Вугал вымярае кручэнне або паварот паміж дзвюма лініямі. Уявіце сабе адчыненне дзвярэй або кручэнне кола. Вымяраецца ў градусах (°), радыянах (рад) або градах. 360° = поўная акружнасць = адзін поўны абарот.

• Вугал = велічыня кручэння
• Поўная акружнасць = 360° = 2π рад
• Прамы вугал = 90° = π/2 рад
• Прамая лінія = 180° = π рад

Градусы: акружнасць, падзеленая на 360 частак (гістарычна). Радыяны: заснаваны на радыусе акружнасці. 2π радыянаў = 360°. Радыяны з'яўляюцца 'натуральнымі' для матэматыкі/фізікі. π рад = 180°, таму 1 рад ≈ 57.3°.

• 360° = 2π рад (поўная акружнасць)
• 180° = π рад (палова акружнасці)
• 90° = π/2 рад (прамы вугал)
• 1 рад ≈ 57.2958° (пераўтварэнне)

Град: 100 град = 90° (метрычны вугал). Дугавая хвіліна/секунда: падраздзяленні градуса (астраномія). Тысячная: ваенная навігацыя (6400 тысячных = акружнасць). Кожная адзінка для пэўнага прымянення.

• Град: 400 град = акружнасць
• Дугавая хвіліна: 1′ = 1/60°
• Дугавая секунда: 1″ = 1/3600°
• Тысячная (NATO): 6400 тысячных = акружнасць

360° на акружнасць (вавілонскае паходжанне - ~360 дзён/год). Падраздзяляецца: 1° = 60′ (дугавых хвілін) = 3600″ (дугавых секунд). Універсальная для навігацыі, геадэзіі, штодзённага выкарыстання.

• 360° = поўная акружнасць
• 1° = 60 дугавых хвілін (′)
• 1′ = 60 дугавых секунд (″)
• Лёгка для людзей, гістарычна

Радыян: даўжыня дугі = радыус. 2π рад = даўжыня акружнасці/радыус. Натуральна для матэматычнага аналізу (вытворныя sin, cos). Стандарт у фізіцы, інжынерыі. π рад = 180°.

• 2π рад = 360° (дакладна)
• π рад = 180°
• 1 рад ≈ 57.2958°
• Натуральна для матэматыкі/фізікі

Град: 400 град = акружнасць (метрычны вугал). 100 град = прамы вугал. Тысячная: ваенная навігацыя - NATO выкарыстоўвае 6400 тысячных. СССР выкарыстоўваў 6000. Існуюць розныя стандарты.

• 400 град = 360°
• 100 град = 90° (прамы вугал)
• Тысячная (NATO): 6400 на акружнасць
• Тысячная (СССР): 6000 на акружнасць

рад = градус × π/180. градус = рад × 180/π. град = градус × 10/9. Заўсёды выкарыстоўвайце радыяны ў матэматычным аналізе! Трыганаметрычныя функцыі патрабуюць радыяны для вытворных.

• рад = градус × (π/180)
• градус = рад × (180/π)
• град = градус × (10/9)
• Матэматычны аналіз патрабуе радыяны

sin, cos, tan звязваюць вуглы з суадносінамі. Адзінкавая акружнасць: радыус=1, вугал=θ. Каардынаты пункта: (cos θ, sin θ). Істотна для фізікі, інжынерыі, графікі.

• sin θ = супрацьлеглы катэт/гіпатэнуза
• cos θ = прылеглы катэт/гіпатэнуза
• tan θ = супрацьлеглы катэт/прылеглы катэт
• Адзінкавая акружнасць: (cos θ, sin θ)

Вуглы складаюцца/адымаюцца звычайна. 45° + 45° = 90°. Поўны абарот: дадайце/адніміце 360° (або 2π). Модульная арыфметыка для 'завароту': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (звычайнае складанне)
• 'Заварот': θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Адмоўныя вуглы: -90° = 270°

Азімуты компаса: 0°=Поўнач, 90°=Усход, 180°=Поўдзень, 270°=Захад. Ваенныя выкарыстоўваюць тысячыя для дакладнасці. Компас мае 32 пункты (11.25° кожны). GPS выкарыстоўвае дзесятковыя градусы.

