Tomhaiseann uillinn rothlú nó casadh idir dhá líne. Smaoinigh ar dhoras a oscailt nó ar roth a chasadh. Tomhaistear í i gcéimeanna (°), raidiain (rad), nó graid. 360° = ciorcal iomlán = rothlú iomlán amháin.

• Uillinn = méid an rothlaithe
• Ciorcal iomlán = 360° = 2π rad
• Dronuillinn = 90° = π/2 rad
• Líne dhíreach = 180° = π rad

Céimeanna: ciorcal roinnte ina 360 chuid (stairiúil). Raidiain: bunaithe ar gha an chiorcail. 2π raidiain = 360°. Tá raidiain 'nádúrtha' don mhatamaitic/fisic. π rad = 180°, mar sin 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (ciorcal iomlán)
• 180° = π rad (leathchiorcal)
• 90° = π/2 rad (dronuillinn)
• 1 rad ≈ 57.2958° (tiontú)

Graid: 100 grad = 90° (uillinn mhéadrach). Stua-mhiontuairisc/stua-shoicind: foroinntí den chéim (réalteolaíocht). Míle: loingseoireacht mhíleata (6400 míle = ciorcal). Gach aonad d'iarratas ar leith.

• Graid: 400 grad = ciorcal
• Stua-mhiontuairisc: 1′ = 1/60°
• Stua-shoicind: 1″ = 1/3600°
• Míle (NATO): 6400 míle = ciorcal

360° in aghaidh an chiorcail (bunús Bablóinise - ~360 lá/bliain). Roinnte: 1° = 60′ (stua-mhiontuairiscí) = 3600″ (stua-shoicindí). Uilíoch don loingseoireacht, suirbhéireacht, úsáid laethúil.

• 360° = ciorcal iomlán
• 1° = 60 stua-mhiontuairisc (′)
• 1′ = 60 stua-shoicind (″)
• Éasca do dhaoine, stairiúil

Raidiain: fad stua = ga. 2π rad = imlíne ciorcail/ga. Nádúrtha don chalcalas (díorthaigh sin, cos). Caighdeán fisice, innealtóireachta. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (beacht)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Nádúrtha don mhatamaitic/fisic

Graid: 400 grad = ciorcal (uillinn mhéadrach). 100 grad = dronuillinn. Míle: loingseoireacht mhíleata - úsáideann NATO 6400 míle. D'úsáid an APSS 6000. Tá caighdeáin éagsúla ann.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (dronuillinn)
• Míle (NATO): 6400 in aghaidh an chiorcail
• Míle (APSS): 6000 in aghaidh an chiorcail

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Úsáid raidiain i gcónaí sa chalcalas! Teastaíonn raidiain ó fheidhmeanna tríghairdis le haghaidh díorthach.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Éilíonn an calcalas raidiain

Baineann sin, cos, tan uillinneacha le cóimheasa. Ciorcal aonaid: ga=1, uillinn=θ. Comhordanáidí an phointe: (cos θ, sin θ). Riachtanach don fhisic, innealtóireacht, grafaicí.

• sin θ = os comhair/taobhagán
• cos θ = cóngarach/taobhagán
• tan θ = os comhair/cóngarach
• Ciorcal aonaid: (cos θ, sin θ)

Suimítear/dealatear uillinneacha de ghnáth. 45° + 45° = 90°. Rothlú iomlán: suimigh/dealaigh 360° (nó 2π). Uimhríocht mhodúlach le haghaidh timfhillte: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (suimiú gnáth)
• Timfhill: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Uillinneacha diúltacha: -90° = 270°

Bearnaí compáis: 0°=Thuaidh, 90°=Thoir, 180°=Theas, 270°=Thiar. Úsáideann míleataigh míleanna le haghaidh cruinnis. Tá 32 phointe ag an gcompás (11.25° an ceann). Úsáideann GPS céimeanna deachúla.

• Bearnaí: 0-360° ó Thuaidh
• Míle NATO: 6400 in aghaidh an chiorcail
• Pointí compáis: 32 (11.25° an ceann)
• GPS: céimeanna deachúla

Suíomhanna na réaltaí: cruinneas stua-shoicindí. Paralas: milli-shoicindí stua. Hubble: taifeach ~50 mas. Satailít Gaia: cruinneas micreashoicind stua. Uillinn uaire: 24h = 360°.

• Stua-shoicind: suíomhanna na réaltaí
• Milli-shoicind stua: paralas, VLBI
• Micreashoicind stua: satailít Gaia
• Uillinn uaire: 15°/uair

Fána: grád faoin gcéad nó uillinn. Grád 10% ≈ 5.7°. Úsáideann dearadh bóthair faoin gcéad. Úsáideann suirbhéireacht céimeanna/nóiméid/soicindí. Córas na ngraid do thíortha méadracha.

• Fána: % nó céimeanna
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Suirbhéireacht: DMS (céim-nóiméad-soicind)
• Graid: suirbhéireacht mhéadrach

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Gasta: 180° = π rad, mar sin roinn/iomadaigh leis an gcóimheas seo.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (beacht)
• 2π rad = 360° (beacht)

uillinn = arctan(fána/100). Fána 10% = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Droim ar ais: fána = tan(uillinn) × 100.

