זווית מודדת סיבוב או פנייה בין שני קווים. חשבו על פתיחת דלת או סיבוב גלגל. נמדדת במעלות (°), רדיאנים (רד), או גרדיאנים. 360° = מעגל שלם = סיבוב אחד מלא.

• זווית = כמות סיבוב
• מעגל שלם = 360° = 2π רד
• זווית ישרה = 90° = π/2 רד
• קו ישר = 180° = π רד

מעלות: מעגל מחולק ל-360 חלקים (היסטורי). רדיאנים: מבוסס על רדיוס המעגל. 2π רדיאנים = 360°. רדיאנים הם 'טבעיים' למתמטיקה/פיזיקה. π רד = 180°, כך ש-1 רד ≈ 57.3°.

• 360° = 2π רד (מעגל שלם)
• 180° = π רד (חצי מעגל)
• 90° = π/2 רד (זווית ישרה)
• 1 רד ≈ 57.2958° (התאמה)

גרדיאן: 100 גראד = 90° (זווית מטרית). דקת/שניית קשת: חלוקות משנה של מעלה (אסטרונומיה). מיל: ניווט צבאי (6400 מיל = מעגל). כל יחידה ליישום ספציפי.

• גרדיאן: 400 גראד = מעגל
• דקת קשת: 1′ = 1/60°
• שניית קשת: 1″ = 1/3600°
• מיל (NATO): 6400 מיל = מעגל

360° למעגל (מקור בבלי - ~360 ימים בשנה). מחולק: 1° = 60′ (דקות קשת) = 3600″ (שניות קשת). אוניברסלי לניווט, מדידות, שימוש יומיומי.

• 360° = מעגל שלם
• 1° = 60 דקות קשת (′)
• 1′ = 60 שניות קשת (″)
• קל לבני אדם, היסטורי

רדיאן: אורך קשת = רדיוס. 2π רד = היקף מעגל/רדיוס. טבעי לחשבון דיפרנציאלי (נגזרות של sin, cos). תקן בפיזיקה, הנדסה. π רד = 180°.

• 2π רד = 360° (מדויק)
• π רד = 180°
• 1 רד ≈ 57.2958°
• טבעי למתמטיקה/פיזיקה

גרדיאן: 400 גראד = מעגל (זווית מטרית). 100 גראד = זווית ישרה. מיל: ניווט צבאי - נאט"ו משתמש ב-6400 מיל. ברית המועצות השתמשה ב-6000. קיימים תקנים שונים.

• 400 גראד = 360°
• 100 גראד = 90° (זווית ישרה)
• מיל (NATO): 6400 למעגל
• מיל (ברית המועצות): 6000 למעגל

רד = מעלות × π/180. מעלות = רד × 180/π. גראד = מעלות × 10/9. השתמשו תמיד ברדיאנים בחשבון דיפרנציאלי! פונקציות טריגונומטריות זקוקות לרדיאנים עבור נגזרות.

• רד = מעלות × (π/180)
• מעלות = רד × (180/π)
• גראד = מעלות × (10/9)
• חשבון דיפרנציאלי דורש רדיאנים

sin, cos, tan מקשרים זוויות ליחסים. מעגל היחידה: רדיוס=1, זווית=θ. קואורדינטות הנקודה: (cos θ, sin θ). חיוני לפיזיקה, הנדסה, גרפיקה.

• sin θ = מול/יתר
• cos θ = ליד/יתר
• tan θ = מול/ליד
• מעגל היחידה: (cos θ, sin θ)

זוויות מחוברות/מוחסרות כרגיל. 45° + 45° = 90°. סיבוב מלא: הוסף/החסר 360° (או 2π). חשבון מודולרי ל'גלישה': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (חיבור רגיל)
• גלישה: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• זוויות שליליות: -90° = 270°

כיווני מצפן: 0°=צפון, 90°=מזרח, 180°=דרום, 270°=מערב. הצבא משתמש במילים לדיוק. למצפן 32 נקודות (11.25° כל אחת). GPS משתמש במעלות עשרוניות.

• כיוונים: 0-360° מהצפון
• מיל נאט"ו: 6400 למעגל
• נקודות מצפן: 32 (11.25° כל אחת)
• GPS: מעלות עשרוניות

מיקומי כוכבים: דיוק של שניות קשת. פרלקסה: מילי-שניות קשת. האבל: רזולוציה של ~50 mas. לוויין Gaia: דיוק של מיקרו-שניות קשת. זווית שעה: 24 שעות = 360°.

• שניית קשת: מיקומי כוכבים
• מילי-שניית קשת: פרלקסה, VLBI
• מיקרו-שניית קשת: לוויין Gaia
• זווית שעה: 15° לשעה

שיפוע: אחוז שיפוע או זווית. 10% שיפוע ≈ 5.7°. עיצוב כבישים משתמש באחוזים. מדידות משתמשות במעלות/דקות/שניות. מערכת הגרדיאנים למדינות מטריות.

