Bir açı, iki çizgi arasındaki dönüşü veya dönmeyi ölçer. Bir kapıyı açmayı veya bir tekerleği döndürmeyi düşünün. Derece (°), radyan (rad) veya gradyan cinsinden ölçülür. 360° = tam daire = bir tam dönüş.

• Açı = dönüş miktarı
• Tam daire = 360° = 2π rad
• Dik açı = 90° = π/2 rad
• Düz çizgi = 180° = π rad

Derece: dairenin 360 parçaya bölünmesi (tarihsel). Radyan: daire yarıçapına dayalı. 2π radyan = 360°. Radyanlar matematik/fizik için 'doğal'dır. π rad = 180°, bu yüzden 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (tam daire)
• 180° = π rad (yarım daire)
• 90° = π/2 rad (dik açı)
• 1 rad ≈ 57.2958° (dönüşüm)

Gradyan: 100 grad = 90° (metrik açı). Arkdakika/arksaniye: derecenin alt bölümleri (astronomi). Milyem: askeri navigasyon (6400 milyem = daire). Her birim özel bir uygulama içindir.

• Gradyan: 400 grad = daire
• Arkdakika: 1′ = 1/60°
• Arksaniye: 1″ = 1/3600°
• Milyem (NATO): 6400 mil = daire

Daire başına 360° (Babil kökenli - ~360 gün/yıl). Alt bölümleri: 1° = 60′ (arkdakika) = 3600″ (arksaniye). Navigasyon, ölçme, günlük kullanım için evrenseldir.

• 360° = tam daire
• 1° = 60 arkdakika (′)
• 1′ = 60 arksaniye (″)
• İnsanlar için kolay, tarihsel

Radyan: yay uzunluğu = yarıçap. 2π rad = daire çevresi/yarıçap. Kalkülüs için doğal (sin, cos türevleri). Fizik, mühendislik standardı. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (tam)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Matematik/fizik için doğal

Gradyan: 400 grad = daire (metrik açı). 100 grad = dik açı. Milyem: askeri navigasyon - NATO 6400 milyem kullanır. SSCB 6000 kullanırdı. Farklı standartlar mevcuttur.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (dik açı)
• Milyem (NATO): daire başına 6400
• Milyem (USSR): daire başına 6000

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Kalkülüste daima radyan kullanın! Trigonometrik fonksiyonların türevleri için radyan gereklidir.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Kalkülüs radyan gerektirir

sin, cos, tan açıları oranlarla ilişkilendirir. Birim çember: yarıçap=1, açı=θ. Nokta koordinatları: (cos θ, sin θ). Fizik, mühendislik, grafikler için esastır.

• sin θ = karşı/hipotenüs
• cos θ = komşu/hipotenüs
• tan θ = karşı/komşu
• Birim çember: (cos θ, sin θ)

Açılar normal olarak toplanır/çıkarılır. 45° + 45° = 90°. Tam dönüş: 360° (veya 2π) ekleyin/çıkarın. Sarma için modülo aritmetiği: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normal toplama)
• Sarma: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negatif açılar: -90° = 270°

Pusula kerterizleri: 0°=Kuzey, 90°=Doğu, 180°=Güney, 270°=Batı. Askeri hassasiyet için milyem kullanır. Pusulada 32 nokta (her biri 11.25°) bulunur. GPS ondalık dereceleri kullanır.

• Kerterizler: Kuzeyden 0-360°
• NATO milyem: daire başına 6400
• Pusula noktaları: 32 (her biri 11.25°)
• GPS: ondalık dereceler

Yıldız konumları: arksaniye hassasiyeti. Paralaks: miliarksaniye. Hubble: ~50 mas çözünürlük. Gaia uydusu: mikroarksaniye hassasiyeti. Saat açısı: 24sa = 360°.

• Arksaniye: yıldız konumları
• Miliarksaniye: paralaks, VLBI
• Mikroarksaniye: Gaia uydusu
• Saat açısı: 15°/saat

Eğim: yüzde derece veya açı. %10 eğim ≈ 5.7°. Yol tasarımında yüzde kullanılır. Ölçmede derece/dakika/saniye kullanılır. Metrik ülkeler için gradyan sistemi.

• Eğim: % veya derece
• %10 ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Ölçme: DMS (derece-dakika-saniye)
• Gradyan: metrik ölçme

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Hızlı: 180° = π rad, bu yüzden bu oranla bölün/çarpın.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (tam)
• 2π rad = 360° (tam)

açı = arctan(eğim/100). %10 eğim = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Tersi: eğim = tan(açı) × 100.