• Азімуты: 0-360° ад Поўначы
• Тысячная NATO: 6400 на акружнасць
• Пункты компаса: 32 (11.25° кожны)
• GPS: дзесятковыя градусы

Пазіцыі зорак: дакладнасць дугавых секунд. Паралакс: мілідугавыя секунды. Раздзяляльная здольнасць Hubble: ~50 mas. Спадарожнік Gaia: дакладнасць мікрадугавых секунд. Гадзінны вугал: 24г = 360°.

• Дугавая секунда: пазіцыі зорак
• Мілідугавая секунда: паралакс, VLBI
• Мікрадугавая секунда: спадарожнік Gaia
• Гадзінны вугал: 15°/гадзіну

Ухіл: працэнтны ўхіл або вугал. 10% ухіл ≈ 5.7°. Праектаванне дарог выкарыстоўвае працэнты. Геадэзія выкарыстоўвае градусы/хвіліны/секунды. Градавая сістэма для метрычных краін.

• Ухіл: % або градусы
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Геадэзія: ГХС (градус-хвіліна-секунда)
• Град: метрычная геадэзія

рад = градус × π/180. градус = рад × 180/π. Хутка: 180° = π рад, таму дзяліце/множце на гэты каэфіцыент.

• рад = градус × 0.01745
• градус = рад × 57.2958
• π рад = 180° (дакладна)
• 2π рад = 360° (дакладна)

вугал = arctan(ухіл/100). 10% ухіл = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Наадварот: ухіл = tan(вугал) × 100.

• θ = arctan(ухіл/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Круты: 100% = 45°

1° = 60′ (дуг. хвілін). 1′ = 60″ (дуг. секунд). Усяго: 1° = 3600″. Хуткае падраздзяленне для дакладнасці.

• 1° = 60 дугавых хвілін
• 1′ = 60 дугавых секунд
• 1° = 3600 дугавых секунд
• ГХС: градусы-хвіліны-секунды

Дарога мае ўхіл 8%. Які вугал?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Адносна невялікі ўхіл!

Рухайцеся па азімуце 135°. Які гэта кірунак компаса?

0°=Пн, 90°=Усх, 180°=Пд, 270°=Зах. 135° знаходзіцца паміж Усх (90°) і Пд (180°). Кірунак: Паўднёвы ўсход (ПУ).

Зорка зрушылася на 0.5 дугавой секунды. Колькі гэта градусаў?

1″ = 1/3600°. Таму 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Малюсенькі рух!

Вавіланяне выкарыстоўвалі шасцідзесятковую сістэму (аснова 60). У 360 шмат дзельнікаў (24 множнікі!). Прыблізна адпавядае 360 дням у годзе. Зручна для астраноміі і ўліку часу. Таксама дзеліцца без астачы на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Радыян вызначаецца як даўжыня дугі = радыус. Гэта робіць матэматычны аналіз прыгожым: d/dx(sin x) = cos x (толькі ў радыянах!). У градусах, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (складана). Прырода 'выкарыстоўвае' радыяны!

Метрычны вугал: 100 град = прамы вугал. Спрабавалі ўвесці падчас Французскай рэвалюцыі разам з метрычнай сістэмай. Не стаў папулярным — градусы занадта ўкараніліся. Усё яшчэ выкарыстоўваецца ў некаторых геадэзічных працах (Швейцарыя, паўночная Еўропа). Калькулятары маюць рэжым 'grad'!