• שיפוע: % או מעלות
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• מדידות: DMS (מעלות-דקות-שניות)
• גרדיאן: מדידות מטריות

רד = מעלות × π/180. מעלות = רד × 180/π. מהיר: 180° = π רד, אז חלקו/הכפילו ביחס זה.

• רד = מעלות × 0.01745
• מעלות = רד × 57.2958
• π רד = 180° (מדויק)
• 2π רד = 360° (מדויק)

זווית = arctan(שיפוע/100). 10% שיפוע = arctan(0.1) ≈ 5.71°. הפוך: שיפוע = tan(זווית) × 100.

• θ = arctan(שיפוע/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• תלול: 100% = 45°

1° = 60′ (דקת קשת). 1′ = 60″ (שניית קשת). סך הכל: 1° = 3600″. חלוקה מהירה לדיוק.

• 1° = 60 דקות קשת
• 1′ = 60 שניות קשת
• 1° = 3600 שניות קשת
• DMS: מעלות-דקות-שניות

לכביש יש שיפוע של 8%. מה הזווית?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. שיפוע מתון יחסית!

נווטו בכיוון 135°. איזה כיוון מצפן זה?

0°=צ, 90°=מז, 180°=ד, 270°=מע. 135° נמצא בין מז (90°) לד (180°). כיוון: דרום-מזרח (דמ).

כוכב זז 0.5 שניות קשת. כמה מעלות זה?

1″ = 1/3600°. אז 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. תנועה זעירה!

הבבלים השתמשו במערכת סקסגסימלית (בסיס 60). ל-360 יש מחלקים רבים (24 גורמים!). הוא תואם בערך את 360 הימים בשנה. נוח לאסטרונומיה ולשמירת זמן. הוא גם מתחלק באופן שווה ב-2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

הרדיאן מוגדר על ידי אורך קשת = רדיוס. זה הופך את החשבון הדיפרנציאלי ליפה: d/dx(sin x) = cos x (רק ברדיאנים!). במעלות, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (מבולגן). הטבע 'משתמש' ברדיאנים!

זווית מטרית: 100 גראד = זווית ישרה. נוסה במהלך המהפכה הצרפתית עם המערכת המטרית. מעולם לא הפך פופולרי — המעלות היו מושרשות מדי. עדיין בשימוש בכמה עבודות מדידה (שווייץ, צפון אירופה). למחשבונים יש מצב 'גראד'!

1 מילי-שניית קשת ≈ רוחב של שערת אדם הנראית ממרחק 10 ק"מ! טלסקופ החלל האבל יכול להבחין ב-~50 mas. דיוק מדהים לאסטרונומיה. משמש למדידת פרלקסה של כוכבים, כוכבים כפולים.

מיל צבאי: 1 מיל ≈ רוחב של 1 מטר במרחק של 1 ק"מ (נאט"ו: 1.02 מ', מספיק קרוב). חישוב מנטלי קל להערכת טווח. מדינות שונות משתמשות במילים שונים (6000, 6300, 6400 למעגל). יחידה בליסטית מעשית!

90 = 360/4 (רבע סיבוב). אבל 'ישר' מגיע מהמילה הלטינית 'rectus' = זקוף, ישר. זווית ישרה יוצרת קווים מאונכים. חיוני לבנייה — בניינים זקוקים לזוויות ישרות כדי לעמוד!

הבבלים השתמשו במערכת מספרים סקסגסימלית (בסיס 60) לאסטרונומיה ושמירת זמן. הם חילקו את המעגל ל-360 חלקים מכיוון ש-360 ≈ ימים בשנה (למעשה 365.25), ול-360 יש 24 מחלקים — נוח להפליא לשברים.

מערכת בסיס 60 זו נמשכת עד היום: 60 שניות בדקה, 60 דקות בשעה ובמעלה. המספר 360 מתפרק לגורמים כ-2³ × 3² × 5, ומתחלק באופן שווה ב-2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 — חלומו של מחשבון!

• 2000 לפנה"ס: אסטרונומים בבלים עוקבים אחר מיקומים שמימיים במעלות
• 360° נבחר בשל יכולת החלוקה שלו וקירוב השנה
• בסיס 60 נותן לנו שעות (24 = 360/15) ודקות/שניות
• אסטרונומים יוונים מאמצים 360° מטבלאות בבליות

יסודות אוקלידס (300 לפנה"ס) הפכו את גיאומטריית הזוויות לרשמית — זוויות ישרות (90°), משלימות (סכום 90°), צמודות (סכום 180°). מתמטיקאים יוונים כמו היפרכוס יצרו את הטריגונומטריה תוך שימוש בטבלאות מבוססות מעלות לאסטרונומיה ומדידות.

נווטים ימי-ביניימיים השתמשו באצטרולב ובמצפן עם 32 נקודות (כל אחת 11.25°). ימאים היו זקוקים לכיוונים מדויקים; דקות קשת (1/60°) ושניות קשת (1/3600°) הופיעו עבור קטלוגי כוכבים ומפות ימיות.

