Konverter Sudut
Sudut — Saka Derajat menyang Mikrodetik busur
Kuasani unit sudut ing matematika, astronomi, navigasi, lan teknik. Saka derajat menyang radian, menit busur menyang mil, mangerteni rotasi lan apa tegese angka ing aplikasi nyata.
Dasar-dasar Sudut
Apa iku Sudut?
Sudut ngukur rotasi utawa puteran antarane rong garis. Bayangna mbukak lawang utawa muter roda. Diukur ing derajat (°), radian (rad), utawa gradian. 360° = bunderan penuh = siji rotasi lengkap.
- Sudut = jumlah rotasi
- Bunderan penuh = 360° = 2π rad
- Sudut siku-siku = 90° = π/2 rad
- Garis lurus = 180° = π rad
Derajat vs Radian
Derajat: bunderan dipara dadi 360 bagean (historis). Radian: adhedhasar jari-jari bunderan. 2π radian = 360°. Radian iku 'alami' kanggo matematika/fisika. π rad = 180°, dadi 1 rad ≈ 57,3°.
- 360° = 2π rad (bunderan penuh)
- 180° = π rad (setengah bunderan)
- 90° = π/2 rad (sudut siku-siku)
- 1 rad ≈ 57,2958° (konversi)
Unit Sudut Liyane
Gradian: 100 grad = 90° (sudut metrik). Menit/detik busur: subdivisi saka derajat (astronomi). Mil: navigasi militer (6400 mil = bunderan). Saben unit kanggo aplikasi tartamtu.
- Gradian: 400 grad = bunderan
- Menit busur: 1′ = 1/60°
- Detik busur: 1″ = 1/3600°
- Mil (NATO): 6400 mil = bunderan
- Bunderan penuh = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (setengah bunderan)
- 1 rad ≈ 57,3°, 1° ≈ 0,01745 rad
- Radian alami kanggo kalkulus/fisika
Sistem Unit Dijelasake
Sistem Derajat
360° saben bunderan (asal Babilonia - ~360 dina/taun). Dibagi maneh: 1° = 60′ (menit busur) = 3600″ (detik busur). Universal kanggo navigasi, survei, panggunaan saben dina.
- 360° = bunderan penuh
- 1° = 60 menit busur (′)
- 1′ = 60 detik busur (″)
- Gampang kanggo manungsa, historis
Sistem Radian
Radian: dawa busur = jari-jari. 2π rad = keliling bunderan/jari-jari. Alami kanggo kalkulus (turunan sin, cos). Standar fisika, teknik. π rad = 180°.
- 2π rad = 360° (tepat)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57,2958°
- Alami kanggo matematika/fisika
Gradian & Militer
Gradian: 400 grad = bunderan (sudut metrik). 100 grad = sudut siku-siku. Mil: navigasi militer - NATO nggunakake 6400 mil. Uni Soviet nggunakake 6000. Standar sing beda ana.
- 400 grad = 360°
- 100 grad = 90° (sudut siku-siku)
- Mil (NATO): 6400 saben bunderan
- Mil (Uni Soviet): 6000 saben bunderan
Matematika Sudut
Konversi Kunci
rad = der × π/180. der = rad × 180/π. grad = der × 10/9. Tansah gunakake radian ing kalkulus! Fungsi trigonometri mbutuhake radian kanggo turunan.
- rad = der × (π/180)
- der = rad × (180/π)
- grad = der × (10/9)
- Kalkulus mbutuhake radian
Trigonometri
sin, cos, tan nyambungake sudut karo rasio. Bunderan satuan: jari-jari=1, sudut=θ. Koordinat titik: (cos θ, sin θ). Penting kanggo fisika, teknik, grafis.
- sin θ = ngarep/miring
- cos θ = samping/miring
- tan θ = ngarep/samping
- Bunderan satuan: (cos θ, sin θ)
Penjumlahan Sudut
Sudut dijumlahake/dikurangi kanthi normal. 45° + 45° = 90°. Rotasi penuh: tambah/kurangi 360° (utawa 2π). Aritmetika modulo kanggo pambungkusan: 370° = 10°.