• θ = arctan(grád/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Géar: 100% = 45°

1° = 60′ (stua-mhiontuairisc). 1′ = 60″ (stua-shoicind). Iomlán: 1° = 3600″. Foroinnt ghasta le haghaidh cruinnis.

• 1° = 60 stua-mhiontuairisc
• 1′ = 60 stua-shoicind
• 1° = 3600 stua-shoicind
• DMS: céimeanna-nóiméid-soicindí

Tá grád 8% ag bóthar. Cad í an uillinn?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Fána réasúnta séimh!

Seol ar bhearna 135°. Cén treo compáis é sin?

0°=Th, 90°=Thoir, 180°=Theas, 270°=Thiar. Tá 135° idir Thoir (90°) agus Theas (180°). Treo: Oirdheisceart (OD).

Bhí réalta ag gluaiseacht 0.5 stua-shoicind. Cé mhéad céim atá ann?

1″ = 1/3600°. Mar sin 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Gluaiseacht an-bheag!

D'úsáid na Bablónaigh córas seascaidí (bonn-60). Tá go leor roinnteoirí ag 360 (24 fachtóir!). Thart ar 360 lá sa bhliain a mheaitseálann sé. Áisiúil don réalteolaíocht agus don amchoimeád. Roinneann sé go cothrom freisin ar 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Sainmhínítear raidiain le fad stua = ga. Déanann sé an calcalas álainn: d/dx(sin x) = cos x (i raidiain amháin!). I gcéimeanna, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (praiseach). 'Úsáideann' an dúlra raidiain!

Uillinn mhéadrach: 100 graid = dronuillinn. Baineadh triail as le linn Réabhlóid na Fraince leis an gcóras méadrach. Níor éirigh leis riamh—bhí na céimeanna ródhaingean. Úsáidtear é fós i roinnt suirbhéireachta (an Eilvéis, tuaisceart na hEorpa). Tá mód 'grad' ag áireamháin!

Is ionann 1 milli-shoicind stua agus leithead gruaige daonna a fheictear ó 10 km ar shiúl! Is féidir le Teileascóp Spáis Hubble thart ar 50 mas a réiteach. Cruinneas dochreidte don réalteolaíocht. Úsáidtear é chun paralas réaltach, réaltaí dénártha a thomhas.

Míle míleata: is ionann 1 míle agus leithead 1 m ag achar 1 km (NATO: 1.02 m, gar go leor). Meabhair-mhatamaitic éasca le haghaidh meastachán raoin. Úsáideann tíortha éagsúla míleanna éagsúla (6000, 6300, 6400 in aghaidh an chiorcail). Aonad bailistíochta praiticiúil!

90 = 360/4 (ceathrú casadh). Ach tagann 'dron' ón Laidin 'rectus' = díreach, ceart. Cruthaíonn dronuillinn línte ingearacha. Riachtanach don tógáil—teastaíonn dronuillinneacha ó fhoirgnimh chun seasamh!

D'úsáid na Bablónaigh córas uimhreacha seascaidí (bonn-60) don réalteolaíocht agus don amchoimeád. Roinn siad an ciorcal ina 360 chuid toisc go bhfuil 360 ≈ laethanta i mbliain (365.25 i ndáiríre), agus tá 24 roinnteoir ag 360—an-áisiúil do chodáin.

Tá an córas bonn-60 seo fós ann inniu: 60 soicind sa nóiméad, 60 nóiméad san uair agus sa chéim. Is féidir an uimhir 360 a fhachtóiriú mar 2³ × 3² × 5, ag roinnt go cothrom ar 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—aisling áireamháin!

• 2000 R.Ch.: Rianaíonn réalteolaithe Bablónacha suíomhanna neamhaí i gcéimeanna
• Roghnaíodh 360° mar gheall ar a inroinnteacht agus a neasúchán ~bliana
• Tugann bonn-60 uaireanta dúinn (24 = 360/15) agus nóiméid/soicindí
• Glacann réalteolaithe Gréagacha le 360° ó tháblaí Bablónacha

D'fhoirmigh 'Eilimintí' Euclid (300 R.Ch.) céimseata na n-uillinneacha—dronuillinneacha (90°), comhlántacha (suim go 90°), forlíontacha (suim go 180°). Chruthaigh matamaiticeoirí Gréagacha ar nós Hipparchus tríonóiméadracht ag úsáid táblaí bunaithe ar chéimeanna don réalteolaíocht agus don tsuirbhéireacht.

D'úsáid loingseoirí meánaoiseacha an astroláib agus an compás le 32 phointe (11.25° an ceann). Bhí gá ag mairnéalaigh le bearnaí cruinne; tháinig stua-mhiontuairiscí (1/60°) agus stua-shoicindí (1/3600°) chun cinn do chatalóga réaltaí agus do chairteacha loingseoireachta.