• 300 לפנה"ס: יסודות אוקלידס מגדירים זוויות גיאומטריות
• 150 לפנה"ס: היפרכוס יוצר את טבלאות הטריגונומטריה הראשונות (מעלות)
• שנות ה-1200: אצטרולב משתמש בסימוני מעלות לניווט שמימי
• 1569: היטל מרקטור דורש מתמטיקה שומרת זוויות

כאשר ניוטון ולייבניץ פיתחו את החשבון הדיפרנציאלי (שנות ה-1670), המעלות הפכו לבעייתיות: d/dx(sin x) = (π/180)cos x במעלות — קבוע מכוער! רוג'ר קוטס (1682-1716) ולאונרד אוילר הפכו את הרדיאן לרשמי: זווית = אורך קשת / רדיוס. עכשיו d/dx(sin x) = cos x בצורה יפה.

ג'יימס תומסון טבע את המונח 'רדיאן' בשנת 1873 (מהמילה הלטינית 'radius'). הרדיאן הפך ליחידה המרכזית לניתוח מתמטי, פיזיקה והנדסה. עם זאת, המעלות נשארו בחיי היומיום מכיוון שבני אדם מעדיפים מספרים שלמים על פני π.

• שנות ה-1670: חשבון דיפרנציאלי חושף כי מעלות יוצרות נוסחאות מבולגנות
• 1714: רוג'ר קוטס מפתח 'מידה מעגלית' (קדם-רדיאן)
• 1748: אוילר משתמש ברדיאנים בהרחבה בניתוח
• 1873: תומסון מכנה אותו 'רדיאן'; הופך לתקן מתמטי

הארטילריה של מלחמת העולם הראשונה דרשה יחידות זווית מעשיות: המיל נולד — 1 מיל ≈ סטייה של 1 מטר במרחק של 1 ק"מ. נאט"ו תקננה 6400 מיל/מעגל (חזקה יפה של 2), בעוד שברית המועצות השתמשה ב-6000 (נוחות עשרונית). המילירדיאן האמיתי = 6283/מעגל.

אסטרונומיית עידן החלל השיגה דיוק של מילי-שניות קשת (היפרכוס, 1989), ולאחר מכן מיקרו-שניות קשת (Gaia, 2013). Gaia מודדת פרלקסה של כוכבים עד 20 מיקרו-שניות קשת — שווה ערך לצפייה בשערת אדם ממרחק 1,000 ק"מ! הפיזיקה המודרנית משתמשת ברדיאנים באופן אוניברסלי; רק הניווט והבנייה עדיין מעדיפים מעלות.

• 1916: ארטילריה צבאית מאמצת את המיל לחישובי טווח
• 1960: SI מכירה ברדיאן כיחידה נגזרת קוהרנטית
• 1989: לוויין היפרכוס: דיוק של ~1 מילי-שניית קשת
• 2013: לוויין Gaia: דיוק של 20 מיקרו-שניות קשת — ממפה מיליארד כוכבים

השתמשו במעלות עבור: זוויות יומיומיות, ניווט, מדידות, בנייה. השתמשו ברדיאנים עבור: חשבון דיפרנציאלי, משוואות פיזיקה, תכנות (פונקציות טריגונומטריות). רדיאנים הם 'טבעיים' מכיוון שאורך קשת = רדיוס × זווית. נגזרות כמו d/dx(sin x) = cos x עובדות רק ברדיאנים!

היקף המעגל = 2πr. חצי מעגל (קו ישר) = πr. הרדיאן מוגדר כאורך קשת/רדיוס. עבור חצי מעגל: קשת = πr, רדיוס = r, כך שהזווית = πr/r = π רדיאנים. לכן, π רד = 180° על פי הגדרה.

השתמשו ב-arctan: זווית = arctan(שיפוע/100). דוגמה: 10% שיפוע = arctan(0.1) ≈ 5.71°. לא פשוט להכפיל! 10% ≠ 10°. הפוך: שיפוע = tan(זווית) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% שיפוע.

דקת קשת (′) = 1/60 של מעלה (זווית). דקת זמן = 1/60 של שעה (זמן). שונים לחלוטין! באסטרונומיה, 'דקת זמן' מומרת לזווית: 1 דקה = 15 דקות קשת (מכיוון ש-24 שעות = 360°, כך ש-1 דקה = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

המיל תוכנן כך ש-1 מיל ≈ מטר אחד ב-1 ק"מ (בליסטיקה מעשית). המילירדיאן המתמטי האמיתי = 1/1000 רד ≈ 6283 למעגל. נאט"ו פישטה אותו ל-6400 (חזקה של 2, מתחלק יפה). ברית המועצות השתמשה ב-6000 (מתחלק ב-10). שוודיה 6300 (פשרה). כולם קרובים ל-2π×1000.

כן! חיובי = נגד כיוון השעון (מוסכמה מתמטית). שלילי = עם כיוון השעון. -90° = 270° (אותו מיקום, כיוון שונה). בניווט, השתמשו בטווח 0-360°. במתמטיקה/פיזיקה, זוויות שליליות נפוצות. דוגמה: -π/2 = -90° = 270°.