- θ₁ + θ₂ (penjumlahan normal)
- Bungkus: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- Sudut negatif: -90° = 270°
Sudut Umum
| Sudut | Derajat | Radian | Cathetan |
|---|---|---|---|
| Nol | 0° | 0 rad | Ora ana rotasi |
| Lancip | 30° | π/6 | Segitiga padha sisih |
| Lancip | 45° | π/4 | Setengah sudut siku-siku |
| Lancip | 60° | π/3 | Segitiga padha sisih |
| Siku-siku | 90° | π/2 | Tegak lurus, seprapat puteran |
| Tumpul | 120° | 2π/3 | Interior segi enem |
| Tumpul | 135° | 3π/4 | Eksterior segi wolu |
| Lurus | 180° | π | Setengah bunderan, garis lurus |
| Refleks | 270° | 3π/2 | Telung prapat puteran |
| Penuh | 360° | 2π | Rotasi lengkap |
| Detik busur | 1″ | 4,85 µrad | Presisi astronomi |
| Milidetik busur | 0,001″ | 4,85 nrad | Resolusi Hubble |
| Mikrodetik busur | 0,000001″ | 4,85 prad | Satelit Gaia |
Ekuivalen Sudut
| Deskripsi | Derajat | Radian | Gradian |
|---|---|---|---|
| Bunderan penuh | 360° | 2π ≈ 6,283 | 400 grad |
| Setengah bunderan | 180° | π ≈ 3,142 | 200 grad |
| Sudut siku-siku | 90° | π/2 ≈ 1,571 | 100 grad |
| Siji radian | ≈ 57,296° | 1 rad | ≈ 63,662 grad |
| Siji derajat | 1° | ≈ 0,01745 rad | ≈ 1,111 grad |
| Siji gradian | 0,9° | ≈ 0,01571 rad | 1 grad |
| Menit busur | 1/60° | ≈ 0,000291 rad | 1/54 grad |
| Detik busur | 1/3600° | ≈ 0,00000485 rad | 1/3240 grad |
| Mil NATO | 0,05625° | ≈ 0,000982 rad | 0,0625 grad |
Aplikasi Donya Nyata
Navigasi
Bantalan kompas: 0°=Lor, 90°=Wetan, 180°=Kidul, 270°=Kulon. Militer nggunakake mil kanggo presisi. Kompas duwe 32 titik (saben 11,25°). GPS nggunakake derajat desimal.
- Bantalan: 0-360° saka Lor
- Mil NATO: 6400 saben bunderan
- Titik kompas: 32 (saben 11,25°)
- GPS: derajat desimal
Astronomi
Posisi lintang: presisi detik busur. Paralaks: milidetik busur. Hubble: resolusi ~50 mas. Satelit Gaia: presisi mikrodetik busur. Sudut jam: 24 jam = 360°.
- Detik busur: posisi lintang
- Milidetik busur: paralaks, VLBI
- Mikrodetik busur: satelit Gaia
- Sudut jam: 15°/jam
Teknik & Survei
Kemiringan: persentase kemiringan utawa sudut. 10% kemiringan ≈ 5,7°. Desain dalan nggunakake persen. Survei nggunakake derajat/menit/detik. Sistem gradian kanggo negara-negara metrik.
- Kemiringan: % utawa derajat
- 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
- Survei: DMS (derajat-menit-detik)
- Gradian: survei metrik
Matematika Cepet
Derajat ↔ Radian
rad = der × π/180. der = rad × 180/π. Cepet: 180° = π rad, dadi dibagi/dikalikan karo rasio iki.
- rad = der × 0,01745
- der = rad × 57,2958
- π rad = 180° (tepat)
- 2π rad = 360° (tepat)
Kemiringan menyang Sudut
sudut = arctan(kemiringan/100). 10% kemiringan = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Walikane: kemiringan = tan(sudut) × 100.
