任何數字系統的基礎

基數決定了使用多少個獨立數字以及位值如何增加。基數 10 使用數字 0-9。基數 2（二進位）使用 0-1。基數 16（十六進位）使用 0-9 加上 A-F。

在基數 8（八進位）中：157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

在數字系統中代表值的符號

每個基數都需要從 0 到（基數-1）的獨立符號。二進位使用 {0,1}。十進位使用 {0-9}。十六進位擴展到 {0-9, A-F}，其中 A=10...F=15。

十六進位中的 2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

在不同系統之間轉換數字

轉換涉及使用位置值擴展到十進位，然後轉換到目標基數。從任何基數到十進位：總和為 數字×基數^位置。

1011₂ → 十進位：8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

電腦的語言 - 只有 0 和 1

二進位是所有數位系統的基礎。每個電腦操作都簡化為二進位。每個數字（位元）代表開/關狀態。

• 數字：{0, 1} - 最小符號集
• 一個位元組 = 8 位元，在十進位中表示 0-255
• 2 的冪是整數：1024₁₀ = 10000000000₂
• 加法簡單：0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• 用於：CPU、記憶體、網路、數位邏輯

使用數字 0-7 的緊湊二進位表示

八進位將二進位數字以三個為一組（2³=8）。每個八進位數字 = 正好 3 個二進位位元。

• 數字：{0-7} - 不存在 8 或 9
• 每個八進位數字 = 3 個二進位位元：7₈ = 111₂
• Unix 權限：755 = rwxr-xr-x
• 歷史：早期的迷你電腦
• 現今較少見：十六進位已取代八進位

通用的人類數字系統

十進位是全球人類溝通的標準。其基數 10 的結構是從用手指計數演變而來。

• 數字：{0-9} - 十個符號
• 對人類而言自然：10 根手指
• 科學記號法使用十進位：6.022×10²³
• 貨幣、測量、日曆
• 電腦在內部轉換為二進位

程式設計師對二進位的簡寫

十六進位是緊湊表示二進位的現代標準。一個十六進位數字 = 正好 4 個位元 (2⁴=16)。

• 數字：{0-9, A-F} 其中 A=10...F=15
• 每個十六進位數字 = 4 個位元：F₁₆ = 1111₂
• 一個位元組 = 2 個十六進位數字：FF₁₆ = 255₁₀
• RGB 顏色：#FF5733 = 紅(255) 綠(87) 藍(51)
• 記憶體位址：0x7FFF8A2C

數學上最有效率的基數

三進位使用數字 {0,1,2}。是表示數字最有效率的基數（最接近 e=2.718）。

• 數學效率最佳
• 平衡三進位：{-,0,+} 對稱
• 模糊系統中的三元邏輯
• 提議用於量子計算（三進位元）

十進位的實用替代方案

基數 12 的因數（2,3,4,6）比 10（2,5）多，簡化了分數。用於時間、打、英寸/英尺。

• 時間：12 小時制時鐘、60 分鐘 (5×12)
• 英制：12 英寸 = 1 英尺
• 分數更容易：1/3 = 0.4₁₂
• 十二進位學會倡導採用

以二十為單位計數

基數 20 系統是從計算手指加腳趾演變而來。馬雅、阿茲特克、凱爾特和巴斯克等例子。

• 馬雅曆法系統
• 法語：quatre-vingts (80)
• 英語：'score' = 20
• 因紐特傳統計數法

最大字母數字基數

使用所有十進位數字（0-9）加上所有字母（A-Z）。緊湊且人類可讀。

• URL 縮短器：緊湊的連結
• 授權金鑰：軟體啟用
• 資料庫 ID：可輸入的識別碼
• 追蹤碼：包裹、訂單

古羅馬（西元前 500 年 - 西元 1500 年）

主宰歐洲 2000 年。每個符號都有固定值：I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000。

• 仍在使用：時鐘、超級盃、大綱
• 沒有零：計算困難
• 減法規則：IV=4, IX=9, XL=40
• 有限：標準最多到 3999
• 被印度-阿拉伯數字取代

古巴比倫（西元前 3000 年）

現存最古老的系統。60 有 12 個因數，使分數更容易。用於時間和角度。

• 時間：60 秒/分鐘，60 分鐘/小時
• 角度：360° 圓，60 弧分
• 可除性：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 皆可整除
• 巴比倫天文計算

每個十進位數字編碼為 4 位元

BCD 將每個十進位數字（0-9）表示為 4 位元的二進位。392 變成 0011 1001 0010。避免了浮點數錯誤。

• 金融系統：精確的十進位
• 數位時鐘和計算機
• IBM 主機：十進位單元
• 信用卡磁條

相鄰值僅相差一個位元

格雷碼確保連續數字之間只有一個位元發生變化。對於類比-數位轉換至關重要。

• 旋轉編碼器：位置感測器
• 類比-數位轉換
• 卡諾圖：邏輯簡化
• 錯誤更正碼

程式設計師每天都與多種基數打交道：

• 記憶體位址：0x7FFEE4B2A000 (十六進位)
• 位元旗標：0b10110101 (二進位)
• 顏色代碼：#FF5733 (十六進位 RGB)
• 檔案權限：chmod 755 (八進位)
• 除錯：hexdump、記憶體檢查

