = 3600″. Nënndarje e shpejtë për saktësi.

• 1° = 60 minuta të harkut
• 1′ = 60 sekonda të harkut
• 1° = 3600 sekonda të harkut
• GMS: gradë-minuta-sekonda

Rruga ka 8% pjerrësi. Cili është këndi?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Një pjerrësi relativisht e butë!

Navigoni me drejtim 135°. Cili është drejtimi i busullës?

0°=V, 90°=L, 180°=J, 270°=P. 135° është midis L (90°) dhe J (180°). Drejtimi: Juglindje (JL).

Një yll lëvizi 0.5 sekonda harku. Sa gradë është kjo?

1″ = 1/3600°. Pra 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Një lëvizje shumë e vogël!

Babilonasit përdorën sistemin me bazë 60 (seksagesimal). 360 ka shumë pjesëtues (24 faktorë!). Përputhet afërsisht me 360 ditë në një vit. I përshtatshëm për astronominë dhe matjen e kohës. Gjithashtu ndahet saktësisht me 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radiani përcaktohet nga gjatësia e harkut = rrezja. Kjo e bën kalkulusin të bukur: d/dx(sin x) = cos x (vetëm në radianë!). Në gradë, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (e ngatërruar). Natyra 'përdor' radianë!

Kënd metrik: 100 grad = kënd i drejtë. U provua gjatë Revolucionit Francez me sistemin metrik. Asnjëherë nuk u bë popullor—gradët ishin shumë të rrënjosura. Ende përdoret në disa rilevime (Zvicër, Evropa Veriore). Kalkulatorët kanë modalitetin 'grad'!

1 miliarksekondë ≈ gjerësia e një floku njeriu shikuar nga 10 km larg! Teleskopi Hapësinor Hubble mund të dallojë ~50 mas. Saktësi e pabesueshme për astronominë. Përdoret për të matur paralaksin yjor, yjet binarë.

Mijëshi ushtarak: 1 mijësh ≈ 1 m gjerësi në 1 km distancë (NATO: 1.02 m, mjaft afër). Matematikë mendore e lehtë për vlerësimin e distancës. Vende të ndryshme përdorin mijëshe të ndryshëm (6000, 6300, 6400 për rreth). Njësi praktike balistike!

90 = 360/4 (çerek rrotullimi). Por 'i drejtë' vjen nga latinishtja 'rectus' = i drejtë, i drejtë. Këndi i drejtë bën vija pingule. Thelbësore për ndërtim—ndërtesat kanë nevojë për kënde të drejta për të qëndruar!

Babilonasit përdorën një sistem numrash seksagesimal (me bazë 60) për astronominë dhe matjen e kohës. Ata e ndanë rrethin në 360 pjesë sepse 360 ≈ ditë në një vit (në fakt 365.25), dhe 360 ka 24 pjesëtues—jashtëzakonisht i përshtatshëm për thyesat.

Ky sistem me bazë 60 vazhdon edhe sot: 60 sekonda për minutë, 60 minuta për orë dhe për gradë. Numri 360 faktorizohet si 2³ × 3² × 5, duke u ndarë saktësisht me 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—ëndrra e një kalkulatori!

• 2000 p.e.s.: Astronomët babilonasë gjurmojnë pozicionet qiellore në gradë
• 360° zgjedhur për pjesëtueshmërinë dhe përafrimin me vitin
• Baza-60 na jep orët (24 = 360/15) dhe minutat/sekondat
• Astronomët grekë adoptuan 360° nga tabelat babilonase

Elementet e Euklidit (300 p.e.s.) formalizuan gjeometrinë e këndeve—kënde të drejta (90°), komplementare (shuma 90°), suplementare (shuma 180°). Matematikanët grekë si Hiparku krijuan trigonometrinë duke përdorur tabela të bazuara në gradë për astronominë dhe gjeodezinë.

Navigatorët mesjetarë përdorën astrolabin dhe busullën me 32 pika (secila 11.25°). Detarët kishin nevojë për drejtime të sakta; minutat e harkut (1/60°) dhe sekondat e harkut (1/3600°) u shfaqën për katalogët e yjeve dhe hartat detare.