• 300 R.Ch.: Sainmhíníonn 'Eilimintí' Euclid uillinneacha céimseatúla
• 150 R.Ch.: Cruthaíonn Hipparchus na chéad táblaí tríghairdis (céimeanna)
• 1200í: Úsáideann an astroláib marcálacha céime don loingseireacht neamhaí
• 1569: Éilíonn teilgean léarscáile Mercator matamaitic a chaomhnaíonn uillinneacha

De réir mar a d'fhorbair Newton agus Leibniz an calcalas (1670í), d'éirigh céimeanna fadhbach: d/dx(sin x) = (π/180)cos x i gcéimeanna—tairiseach gránna! D'fhoirmigh Roger Cotes (1682-1716) agus Leonhard Euler an raidiain: uillinn = fad stua / ga. Anois d/dx(sin x) = cos x go hálainn.

Chum James Thomson an téarma 'raidiain' sa bhliain 1873 (ón Laidin 'radius'). Ba é an raidiain AN t-aonad don anailís mhatamaiticiúil, don fhisic, agus don innealtóireacht. Ach d'fhan céimeanna sa saol laethúil toisc gur fearr le daoine slánuimhreacha ná π.

• 1670í: Léiríonn an calcalas go gcruthaíonn céimeanna foirmlí praiseach
• 1714: Forbraíonn Roger Cotes 'tomhas ciorclach' (réamh-raidiain)
• 1748: Úsáideann Euler raidiain go forleathan san anailís
• 1873: Ainmníonn Thomson é 'raidiain'; éiríonn sé mar chaighdeán matamaitice

D'éiligh airtléire an Chéad Chogaidh Dhomhanda aonaid uillinne praiticiúla: rugadh an míle—is ionann 1 míle agus diall 1 mhéadar ag achar 1 km. Chuir NATO 6400 míle/ciorcal ar chaighdeán (cumhacht deas de 2), agus d'úsáid an APSS 6000 (áisiúlacht deachúil). Is ionann an fíor-mhilliraidiain agus 6283/ciorcal.

Bhain réalteolaíocht na spás-aoise cruinneas milli-shoicind stua amach (Hipparcos, 1989), agus ansin micreashoicindí stua (Gaia, 2013). Tomhaiseann Gaia paralas réaltach go 20 micreashoicind stua—cosúil le gruaig dhaonna a fheiceáil ó 1,000 km ar shiúl! Úsáideann an fhisic nua-aimseartha raidiain go huilíoch; níl ach an loingseoireacht agus an tógáil fós i bhfabhar céimeanna.

• 1916: Glacann airtléire míleata leis an míle le haghaidh ríomhaireachtaí raoin
• 1960: Aithníonn SI an raidiain mar aonad díorthaithe comhleanúnach
• 1989: Satailít Hipparcos: cruinneas ~1 milli-shoicind stua
• 2013: Satailít Gaia: cruinneas 20 micreashoicind stua—mapálann 1 billiún réalta

Úsáid céimeanna le haghaidh: uillinneacha laethúla, loingseoireacht, suirbhéireacht, tógáil. Úsáid raidiain le haghaidh: calcalas, cothromóidí fisice, ríomhchlárú (feidhmeanna tríghairdis). Tá raidiain 'nádúrtha' toisc go bhfuil fad stua = ga × uillinn. Ní oibríonn díorthaigh mar d/dx(sin x) = cos x ach amháin i raidiain!

Imlíne ciorcail = 2πr. Leathchiorcal (líne dhíreach) = πr. Sainmhínítear raidiain mar fhad stua/ga. Le haghaidh leathchiorcail: stua = πr, ga = r, mar sin uillinn = πr/r = π raidiain. Dá bhrí sin, is ionann π rad agus 180° de réir sainmhínithe.

Úsáid arctan: uillinn = arctan(grád/100). Sampla: grád 10% = arctan(0.1) ≈ 5.71°. NÁ hiomadaigh go simplí! 10% ≠ 10°. Droim ar ais: grád = tan(uillinn) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% grád.

Stua-mhiontuairisc (′) = 1/60 de chéim (uillinn). Nóiméad ama = 1/60 d'uair an chloig (am). Go hiomlán difriúil! Sa réalteolaíocht, tiontaítear 'nóiméad ama' go huillinn: 1 min = 15 stua-mhiontuairisc (toisc go bhfuil 24h = 360°, mar sin 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Dearadh míle ionas go mbeadh 1 míle ≈ 1 mhéadar ag 1 km (bailistíocht phraiticiúil). Is ionann an fíor-mhilliraidiain mhatamaiticiúil agus 1/1000 rad ≈ 6283 in aghaidh an chiorcail. Shimpligh NATO é go 6400 (cumhacht de 2, roinneann sé go deas). D'úsáid an APSS 6000 (roinneann sé ar 10). An tSualainn 6300 (comhréiteach). Tá siad ar fad gar do 2π×1000.

Is féidir! Dearfach = tuathal (coinbhinsiún matamaiticiúil). Diúltach = deiseal. -90° = 270° (an suíomh céanna, treo difriúil). Sa loingseoireacht, úsáid an raon 0-360°. Sa mhatamaitic/fisic, tá uillinneacha diúltacha coitianta. Sampla: -π/2 = -90° = 270°.