1 мілідугавая секунда ≈ шырыня чалавечага воласа, калі глядзець з адлегласці 10 км! Касмічны тэлескоп Hubble можа распазнаваць ~50 mas. Неверагодная дакладнасць для астраноміі. Выкарыстоўваецца для вымярэння зорнага паралакса, падвойных зорак.

Ваенная тысячная: 1 тысячная ≈ 1 м шырыні на адлегласці 1 км (NATO: 1.02 м, досыць блізка). Лёгкія разумовыя разлікі для ацэнкі далёкасці. Розныя краіны выкарыстоўваюць розныя тысячыя (6000, 6300, 6400 на акружнасць). Практычная балістычная адзінка!

90 = 360/4 (чвэрць абароту). Але слова 'прамы' паходзіць ад лацінскага 'rectus' = вертыкальны, прамы. Прамы вугал утварае перпендыкулярныя лініі. Істотна для будаўніцтва — будынкам патрэбны прамыя вуглы, каб стаяць!

Вавіланяне выкарыстоўвалі шасцідзесятковую (аснова 60) сістэму лічэння для астраноміі і ўліку часу. Яны падзялілі акружнасць на 360 частак, таму што 360 ≈ колькасць дзён у годзе (насамрэч 365.25), і 360 мае 24 дзельнікі — неверагодна зручна для дробаў.

Гэтая сістэма з асновай 60 захоўваецца і сёння: 60 секунд у хвіліне, 60 хвілін у гадзіне і ў градусе. Лік 360 раскладваецца на множнікі як 2³ × 3² × 5, дзелячыся без астачы на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 — мара для калькулятара!

• 2000 да н.э.: Вавілонскія астраномы адсочваюць нябесныя пазіцыі ў градусах
• 360° абрана з-за падзельнасці і прыблізнага адпавядання году
• Аснова 60 дае нам гадзіны (24 = 360/15) і хвіліны/секунды
• Грэчаскія астраномы перанялі 360° з вавілонскіх табліц

Элементы Еўкліда (300 да н.э.) фармалізавалі геаметрыю вуглоў — прамыя вуглы (90°), дадатковыя (сума 90°), сумежныя (сума 180°). Грэчаскія матэматыкі, такія як Гіпарх, стварылі трыганаметрыю з выкарыстаннем градусных табліц для астраноміі і геадэзіі.

Сярэднявечныя навігатары выкарыстоўвалі астралябію і компас з 32 пунктамі (кожны 11.25°). Маракам патрэбны былі дакладныя азімуты; дугавыя хвіліны (1/60°) і дугавыя секунды (1/3600°) з'явіліся для зорных каталогаў і марскіх карт.

• 300 да н.э.: Элементы Еўкліда вызначаюць геаметрычныя вуглы
• 150 да н.э.: Гіпарх стварае першыя трыганаметрычныя табліцы (градусы)
• 1200-я: Астралябія выкарыстоўвае градусныя пазнакі для нябеснай навігацыі
• 1569: Праекцыя карты Меркатара патрабуе матэматыкі, якая захоўвае вуглы

Калі Ньютан і Лейбніц распрацоўвалі матэматычны аналіз (1670-я), градусы сталі праблематычнымі: d/dx(sin x) = (π/180)cos x у градусах — непрыгожая канстанта! Роджэр Котс (1682-1716) і Леанард Эйлер фармалізавалі радыян: вугал = даўжыня дугі / радыус. Цяпер d/dx(sin x) = cos x прыгожа.

Джэймс Томсан увёў тэрмін 'радыян' у 1873 годзе (ад лацінскага 'radius'). Радыян стаў асноўнай адзінкай для матэматычнага аналізу, фізікі і інжынерыі. Тым не менш, градусы захаваліся ў паўсядзённым жыцці, таму што людзі аддаюць перавагу цэлым лікам перад π.

