Kot meri vrtenje ali zasuk med dvema črtama. Pomislite na odpiranje vrat ali vrtenje kolesa. Meri se v stopinjah (°), radianih (rad) ali gradih. 360° = polni krog = en popoln obrat.

• Kot = količina vrtenja
• Polni krog = 360° = 2π rad
• Pravi kot = 90° = π/2 rad
• Ravna črta = 180° = π rad

Stopinje: krog, razdeljen na 360 delov (zgodovinsko). Radiani: temeljijo na polmeru kroga. 2π radianov = 360°. Radiani so 'naravni' za matematiko/fiziko. π rad = 180°, torej 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (polni krog)
• 180° = π rad (polovica kroga)
• 90° = π/2 rad (pravi kot)
• 1 rad ≈ 57.2958° (pretvorba)

Grad: 100 grad = 90° (metrični kot). Ločna minuta/sekunda: podrazdelitve stopinje (astronomija). Tisočinka: vojaška navigacija (6400 tisočink = krog). Vsaka enota za specifično uporabo.

• Grad: 400 grad = krog
• Ločna minuta: 1′ = 1/60°
• Ločna sekunda: 1″ = 1/3600°
• Tisočinka (NATO): 6400 mil = krog

360° na krog (babilonski izvor - ~360 dni/leto). Podrazdeljen: 1° = 60′ (ločnih minut) = 3600″ (ločnih sekund). Univerzalno za navigacijo, geodezijo, vsakdanjo uporabo.

• 360° = polni krog
• 1° = 60 ločnih minut (′)
• 1′ = 60 ločnih sekund (″)
• Enostavno za ljudi, zgodovinsko

Radian: dolžina loka = polmer. 2π rad = obseg kroga/polmer. Naravno za računanje (odvodi sin, cos). Standard v fiziki, inženirstvu. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (natančno)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Naravno za matematiko/fiziko

Grad: 400 grad = krog (metrični kot). 100 grad = pravi kot. Tisočinka: vojaška navigacija - NATO uporablja 6400 tisočink. ZSSR je uporabljala 6000. Obstajajo različni standardi.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (pravi kot)
• Tisočinka (NATO): 6400 na krog
• Tisočinka (USSR): 6000 na krog

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Vedno uporabljajte radiane v računanju! Trigonometrične funkcije potrebujejo radiane za odvode.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Računanje zahteva radiane

sin, cos, tan povezujejo kote z razmerji. Enotska krožnica: polmer=1, kot=θ. Koordinate točke: (cos θ, sin θ). Bistveno za fiziko, inženirstvo, grafiko.

• sin θ = nasprotna/hipotenuza
• cos θ = priležna/hipotenuza
• tan θ = nasprotna/priležna
• Enotska krožnica: (cos θ, sin θ)

Koti se normalno seštevajo/odštevajo. 45° + 45° = 90°. Polni obrat: dodajte/odštejte 360° (ali 2π). Modularna aritmetika za zavijanje: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normalno seštevanje)
• Zavijanje: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negativni koti: -90° = 270°

Kompasni ležaji: 0°=Sever, 90°=Vzhod, 180°=Jug, 270°=Zahod. Vojska uporablja tisočinke za natančnost. Kompas ima 32 točk (vsaka 11.25°). GPS uporablja decimalne stopinje.

• Ležaji: 0-360° od Severa
• NATO tisočinka: 6400 na krog
• Kompasne točke: 32 (vsaka 11.25°)
• GPS: decimalne stopinje

Položaji zvezd: natančnost ločnih sekund. Paralalaksa: mililočne sekunde. Hubble: ~50 mas ločljivost. Satelit Gaia: natančnost mikroločnih sekund. Urni kot: 24h = 360°.

• Ločna sekunda: položaji zvezd
• Mililočna sekunda: paralalaksa, VLBI
• Mikroločna sekunda: satelit Gaia
• Urni kot: 15°/uro

Naklon: odstotek naklona ali kot. 10% naklon ≈ 5.7°. Načrtovanje cest uporablja odstotke. Geodezija uporablja stopinje/minute/sekunde. Grad sistem za metrične države.