網路協定使用十六進位和二進位：

• MAC 位址：00:1A:2B:3C:4D:5E (十六進位)
• IPv4：192.168.1.1 = 二進位表示法
• IPv6：2001:0db8:85a3:: (十六進位)
• 子網路遮罩：255.255.255.0 = /24
• 封包檢查：Wireshark 十六進位

二進位層級的硬體設計：

• 邏輯閘：AND, OR, NOT 二進位
• CPU 暫存器：64 位元 = 16 個十六進位數字
• 組合語言：十六進位的操作碼
• FPGA 程式設計：二進位流
• 硬體除錯：邏輯分析儀

數論探索各種屬性：

• 模數運算：各種基數
• 密碼學：RSA、橢圓曲線
• 碎形生成：康托爾集三進位
• 質數模式
• 組合數學：計數模式

使用位置值展開：

• 識別基數和數字
• 從右到左分配位置 (0, 1, 2...)
• 將數字轉換為十進位值
• 相乘：數字 × 基數^位置
• 將所有項相加

重複除以目標基數：

• 將數字除以目標基數
• 記錄餘數（最右邊的數字）
• 再次將商數除以基數
• 重複直到商數為 0
• 從下到上讀取餘數

將二進位位元分組：

• 二進位 → 十六進位：以 4 位元為一組
• 二進位 → 八進位：以 3 位元為一組
• 十六進位 → 二進位：將每個數字擴展為 4 位元
• 八進位 → 二進位：每個數字擴展為 3 位元
• 完全跳過十進位轉換！

常見轉換的技巧：

• 2 的冪：記住 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• 十六進位：F=15, FF=255, FFF=4095
• 八進位 777 = 二進位 111111111
• 加倍/減半：移動二進位
• 使用計算機的程式設計師模式

每當你看時鐘，你都在使用一個有 5000 年歷史的巴比倫基數 60 系統。他們選擇 60 是因為它有 12 個因數，使分數計算更容易。

1999 年，NASA 價值 1.25 億美元的火星探測者號因單位轉換錯誤而摧毀——一個團隊使用英制單位，另一個使用公制單位。這是在精確性方面一個代價高昂的教訓。

羅馬數字沒有零也沒有負數。這使得高等數學幾乎不可能，直到印度-阿拉伯數字（0-9）徹底改變了數學。

阿波羅導引電腦以八進位（基數 8）顯示所有內容。太空人背誦了將人類送上月球的程式的八進位代碼。

RGB 顏色代碼使用十六進位：#RRGGBB，其中每個值為 00-FF (0-255)。這在 24 位元全彩中提供了 256³ = 16,777,216 種可能的顏色。

蘇聯研究人員在 1950-70 年代建造了三進位（基數 3）電腦。Setun 電腦使用 -1, 0, +1 邏輯而非二進位。最終二進位基礎設施獲勝。

二進位完美對應電子電路：開/關、高/低電壓。雙態系統可靠、快速且易於製造。十進位需要 10 個不同的電壓等級，會使電路變得複雜且容易出錯。

記住 16 個十六進位到二進位的對應（0=0000...F=1111）。獨立轉換每個十六進位數字：A5₁₆ = 1010|0101₂。從右邊將二進位以 4 個為一組反向轉換：110101₂ = 35₁₆。不需要十進位！

對於程式設計（記憶體位址、位元運算）、網路（IP 位址、MAC 位址）、除錯（記憶體傾印）、數位電子學（邏輯設計）和安全（密碼學、雜湊）至關重要。

十六進位與位元組邊界對齊（8 位元 = 2 個十六進位數字），而八進位則不對齊（8 位元 = 2.67 個八進位數字）。現代電腦是以位元組為導向的，這使得十六進位更方便。只有 Unix 檔案權限讓八進位保持了相關性。

沒有簡單的直接方法。八進位以 3 個位元分組，十六進位以 4 個位元分組。必須通過二進位轉換：八進位→二進位 (3 位元)→十六進位 (4 位元)。例如：52₈ = 101010₂ = 2A₁₆。或者使用十進位作為中介。

傳統和美學。用於正式場合（超級盃、電影）、區分（大綱）、永恆性（沒有世紀歧義）和設計優雅。計算不實用，但在文化上持續存在。

每個基數都有嚴格的規則。基數 8 不能包含 8 或 9。如果你寫 189₈，它是無效的。轉換器會拒絕它。程式語言會強制執行此規則：'09' 在八進位上下文中會導致錯誤。

基數 1（一進位）使用一個符號（計數符號）。不是真正的位置性：5 = '11111'（五個標記）。用於原始計數但不實用。笑話：一進位是最簡單的基數 - 只要一直數下去就好！