• 1670-я: Матэматычны аналіз паказвае, што градусы ствараюць складаныя формулы
• 1714: Роджэр Котс распрацоўвае 'кругавую меру' (папярэднік радыяна)
• 1748: Эйлер шырока выкарыстоўвае радыяны ў аналізе
• 1873: Томсан называе гэта 'радыян'; становіцца матэматычным стандартам

Артылерыя Першай сусветнай вайны патрабавала практычных адзінак вымярэння вуглоў: нарадзілася тысячная — 1 тысячная ≈ 1 метр адхілення на адлегласці 1 км. NATO стандартызавала 6400 тысячных/акружнасць (добрая ступень 2), у той час як СССР выкарыстоўваў 6000 (дзесятковая зручнасць). Сапраўдны мілірадыян = 6283/акружнасць.

Астраномія касмічнай эры дасягнула дакладнасці ў мілідугавыя секунды (Hipparcos, 1989), а затым мікрадугавыя секунды (Gaia, 2013). Gaia вымярае зорны паралакс з дакладнасцю да 20 мікрадугавых секунд — эквівалентна таму, каб убачыць чалавечы волас з адлегласці 1000 км! Сучасная фізіка выкарыстоўвае радыяны паўсюдна; толькі навігацыя і будаўніцтва ўсё яшчэ аддаюць перавагу градусам.

• 1916: Ваенная артылерыя прымае тысячную для разлікаў далёкасці
• 1960: СІ прызнае радыян як кагерэнтную вытворную адзінку
• 1989: Спадарожнік Hipparcos: дакладнасць ~1 мілідугавая секунда
• 2013: Спадарожнік Gaia: дакладнасць 20 мікрадугавых секунд — картаграфуе 1 мільярд зорак

Выкарыстоўвайце градусы для: штодзённых вуглоў, навігацыі, геадэзіі, будаўніцтва. Выкарыстоўвайце радыяны для: матэматычнага аналізу, фізічных ураўненняў, праграмавання (трыганаметрычныя функцыі). Радыяны з'яўляюцца 'натуральнымі', таму што даўжыня дугі = радыус × вугал. Вытворныя, такія як d/dx(sin x) = cos x, працуюць толькі ў радыянах!

Даўжыня акружнасці = 2πr. Палова акружнасці (прамая лінія) = πr. Радыян вызначаецца як даўжыня дугі/радыус. Для паловы акружнасці: дуга = πr, радыус = r, таму вугал = πr/r = π радыянаў. Такім чынам, π рад = 180° па вызначэнні.

Выкарыстоўвайце arctan: вугал = arctan(ухіл/100). Прыклад: 10% ухіл = arctan(0.1) ≈ 5.71°. НЕ проста множце! 10% ≠ 10°. Наадварот: ухіл = tan(вугал) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% ухіл.

Дугавая хвіліна (′) = 1/60 градуса (вугал). Хвіліна часу = 1/60 гадзіны (час). Цалкам розныя! У астраноміі 'хвіліна часу' пераўтвараецца ў вугал: 1 хв = 15 дугавых хвілін (таму што 24г = 360°, таму 1 хв = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Тысячная была распрацавана так, што 1 тысячная ≈ 1 метр на 1 км (практычная балістыка). Сапраўдны матэматычны мілірадыян = 1/1000 рад ≈ 6283 на акружнасць. NATO спрасціла да 6400 (ступень 2, добра дзеліцца). СССР выкарыстоўваў 6000 (дзеліцца на 10). Швецыя 6300 (кампраміс). Усе яны блізкія да 2π×1000.

Так! Дадатны = супраць гадзіннікавай стрэлкі (матэматычная канвенцыя). Адмоўны = па гадзіннікавай стрэлцы. -90° = 270° (тая ж пазіцыя, іншы кірунак). У навігацыі выкарыстоўвайце дыяпазон 0-360°. У матэматыцы/фізіцы адмоўныя вуглы з'яўляюцца звычайнай з'явай. Прыклад: -π/2 = -90° = 270°.