ആംഗിൾ കൺവെർട്ടർ
കോൺ — ഡിഗ്രി മുതൽ മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ് വരെ
ഗണിതം, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, നാവിഗേഷൻ, എഞ്ചിനീയറിംഗ് എന്നിവയിലുടനീളം കോൺ യൂണിറ്റുകൾ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുക. ഡിഗ്രി മുതൽ റേഡിയൻസ്, ആർക്ക്മിനിറ്റ്സ് മുതൽ മിൽസ് വരെ, ഭ്രമണങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുകയും യഥാർത്ഥ ആപ്ലിക്കേഷനുകളിൽ സംഖ്യകൾ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യുക.
കോണുകളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ
എന്താണ് ഒരു കോൺ?
ഒരു കോൺ രണ്ട് വരകൾക്കിടയിലുള്ള ഭ്രമണം അല്ലെങ്കിൽ തിരിവ് അളക്കുന്നു. ഒരു വാതിൽ തുറക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചോ ഒരു ചക്രം തിരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചോ ചിന്തിക്കുക. ഡിഗ്രി (°), റേഡിയൻസ് (rad), അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രേഡിയൻസ് എന്നിവയിൽ അളക്കുന്നു. 360° = ഒരു പൂർണ്ണ വൃത്തം = ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഭ്രമണം.
- കോൺ = ഭ്രമണത്തിന്റെ അളവ്
- പൂർണ്ണ വൃത്തം = 360° = 2π rad
- മട്ടകോൺ = 90° = π/2 rad
- നേർരേഖ = 180° = π rad
ഡിഗ്രി vs റേഡിയൻ
ഡിഗ്രി: വൃത്തത്തെ 360 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചത് (ചരിത്രപരം). റേഡിയൻസ്: വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. 2π റേഡിയൻസ് = 360°. റേഡിയൻസ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിനും 'സ്വാഭാവികമാണ്'. π rad = 180°, അതിനാൽ 1 rad ≈ 57.3°.
- 360° = 2π rad (പൂർണ്ണ വൃത്തം)
- 180° = π rad (അർദ്ധവൃത്തം)
- 90° = π/2 rad (മട്ടകോൺ)
- 1 rad ≈ 57.2958° (പരിവർത്തനം)
മറ്റ് കോൺ യൂണിറ്റുകൾ
ഗ്രേഡിയൻ: 100 grad = 90° (മെട്രിക് കോൺ). ആർക്ക്മിനിറ്റ്/ആർക്ക്സെക്കൻഡ്: ഡിഗ്രിയുടെ ഉപവിഭാഗങ്ങൾ (ജ്യോതിശാസ്ത്രം). മിൽ: സൈനിക നാവിഗേഷൻ (6400 മിൽസ് = വൃത്തം). ഓരോ യൂണിറ്റും പ്രത്യേക ആപ്ലിക്കേഷനുകൾക്ക് വേണ്ടിയുള്ളതാണ്.
- ഗ്രേഡിയൻ: 400 grad = വൃത്തം
- ആർക്ക്മിനിറ്റ്: 1′ = 1/60°
- ആർക്ക്സെക്കൻഡ്: 1″ = 1/3600°
- മിൽ (NATO): 6400 mil = വൃത്തം
- പൂർണ്ണ വൃത്തം = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (അർദ്ധവൃത്തം)
- 1 rad ≈ 57.3°, 1° ≈ 0.01745 rad
- റേഡിയൻസ് കാൽക്കുലസ്/ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന് സ്വാഭാവികമാണ്
യൂണിറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ വിശദീകരിച്ചു
ഡിഗ്രി സിസ്റ്റം
ഒരു വൃത്തത്തിന് 360° (ബാബിലോണിയൻ ഉത്ഭവം - ~360 ദിവസം/വർഷം). ഉപവിഭജനങ്ങൾ: 1° = 60′ (ആർക്ക്മിനിറ്റുകൾ) = 3600″ (ആർക്ക്സെക്കൻഡുകൾ). നാവിഗേഷൻ, സർവേയിംഗ്, ദൈനംദിന ഉപയോഗം എന്നിവയ്ക്ക് സാർവത്രികമാണ്.