- θ = arctan(kemiringan/100)
- 10% → arctan(0,1) = 5,71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- Curam: 100% = 45°
Menit busur
1° = 60′ (menit busur). 1′ = 60″ (detik busur). Total: 1° = 3600″. Subdivisi cepet kanggo presisi.
- 1° = 60 menit busur
- 1′ = 60 detik busur
- 1° = 3600 detik busur
- DMS: derajat-menit-detik
Cara Kerja Konversi
- Langkah 1: Sumber → derajat
- Langkah 2: Derajat → target
- Radian: der × (π/180)
- Kemiringan: arctan(kemiringan/100)
- Menit busur: der × 60
Konversi Umum
| Saka | Menyang | Rumus | Conto |
|---|---|---|---|
| Derajat | Radian | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| Radian | Derajat | × 180/π | π rad = 180° |
| Derajat | Gradian | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| Derajat | Menit busur | × 60 | 1° = 60′ |
| Menit busur | Detik busur | × 60 | 1′ = 60″ |
| Derajat | Puteran | ÷ 360 | 180° = 0,5 puteran |
| % kemiringan | Derajat | arctan(x/100) | 10% ≈ 5,71° |
| Derajat | Mil (NATO) | × 17,778 | 1° ≈ 17,78 mil |
Conto Cepet
Masalah sing Diselesaiake
Kemiringan Dalan
Dalan duwe kemiringan 8%. Pira sudute?
θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Kemiringan sing relatif landai!
Bantalan Kompas
Navigasi kanthi bantalan 135°. Arah kompas apa iku?
0°=Lor, 90°=Wetan, 180°=Kidul, 270°=Kulon. 135° ana ing antarane Wetan (90°) lan Kidul (180°). Arah: Kidul-Wetan (SE).
Posisi Lintang
Lintang obah 0,5 detik busur. Pira derajat iku?
1″ = 1/3600°. Dadi 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Obah sing cilik banget!
Kesalahan Umum
- **Mode radian**: Kalkulator ing mode derajat nalika nggunakake radian = salah! Priksa mode. sin(π) ing mode derajat ≠ sin(π) ing mode radian.
- **Aproksimasi π**: π ≠ 3,14 persis. Gunakake tombol π utawa Math.PI. 180° = π rad persis, dudu 3,14 rad.
- **Sudut negatif**: -90° ≠ ora valid! Negatif = searah jarum jam. -90° = 270° (obah searah jarum jam saka 0°).
- **Kebingungan kemiringan**: 10% kemiringan ≠ 10°! Kudu nggunakake arctan. 10% ≈ 5,71°, dudu 10°. Kesalahan umum!
- **Menit busur ≠ menit wektu**: 1′ (menit busur) = 1/60°. 1 menit (wektu) = beda! Aja bingung.
- **Rotasi penuh**: 360° = 0° (posisi sing padha). Sudut iku siklik. 370° = 10°.
Fakta Menarik
Napa 360 Derajat?
Wong Babilonia nggunakake sistem basis-60 (seksagesimal). 360 duwe akeh pembagi (24 faktor!). Kira-kira cocog karo 360 dina ing setahun. Gampang kanggo astronomi lan pencathetan wektu. Uga bisa dibagi rata dening 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...
Radian iku Alami
Radian ditemtokake dening dawa busur = jari-jari. Nggawe kalkulus dadi apik: d/dx(sin x) = cos x (mung ing radian!). Ing derajat, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (ruwet). Alam 'nggunakake' radian!
Gradian Meh Populer
Sudut metrik: 100 grad = sudut siku-siku. Dicoba nalika Revolusi Prancis karo sistem metrik. Ora tau populer—derajat wis kebacut mendarah daging. Isih digunakake ing sawetara survei (Swiss, Eropa lor). Kalkulator duwe mode 'grad'!
Milidetik busur = Rambut Manungsa
1 milidetik busur ≈ ambane rambut manungsa sing dideleng saka jarak 10 km! Teleskop Luar Angkasa Hubble bisa mbedakake ~50 mas. Presisi luar biasa kanggo astronomi. Digunakake kanggo ngukur paralaks lintang, lintang biner.