• Naklon: % ali stopinje
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Geodezija: DMS (stopinje-minute-sekunde)
• Grad: metrična geodezija

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Hitro: 180° = π rad, torej delite/množite s tem razmerjem.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (natančno)
• 2π rad = 360° (natančno)

kot = arctan(naklon/100). 10% naklon = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Obratno: naklon = tan(kot) × 100.

• θ = arctan(naklon/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Strmo: 100% = 45°

1° = 60′ (ločna min). 1′ = 60″ (ločna sek). Skupaj: 1° = 3600″. Hitra podrazdelitev za natančnost.

• 1° = 60 ločnih minut
• 1′ = 60 ločnih sekund
• 1° = 3600 ločnih sekund
• DMS: stopinje-minute-sekunde

Cesta ima 8% naklon. Kakšen je kot?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Relativno blag naklon!

Plovite po ležaju 135°. Katera kompasna smer je to?

0°=S, 90°=V, 180°=J, 270°=Z. 135° je med V (90°) in J (180°). Smer: Jugovzhod (JV).

Zvezda se je premaknila za 0.5 ločne sekunde. Koliko je to stopinj?

1″ = 1/3600°. Torej 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Majhen premik!

Babilonci so uporabljali šestdesetiški sistem (osnova 60). 360 ima veliko deliteljev (24 faktorjev!). Približno ustreza 360 dnem v letu. Priročno za astronomijo in merjenje časa. Prav tako se deli enakomerno z 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radian je definiran z dolžino loka = polmer. To naredi računanje lepo: d/dx(sin x) = cos x (samo v radianih!). V stopinjah je d/dx(sin x) = (π/180)cos x (nerodno). Narava 'uporablja' radiane!

Metrični kot: 100 grad = pravi kot. Preizkušen med Francosko revolucijo z metričnim sistemom. Nikoli ni postal priljubljen—stopinje so bile preveč zakoreninjene. Še vedno se uporablja v nekaterih geodetskih delih (Švica, severna Evropa). Kalkulatorji imajo način 'grad'!

1 mililočna sekunda ≈ širina človeškega lasu, gledanega z razdalje 10 km! Vesoljski teleskop Hubble lahko razloči ~50 mas. Neverjetna natančnost za astronomijo. Uporablja se za merjenje zvezdne paralakse, dvojnih zvezd.

Vojaška tisočinka: 1 tisočinka ≈ 1 m širine na razdalji 1 km (NATO: 1.02 m, dovolj blizu). Enostavno mentalno računanje za oceno dosega. Različne države uporabljajo različne tisočinke (6000, 6300, 6400 na krog). Praktična balistična enota!

90 = 360/4 (četrt obrata). Ampak 'pravi' izhaja iz latinskega 'rectus' = pokončen, raven. Pravi kot tvori pravokotne črte. Bistveno za gradnjo—stavbe potrebujejo prave kote, da stojijo!

Babilonci so uporabljali šestdesetiški (osnova 60) številski sistem za astronomijo in merjenje časa. Krog so razdelili na 360 delov, ker 360 ≈ število dni v letu (dejansko 365,25), in 360 ima 24 deliteljev—neverjetno priročno za ulomke.

Ta sistem z osnovo 60 se ohranja še danes: 60 sekund na minuto, 60 minut na uro in na stopinjo. Število 360 se faktorizira kot 2³ × 3² × 5, in se deli enakomerno z 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—sanjsko za kalkulator!

• 2000 pr. n. št.: Babilonski astronomi spremljajo nebesne položaje v stopinjah
• 360° izbran zaradi deljivosti in ~letne aproksimacije
• Osnova 60 nam daje ure (24 = 360/15) in minute/sekunde
• Grški astronomi prevzamejo 360° iz babilonskih tabel

Evklidovi Elementi (300 pr. n. št.) so formalizirali geometrijo kotov—pravi koti (90°), komplementarni (vsota do 90°), suplementarni (vsota do 180°). Grški matematiki, kot je Hiparh, so ustvarili trigonometrijo z uporabo tabel, ki temeljijo na stopinjah, za astronomijo in geodezijo.

Srednjeveški navigatorji so uporabljali astrolab in kompas z 32 točkami (vsaka 11.25°). Pomorščaki so potrebovali natančne ležaje; ločne minute (1/60°) in ločne sekunde (1/3600°) so se pojavile za zvezdne kataloge in navtične karte.