- 360° = പൂർണ്ണ വൃത്തം
- 1° = 60 ആർക്ക്മിനിറ്റുകൾ (′)
- 1′ = 60 ആർക്ക്സെക്കൻഡുകൾ (″)
- മനുഷ്യർക്ക് എളുപ്പമുള്ളതും, ചരിത്രപരവുമാണ്
റേഡിയൻ സിസ്റ്റം
റേഡിയൻ: ആർക്ക് നീളം = ആരം. 2π rad = വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്/ആരം. കാൽക്കുലസിന് (sin, cos ഡെറിവേറ്റീവുകൾ) സ്വാഭാവികമാണ്. ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് സ്റ്റാൻഡേർഡ്. π rad = 180°.
- 2π rad = 360° (കൃത്യം)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57.2958°
- ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിനും സ്വാഭാവികമാണ്
ഗ്രേഡിയൻ & മിലിട്ടറി
ഗ്രേഡിയൻ: 400 grad = വൃത്തം (മെട്രിക് കോൺ). 100 grad = മട്ടകോൺ. മിൽ: സൈനിക നാവിഗേഷൻ - NATO 6400 മിൽസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. USSR 6000 ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. വ്യത്യസ്ത മാനദണ്ഡങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്.
- 400 grad = 360°
- 100 grad = 90° (മട്ടകോൺ)
- മിൽ (NATO): ഒരു വൃത്തത്തിന് 6400
- മിൽ (USSR): ഒരു വൃത്തത്തിന് 6000
കോണുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം
പ്രധാന പരിവർത്തനങ്ങൾ
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. കാൽക്കുലസിൽ എപ്പോഴും റേഡിയൻസ് ഉപയോഗിക്കുക! ട്രൈഗണോമെട്രിക് ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായി റേഡിയൻസ് ആവശ്യമാണ്.
- rad = deg × (π/180)
- deg = rad × (180/π)
- grad = deg × (10/9)
- കാൽക്കുലസിന് റേഡിയൻസ് ആവശ്യമാണ്
ട്രൈഗണോമെട്രി
sin, cos, tan കോണുകളെ അനുപാതങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ: ആരം=1, കോൺ=θ. പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്റുകൾ: (cos θ, sin θ). ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഗ്രാഫിക്സ് എന്നിവയ്ക്ക് അത്യാവശ്യമാണ്.
- sin θ = എതിർവശം/കർണ്ണം
- cos θ = സമീപവശം/കർണ്ണം
- tan θ = എതിർവശം/സമീപവശം
- യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ: (cos θ, sin θ)
കോണുകളുടെ സങ്കലനം
കോണുകൾ സാധാരണയായി കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു. 45° + 45° = 90°. പൂർണ്ണമായ ഭ്രമണം: 360° (അല്ലെങ്കിൽ 2π) കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക. റാപ്പിംഗിനായി മോഡുലോ അരിത്മെറ്റിക്: 370° = 10°.
- θ₁ + θ₂ (സാധാരണ സങ്കലനം)
- റാപ്പ്: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- നെഗറ്റീവ് കോണുകൾ: -90° = 270°
സാധാരണ കോണുകൾ
| കോൺ | ഡിഗ്രി | റേഡിയൻ | കുറിപ്പുകൾ |
|---|---|---|---|
| പൂജ്യം | 0° | 0 rad | ഭ്രമണമില്ല |
| ന്യൂനകോൺ | 30° | π/6 | സമഭുജ ത്രികോണം |
| ന്യൂനകോൺ | 45° | π/4 | പകുതി മട്ടകോൺ |
| ന്യൂനകോൺ | 60° | π/3 | സമഭുജ ത്രികോണം |
| മട്ടകോൺ | 90° | π/2 | ലംബം, കാൽഭാഗം തിരിവ് |
| ബൃഹത്കോൺ | 120° | 2π/3 | ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ ഉൾഭാഗം |
| ബൃഹത്കോൺ | 135° | 3π/4 | അഷ്ടഭുജത്തിന്റെ പുറംഭാഗം |
| നേർരേഖാകോൺ | 180° | π | അർദ്ധവൃത്തം, നേർരേഖ |
| പ്രതിഫലനകോൺ | 270° | 3π/2 | മുക്കാൽ ഭാഗം തിരിവ് |
| പൂർണ്ണകോൺ | 360° | 2π | സമ്പൂർണ്ണ ഭ്രമണം |