Mil kanggo Artileri
Mil militer: 1 mil ≈ ambane 1 m ing jarak 1 km (NATO: 1,02 m, cukup cedhak). Matematika mental sing gampang kanggo estimasi jangkauan. Negara sing beda nggunakake mil sing beda (6000, 6300, 6400 saben bunderan). Unit balistik praktis!
Sudut Siku-siku = 90°, Napa?
90 = 360/4 (seprapat puteran). Nanging 'siku-siku' (right) asale saka basa Latin 'rectus' = jejeg, lurus. Sudut siku-siku nggawe garis jejeg. Penting kanggo konstruksi—bangunan mbutuhake sudut siku-siku kanggo ngadeg!
Evolusi Pangukuran Sudut
Saka astronomi Babilonia kuno nganti presisi satelit modern, pangukuran sudut wis ngalami evolusi saka pencathetan wektu praktis dadi dhasar kalkulus lan mekanika kuantum. Bunderan 360 derajat, sawijining konvensi umur 4.000 taun, isih dominan sanajan keanggunan matematis radian.
2000 SM - 300 SM
Wong Babilonia nggunakake sistem wilangan seksagesimal (basis-60) kanggo astronomi lan pencathetan wektu. Dheweke mbagi bunderan dadi 360 bagean amarga 360 ≈ dina ing setahun (sejatine 365,25), lan 360 duwe 24 pembagi—banget gampang kanggo pecahan.
Sistem basis-60 iki isih ana nganti saiki: 60 detik saben menit, 60 menit saben jam lan saben derajat. Angka 360 difaktorake dadi 2³ × 3² × 5, bisa dibagi rata dening 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—impene kalkulator!
- 2000 SM: Astronom Babilonia nglacak posisi langit ing derajat
- 360° dipilih amarga bisa dibagi lan aproksimasi ~taun
- Basis-60 menehi kita jam (24 = 360/15) lan menit/detik
- Astronom Yunani ngadopsi 360° saka tabel Babilonia
300 SM - 1600 M
Elemen Euclid (300 SM) mformalake geometri sudut—sudut siku-siku (90°), komplementer (jumlah 90°), suplementer (jumlah 180°). Matematikawan Yunani kaya Hipparchus nggawe trigonometri nggunakake tabel adhedhasar derajat kanggo astronomi lan survei.
Navigator abad pertengahan nggunakake astrolab lan kompas kanthi 32 titik (saben 11,25°). Pelaut mbutuhake bantalan sing tepat; menit busur (1/60°) lan detik busur (1/3600°) muncul kanggo katalog lintang lan peta laut.
- 300 SM: Elemen Euclid nemtokake sudut geometris
- 150 SM: Hipparchus nggawe tabel trigonometri pisanan (derajat)
- 1200-an: Astrolab nggunakake tandha derajat kanggo navigasi langit
- 1569: Proyeksi peta Mercator mbutuhake matematika sing njaga sudut
1600-an - 1800-an
Nalika Newton lan Leibniz ngembangake kalkulus (1670-an), derajat dadi masalah: d/dx(sin x) = (π/180)cos x ing derajat—konstanta sing ala! Roger Cotes (1682-1716) lan Leonhard Euler mformalake radian: sudut = dawa busur / jari-jari. Saiki d/dx(sin x) = cos x kanthi apik.
James Thomson nggawe istilah 'radian' ing taun 1873 (saka basa Latin 'radius'). Radian dadi UNIT kanggo analisis matematis, fisika, lan teknik. Nanging derajat tetep ana ing urip saben dina amarga manungsa luwih seneng wilangan wutuh tinimbang π.