• 300 pr. n. št.: Evklidovi Elementi definirajo geometrijske kote
• 150 pr. n. št.: Hiparh ustvari prve trigonometrične tabele (stopinje)
• 1200-ta: Astrolab uporablja stopinjske oznake za nebesno navigacijo
• 1569: Mercatorjeva projekcija zemljevida zahteva matematiko, ki ohranja kote

Ko sta Newton in Leibniz razvila računanje (1670-ta), so stopinje postale problematične: d/dx(sin x) = (π/180)cos x v stopinjah—grda konstanta! Roger Cotes (1682-1716) in Leonhard Euler sta formalizirala radian: kot = dolžina loka / polmer. Zdaj je d/dx(sin x) = cos x čudovito.

James Thomson je skoval izraz 'radian' leta 1873 (iz latinščine 'radius'). Radian je postal GLAVNA enota za matematično analizo, fiziko in inženirstvo. Kljub temu so stopinje vztrajale v vsakdanjem življenju, ker ljudje raje uporabljajo cela števila kot π.

• 1670-ta: Računanje razkrije, da stopinje ustvarjajo neurejene formule
• 1714: Roger Cotes razvije 'krožno mero' (pred-radian)
• 1748: Euler obširno uporablja radiane v analizi
• 1873: Thomson ga poimenuje 'radian'; postane matematični standard

Artilerija prve svetovne vojne je zahtevala praktične kotne enote: rodila se je tisočinka—1 tisočinka ≈ 1 meter odstopanja na razdalji 1 km. NATO je standardiziral 6400 tisočink/krog (lepa potenca števila 2), medtem ko je ZSSR uporabljala 6000 (decimalna priročnost). Pravi miliradian = 6283/krog.

Astronomy vesoljske dobe je dosegla natančnost mililočnih sekund (Hipparcos, 1989), nato pa mikroločnih sekund (Gaia, 2013). Gaia meri zvezdno paralakso do 20 mikroločnih sekund—kar je enako videnju človeškega lasu z razdalje 1000 km! Sodobna fizika uporablja radiane univerzalno; le navigacija in gradbeništvo še vedno raje uporabljata stopinje.

• 1916: Vojaška artilerija sprejme tisočinko za izračune dosega
• 1960: SI prizna radian kot koherentno izpeljano enoto
• 1989: Satelit Hipparcos: ~1 mililočna sekunda natančnosti
• 2013: Satelit Gaia: 20 mikroločnih sekund natančnosti—kartira 1 milijardo zvezd

Uporabite stopinje za: vsakdanje kote, navigacijo, geodezijo, gradbeništvo. Uporabite radiane za: računanje, fizikalne enačbe, programiranje (trigonometrične funkcije). Radiani so 'naravni', ker je dolžina loka = polmer × kot. Odvodi, kot je d/dx(sin x) = cos x, delujejo samo v radianih!

Obseg kroga = 2πr. Polovica kroga (ravna črta) = πr. Radian je definiran kot dolžina loka/polmer. Za polovico kroga: lok = πr, polmer = r, torej kot = πr/r = π radianov. Zato je po definiciji π rad = 180°.

Uporabite arctan: kot = arctan(naklon/100). Primer: 10% naklon = arctan(0.1) ≈ 5.71°. NE samo množiti! 10% ≠ 10°. Obratno: naklon = tan(kot) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% naklon.

Ločna minuta (′) = 1/60 stopinje (kot). Časovna minuta = 1/60 ure (čas). Popolnoma različno! V astronomiji se 'časovna minuta' pretvori v kot: 1 min = 15 ločnih minut (ker je 24h = 360°, torej 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Tisočinka je bila zasnovana tako, da je 1 tisočinka ≈ 1 meter na 1 km (praktična balistika). Pravi matematični miliradian = 1/1000 rad ≈ 6283 na krog. NATO je to poenostavil na 6400 (potenca števila 2, lepo se deli). ZSSR je uporabljala 6000 (deli se z 10). Švedska 6300 (kompromis). Vsi so blizu 2π×1000.

Da! Pozitivno = v nasprotni smeri urinega kazalca (matematična konvencija). Negativno = v smeri urinega kazalca. -90° = 270° (isti položaj, druga smer). V navigaciji se uporablja območje 0-360°. V matematiki/fiziki so negativni koti pogosti. Primer: -π/2 = -90° = 270°.