• 300 p.e.s.: Elementet e Euklidit përcaktojnë këndet gjeometrike
• 150 p.e.s.: Hiparku krijon tabelat e para trigonometrike (gradë)
• Vitet 1200: Astrolabi përdor shenja gradësh për navigacion qiellor
• 1569: Projeksioni i hartës së Merkatorit kërkon matematikë që ruan këndet

Kur Njutoni dhe Lajbnici zhvilluan kalkulusin (vitet 1670), gradët u bënë problematike: d/dx(sin x) = (π/180)cos x në gradë—një konstante e shëmtuar! Roger Cotes (1682-1716) dhe Leonhard Euler formalizuan radianin: këndi = gjatësia e harkut / rrezja. Tani d/dx(sin x) = cos x bukurisht.

James Thomson shpiku termin 'radian' në 1873 (nga latinishtja 'radius'). Radiani u bë NJËSIA për analizën matematikore, fizikën dhe inxhinierinë. Megjithatë, gradët vazhduan në jetën e përditshme sepse njerëzit preferojnë numra të plotë mbi π.

• Vitet 1670: Kalkulusi zbulon se gradët krijojnë formula të ngatërruara
• 1714: Roger Cotes zhvillon 'masën rrethore' (para-radian)
• 1748: Euler përdor gjerësisht radianët në analizë
• 1873: Thomson e quan atë 'radian'; bëhet standard matematikor

Artileria e Luftës së Parë Botërore kërkonte njësi praktike këndore: lindi mijëshi—1 mijësh ≈ 1 metër devijim në 1 km distancë. NATO standardizoi 6400 mijëshe/rreth (një fuqi e bukur e 2-shit), ndërsa BRSS përdori 6000 (lehtësi dhjetore). Miliradiani i vërtetë = 6283/rreth.

Astronomia e epokës hapësinore arriti saktësi miliarksekondash (Hipparcos, 1989), pastaj mikroarksekondash (Gaia, 2013). Gaia mat paralaksin yjor deri në 20 mikroarksekonda—ekuivalente me shikimin e një floku njeriu nga 1,000 km larg! Fizika moderne përdor radianë universalisht; vetëm navigacioni dhe ndërtimi ende preferojnë gradët.

• 1916: Artileria ushtarake adopton mijëshin për llogaritjet e distancës
• 1960: SI njeh radianin si njësi koherente të derivuar
• 1989: Sateliti Hipparcos: ~1 miliarksekondë saktësi
• 2013: Sateliti Gaia: 20 mikroarksekonda saktësi—harton 1 miliard yje

Përdorni gradë për: kënde të përditshme, navigacion, rilevim, ndërtim. Përdorni radianë për: kalkulus, ekuacione fizike, programim (funksione trigonometrike). Radianët janë 'natyralë' sepse gjatësia e harkut = rrezja × këndi. Derivatet si d/dx(sin x) = cos x funksionojnë vetëm në radianë!

Perimetri i rrethit = 2πr. Gjysmërrethi (vijë e drejtë) = πr. Radiani përcaktohet si gjatësia e harkut/rrezja. Për gjysmërrethin: harku = πr, rrezja = r, kështu që këndi = πr/r = π radianë. Prandaj, sipas përkufizimit π rad = 180°.

Përdorni arctan: këndi = arctan(grada/100). Shembull: 10% gradë = arctan(0.1) ≈ 5.71°. JO vetëm të shumëzoni! 10% ≠ 10°. Anasjelltas: grada = tan(këndi) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% gradë.

Minuta e harkut (′) = 1/60 e një grade (kënd). Minuta e kohës = 1/60 e një ore (kohë). Plotësisht të ndryshme! Në astronomi, 'minuta e kohës' konvertohet në kënd: 1 min = 15 minuta të harkut (sepse 24h = 360°, pra 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Mijëshi u projektua kështu që 1 mijësh ≈ 1 metër në 1 km (balistikë praktike). Miliradiani i vërtetë matematikor = 1/1000 rad ≈ 6283 për rreth. NATO e thjeshtoi në 6400 (fuqi e 2-shit, ndahet mirë). BRSS përdori 6000 (ndahet me 10). Suedia 6300 (kompromis). Të gjithë janë afër 2π×1000.

Po! Pozitiv = kundër drejtimit të akrepave të orës (konventë matematikore). Negativ = në drejtim të akrepave të orës. -90° = 270° (pozicioni i njëjtë, drejtim i ndryshëm). Në navigacion, përdoret diapazoni 0-360°. Në matematikë/fizikë, këndet negative janë të zakonshme. Shembull: -π/2 = -90° = 270°.