- 1670-an: Kalkulus nuduhake yen derajat nggawe rumus sing ruwet
- 1714: Roger Cotes ngembangake 'ukuran bunder' (pra-radian)
- 1748: Euler nggunakake radian kanthi ekstensif ing analisis
- 1873: Thomson menehi jeneng 'radian'; dadi standar matematika
1900-an - Saiki
Artileri Perang Dunia I nuntut unit sudut praktis: mil lair—1 mil ≈ deviasi 1 meter ing jarak 1 km. NATO nggawe standar 6400 mil/bunderan (pangkat 2 sing apik), dene Uni Soviet nggunakake 6000 (kenyamanan desimal). Miliradian sejati = 6283/bunderan.
Astronomi jaman antariksa nggayuh presisi milidetik busur (Hipparcos, 1989), banjur mikrodetik busur (Gaia, 2013). Gaia ngukur paralaks lintang nganti 20 mikrodetik busur—padha karo ndeleng rambut manungsa saka jarak 1.000 km! Fisika modern nggunakake radian kanthi universal; mung navigasi lan konstruksi sing isih seneng derajat.
- 1916: Artileri militer ngadopsi mil kanggo perhitungan jangkauan
- 1960: SI ngakoni radian minangka unit turunan koheren
- 1989: Satelit Hipparcos: presisi ~1 milidetik busur
- 2013: Satelit Gaia: presisi 20 mikrodetik busur—metakake 1 milyar lintang
Tips Pro
- **Radian cepet**: π rad = 180°. Setengah bunderan! Dadi π/2 = 90°, π/4 = 45°.
- **Matematika mental kemiringan**: Kemiringan cilik: kemiringan% ≈ sudut° × 1,75. (10% ≈ 5,7°)
- **Menit busur**: 1° = 60′. Jempol sampeyan ing dawane lengen ≈ ambane 2° ≈ 120′.
- **Negatif = searah jarum jam**: Sudut positif berlawanan arah jarum jam. -90° = 270° searah jarum jam.
- **Pambungkusan modulo**: Tambah/kurangi 360° kanthi bebas. 370° = 10°, -90° = 270°.
- **Bunderan satuan**: cos = x, sin = y. Jari-jari = 1. Fundamental kanggo trigonometri!
- **Notasi ilmiah otomatis**: Nilai < 0,000001° utawa > 1.000.000.000° ditampilake minangka notasi ilmiah kanggo keterbacaan (penting kanggo mikrodetik busur!).
Referensi Unit
Unit Umum
| Unit | Simbol | Derajat | Cathetan |
|---|---|---|---|
| derajat | ° | 1° (base) | Unit dhasar; 360° = bunderan. Standar universal. |
| radian | rad | 57.2958° | Unit alami; 2π rad = bunderan. Dibutuhake kanggo kalkulus. |
| gradian (gon) | grad | 900.000000 m° | Sudut metrik; 400 grad = bunderan. Survei (Eropa). |
| puteran (revolusi) | turn | 360.0000° | Rotasi penuh; 1 puteran = 360°. Konsep sederhana. |
| revolusi | rev | 360.0000° | Padha karo puteran; 1 revolusi = 360°. Mekanis. |
| lingkaran | circle | 360.0000° | Rotasi penuh; 1 bunderan = 360°. |
| sudut siku-siku (kuadran) | ∟ | 90.0000° | Seprapat puteran; 90°. Garis jejeg. |
Menit Busur & Detik Busur
| Unit | Simbol | Derajat | Cathetan |
|---|---|---|---|
| menit busur | ′ | 16.666667 m° | Menit busur; 1′ = 1/60°. Astronomi, navigasi. |
| detik busur | ″ | 277.777778 µ° | Detik busur; 1″ = 1/3600°. Astronomi presisi. |
| miliardetik | mas | 2.778e-7° | 0,001″. Presisi Hubble (resolusi ~50 mas). |
| mikrodetik | µas | 2.778e-10° | 0,000001″. Presisi satelit Gaia. Sangat presisi. |
Navigasi & Militer
| Unit | Simbol | Derajat | Cathetan |
|---|---|---|---|
| titik (kompas) | point | 11.2500° | 32 titik; 1 titik = 11,25°. Navigasi tradisional. |