• θ = arctan(eğim derecesi/100)
• %10 → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Dik: %100 = 45°

1° = 60′ (arkdakika). 1′ = 60″ (arksaniye). Toplam: 1° = 3600″. Hassasiyet için hızlı alt bölümlendirme.

• 1° = 60 arkdakika
• 1′ = 60 arksaniye
• 1° = 3600 arksaniye
• DMS: derece-dakika-saniye

Yolun %8 eğimi var. Açı nedir?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Nispeten yumuşak bir eğim!

135° kerterizle seyredin. Bu hangi pusula yönüdür?

0°=K, 90°=D, 180°=G, 270°=B. 135° D (90°) ile G (180°) arasındadır. Yön: Güneydoğu (SE).

Bir yıldız 0.5 arksaniye hareket etti. Bu kaç derecedir?

1″ = 1/3600°. Bu yüzden 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Çok küçük bir hareket!

Babilliler 60'lık (seksagesimal) sistemi kullandılar. 360'ın birçok böleni vardır (24 faktör!). Bir yıldaki yaklaşık 360 güne denk gelir. Astronomi ve zaman tutma için uygundur. Ayrıca 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... gibi sayılara tam bölünür.

Radyan, yay uzunluğu = yarıçap olarak tanımlanır. Bu, kalkülüsü güzelleştirir: d/dx(sin x) = cos x (sadece radyan cinsinden!). Derece cinsinden, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (karmaşık). Doğa 'radyanları' kullanır!

Metrik açı: 100 grad = dik açı. Fransız Devrimi sırasında metrik sistemle birlikte denendi. Hiçbir zaman popüler olmadı—dereceler çok kökleşmişti. Hala bazı ölçme işlerinde (İsviçre, Kuzey Avrupa) kullanılır. Hesap makinelerinde 'grad' modu vardır!

1 miliarksaniye ≈ 10 km uzaklıktan bakılan bir insan saçının genişliği! Hubble Uzay Teleskobu ~50 mas çözebilir. Astronomi için inanılmaz bir hassasiyet. Yıldız paralaksını, çift yıldızları ölçmek için kullanılır.

Askeri milyem: 1 milyem ≈ 1 km mesafede 1 m genişlik (NATO: 1.02 m, yeterince yakın). Menzil tahmini için kolay zihinsel matematik. Farklı ülkeler farklı milyemler kullanır (daire başına 6000, 6300, 6400). Pratik bir balistik birimi!

90 = 360/4 (çeyrek dönüş). Ama 'dik' (right) Latince 'rectus' = dik, düz kelimesinden gelir. Dik açı dikey çizgiler oluşturur. İnşaat için esastır—binaların ayakta durabilmesi için dik açılara ihtiyacı vardır!

Babilliler, astronomi ve zaman tutma için altmışlık (60 tabanlı) bir sayı sistemi kullandılar. Daireyi 360 parçaya böldüler çünkü 360 ≈ bir yıldaki gün sayısı (aslında 365.25) ve 360'ın 24 böleni vardır—kesirler için inanılmaz derecede uygundur.

Bu 60 tabanlı sistem günümüzde de devam etmektedir: dakika başına 60 saniye, saat ve derece başına 60 dakika. 360 sayısı 2³ × 3² × 5 olarak çarpanlarına ayrılır ve 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180'e tam bölünür—bir hesap makinesi rüyası!

• MÖ 2000: Babilli gökbilimciler gök cisimlerinin konumlarını derece cinsinden takip ediyor
• 360° bölünebilirliği ve ~yıl yaklaşımı için seçildi
• 60'lık taban bize saatleri (24 = 360/15) ve dakikaları/saniyeleri verir
• Yunan gökbilimciler 360°'yi Babil tablolarından benimsedi

Öklid'in Elemanları (MÖ 300) açı geometrisini resmileştirdi—dik açılar (90°), tümler (toplamı 90°), bütünler (toplamı 180°). Hipparkos gibi Yunan matematikçiler, astronomi ve ölçme için derece tabanlı tablolar kullanarak trigonometriyi yarattılar.

Orta Çağ denizcileri usturlap ve 32 noktalı (her biri 11.25°) pusulayı kullandılar. Denizcilerin hassas kerterizlere ihtiyacı vardı; arkdakika (1/60°) ve arksaniye (1/3600°) yıldız katalogları ve deniz haritaları için ortaya çıktı.