| mil (NATO) | mil | 56.250000 m° | 6400 saben bunderan; 1 mil ≈ 1 m ing 1 km. Standar militer. |
| mil (Uni Soviet) | mil USSR | 60.000000 m° | 6000 saben bunderan. Standar militer Rusia/Soviet. |
| mil (Swedia) | streck | 57.142857 m° | 6300 saben bunderan. Standar militer Skandinavia. |
| derajat biner | brad | 1.4063° | 256 saben bunderan; 1 brad ≈ 1,406°. Grafis komputer. |
Astronomi & Angkasa
| Unit | Simbol | Derajat | Cathetan |
|---|---|---|---|
| sudut jam | h | 15.0000° | 24 jam = 360°; 1 jam = 15°. Koordinat langit (RA). |
| menit wektu | min | 250.000000 m° | 1 menit = 15′ = 0,25°. Sudut adhedhasar wektu. |
| detik wektu | s | 4.166667 m° | 1 detik = 15″ ≈ 0,00417°. Sudut wektu presisi. |
| tandha (zodiak) | sign | 30.0000° | Tandha zodiak; 12 tandha = 360°; 1 tandha = 30°. Astrologi. |
Khusus & Teknik
| Unit | Simbol | Derajat | Cathetan |
|---|---|---|---|
| sekstan | sextant | 60.0000° | 1/6 bunderan; 60°. Divisi geometris. |
| oktan | octant | 45.0000° | 1/8 bunderan; 45°. Divisi geometris. |
| kuadran | quadrant | 90.0000° | 1/4 bunderan; 90°. Padha karo sudut siku-siku. |
| persen gradien (kemiringan) | % | formula | Persentase kemiringan; arctan(kemiringan/100) = sudut. Teknik. |
FAQ
Kapan nggunakake derajat vs radian?
Gunakake derajat kanggo: sudut saben dina, navigasi, survei, konstruksi. Gunakake radian kanggo: kalkulus, persamaan fisika, pemrograman (fungsi trigonometri). Radian iku 'alami' amarga dawa busur = jari-jari × sudut. Turunan kaya d/dx(sin x) = cos x mung bisa dienggo ing radian!
Napa π rad = 180° persis?
Keliling bunderan = 2πr. Setengah bunderan (garis lurus) = πr. Radian ditemtokake minangka dawa busur/jari-jari. Kanggo setengah bunderan: busur = πr, jari-jari = r, dadi sudut = πr/r = π radian. Mula, π rad = 180° miturut definisi.
Kepiye cara ngowahi persentase kemiringan dadi sudut?
Gunakake arctan: sudut = arctan(kemiringan/100). Conto: 10% kemiringan = arctan(0,1) ≈ 5,71°. ORA mung dikalikan! 10% ≠ 10°. Walikane: kemiringan = tan(sudut) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% kemiringan.
Apa bedane antarane menit busur lan menit wektu?
Menit busur (′) = 1/60 derajat (sudut). Menit wektu = 1/60 jam (wektu). Beda banget! Ing astronomi, 'menit wektu' diowahi dadi sudut: 1 menit = 15 menit busur (amarga 24 jam = 360°, dadi 1 menit = 360°/1440 = 0,25° = 15′).
Napa negara sing beda nggunakake mil sing beda?
Mil dirancang supaya 1 mil ≈ 1 meter ing 1 km (balistik praktis). Miliradian matematis sejati = 1/1000 rad ≈ 6283 saben bunderan. NATO nyederhanakake dadi 6400 (pangkat 2, bisa dibagi kanthi apik). Uni Soviet nggunakake 6000 (bisa dibagi 10). Swedia 6300 (kompromi). Kabeh cedhak karo 2π×1000.
Apa sudut bisa negatif?
Ya! Positif = berlawanan arah jarum jam (konvensi matematis). Negatif = searah jarum jam. -90° = 270° (posisi sing padha, arah sing beda). Ing navigasi, gunakake rentang 0-360°. Ing matematika/fisika, sudut negatif umum. Conto: -π/2 = -90° = 270°.
Direktori Piranti Lengkap
Kabeh 71 piranti sing kasedhiya ing UNITS