• MÖ 300: Öklid'in Elemanları geometrik açıları tanımlar
• MÖ 150: Hipparkos ilk trigonometri tablolarını (derece) oluşturur
• 1200'ler: Usturlap göksel navigasyon için derece işaretlerini kullanır
• 1569: Merkatör harita projeksiyonu açı koruyan matematik gerektirir

Newton ve Leibniz kalkülüsü geliştirirken (1670'ler), dereceler sorunlu hale geldi: derece cinsinden d/dx(sin x) = (π/180)cos x—çirkin bir sabit! Roger Cotes (1682-1716) ve Leonhard Euler radyanı resmileştirdi: açı = yay uzunluğu / yarıçap. Şimdi d/dx(sin x) = cos x güzel bir şekilde.

James Thomson 1873'te 'radyan' terimini (Latince 'radius'tan) icat etti. Radyan, matematiksel analiz, fizik ve mühendislik için standart birim haline geldi. Ancak dereceler, insanlar π yerine tam sayıları tercih ettikleri için günlük hayatta varlığını sürdürdü.

• 1670'ler: Kalkülüs, derecelerin karmaşık formüller yarattığını ortaya koyuyor
• 1714: Roger Cotes 'dairesel ölçü' (radyan öncesi) geliştirir
• 1748: Euler analizde radyanları yaygın olarak kullanır
• 1873: Thomson ona 'radyan' adını verir; matematik standardı olur

Birinci Dünya Savaşı topçuları pratik açı birimleri talep etti: milyem doğdu—1 milyem ≈ 1 km mesafede 1 metrelik sapma. NATO, 6400 milyem/daireyi (güzel bir 2'nin kuvveti) standartlaştırırken, SSCB 6000 (ondalık kolaylık) kullandı. Gerçek miliradyan = 6283/daire.

Uzay çağı astronomisi miliarksaniye hassasiyetine (Hipparcos, 1989), ardından mikroarksaniye hassasiyetine (Gaia, 2013) ulaştı. Gaia, yıldız paralaksını 20 mikroarksaniyeye kadar ölçer—bu, 1.000 km uzaklıktan bir insan saçı görmeye eşdeğerdir! Modern fizik evrensel olarak radyanları kullanır; sadece navigasyon ve inşaat hala dereceleri tercih eder.

• 1916: Askeri topçu menzil hesaplamaları için milyemi benimser
• 1960: SI, radyanı tutarlı bir türetilmiş birim olarak tanır
• 1989: Hipparcos uydusu: ~1 miliarksaniye hassasiyet
• 2013: Gaia uydusu: 20 mikroarksaniye hassasiyet—1 milyar yıldızı haritalar

Dereceyi şunlar için kullanın: günlük açılar, navigasyon, ölçme, inşaat. Radyanı şunlar için kullanın: kalkülüs, fizik denklemleri, programlama (trigonometrik fonksiyonlar). Radyanlar 'doğal'dır çünkü yay uzunluğu = yarıçap × açı. d/dx(sin x) = cos x gibi türevler sadece radyan cinsinden çalışır!

Daire çevresi = 2πr. Yarım daire (düz çizgi) = πr. Radyan, yay uzunluğu/yarıçap olarak tanımlanır. Yarım daire için: yay = πr, yarıçap = r, bu yüzden açı = πr/r = π radyan. Bu nedenle tanım gereği π rad = 180°.

Arctan kullanın: açı = arctan(eğim derecesi/100). Örnek: %10 eğim = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Sadece çarpmakla olmaz! %10 ≠ 10°. Tersi: eğim derecesi = tan(açı) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = %100 eğim.

Arkdakika (′) = bir derecenin 1/60'ı (açı). Zaman dakikası = bir saatin 1/60'ı (zaman). Tamamen farklı! Astronomide 'zaman dakikası' açıya dönüştürülür: 1 dak = 15 arkdakika (çünkü 24sa = 360°, bu yüzden 1 dak = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Milyem, 1 milyem ≈ 1 km'de 1 metre (pratik balistik) olacak şekilde tasarlandı. Gerçek matematiksel miliradyan = 1/1000 rad ≈ daire başına 6283. NATO bunu 6400'e basitleştirdi (2'nin bir kuvveti, güzel bölünür). SSCB 6000 (10'a bölünür) kullandı. İsveç 6300 (uzlaşma). Hepsi 2π×1000'e yakındır.

Evet! Pozitif = saat yönünün tersi (matematiksel gelenek). Negatif = saat yönü. -90° = 270° (aynı konum, farklı yön). Navigasyonda 0-360° aralığı kullanılır. Matematik/fizikte negatif açılar yaygındır. Örnek: -π/2 = -90° = 270°.