| ആർക്ക്സെക്കൻഡ് | 1″ | 4.85 µrad | ജ്യോതിശാസ്ത്ര കൃത്യത |
| മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ് | 0.001″ | 4.85 nrad | ഹബിൾ റെസല്യൂഷൻ |
| മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ് | 0.000001″ | 4.85 prad | ഗായ ഉപഗ്രഹം |
കോൺ തുല്യതകൾ
| വിവരണം | ഡിഗ്രി | റേഡിയൻ | ഗ്രേഡിയൻ |
|---|---|---|---|
| പൂർണ്ണ വൃത്തം | 360° | 2π ≈ 6.283 | 400 grad |
| അർദ്ധവൃത്തം | 180° | π ≈ 3.142 | 200 grad |
| മട്ടകോൺ | 90° | π/2 ≈ 1.571 | 100 grad |
| ഒരു റേഡിയൻ | ≈ 57.296° | 1 rad | ≈ 63.662 grad |
| ഒരു ഡിഗ്രി | 1° | ≈ 0.01745 rad | ≈ 1.111 grad |
| ഒരു ഗ്രേഡിയൻ | 0.9° | ≈ 0.01571 rad | 1 grad |
| ആർക്ക്മിനിറ്റ് | 1/60° | ≈ 0.000291 rad | 1/54 grad |
| ആർക്ക്സെക്കൻഡ് | 1/3600° | ≈ 0.00000485 rad | 1/3240 grad |
| NATO മിൽ | 0.05625° | ≈ 0.000982 rad | 0.0625 grad |
യഥാർത്ഥ ലോകത്തിലെ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ
നാവിഗേഷൻ
കോമ്പസ് ബെയറിംഗുകൾ: 0°=വടക്ക്, 90°=കിഴക്ക്, 180°=തെക്ക്, 270°=പടിഞ്ഞാറ്. സൈന്യം കൃത്യതയ്ക്കായി മിൽസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. കോമ്പസിന് 32 പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട് (ഓരോന്നും 11.25°). GPS ദശാംശ ഡിഗ്രികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
- ബെയറിംഗുകൾ: വടക്കുനിന്ന് 0-360°
- NATO മിൽ: ഒരു വൃത്തത്തിന് 6400
- കോമ്പസ് പോയിന്റുകൾ: 32 (ഓരോന്നും 11.25°)
- GPS: ദശാംശ ഡിഗ്രികൾ
ജ്യോതിശാസ്ത്രം
നക്ഷത്ര സ്ഥാനങ്ങൾ: ആർക്ക്സെക്കൻഡ് കൃത്യത. പാരലാക്സ്: മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ്. ഹബിൾ: ~50 mas റെസല്യൂഷൻ. ഗായ ഉപഗ്രഹം: മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ് കൃത്യത. മണിക്കൂർ കോൺ: 24h = 360°.
- ആർക്ക്സെക്കൻഡ്: നക്ഷത്ര സ്ഥാനങ്ങൾ
- മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ്: പാരലാക്സ്, VLBI
- മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ്: ഗായ ഉപഗ്രഹം
- മണിക്കൂർ കോൺ: 15°/മണിക്കൂർ
എഞ്ചിനീയറിംഗ് & സർവേയിംഗ്
ചരിവ്: ശതമാനം ഗ്രേഡ് അല്ലെങ്കിൽ കോൺ. 10% ഗ്രേഡ് ≈ 5.7°. റോഡ് ഡിസൈൻ ശതമാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. സർവേയിംഗ് ഡിഗ്രി/മിനിറ്റ്/സെക്കൻഡ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. മെട്രിക് രാജ്യങ്ങൾക്കായി ഗ്രേഡിയൻ സിസ്റ്റം.
- ചരിവ്: % അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രി
- 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
- സർവേയിംഗ്: DMS (ഡിഗ്രി-മിനിറ്റ്-സെക്കൻഡ്)
- ഗ്രേഡിയൻ: മെട്രിക് സർവേയിംഗ്
പെട്ടെന്നുള്ള ഗണിതം
ഡിഗ്രി ↔ റേഡിയൻ
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. പെട്ടെന്ന്: 180° = π rad, അതിനാൽ ഈ അനുപാതം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക/ഗുണിക്കുക.
- rad = deg × 0.01745
- deg = rad × 57.2958
- π rad = 180° (കൃത്യം)
- 2π rad = 360° (കൃത്യം)
ചരിവിൽ നിന്ന് കോണിലേക്ക്
കോൺ = arctan(ചരിവ്/100). 10% ചരിവ് = arctan(0.1) ≈ 5.71°. വിപരീതം: ചരിവ് = tan(കോൺ) × 100.
- θ = arctan(ഗ്രേഡ്/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- ചെങ്കുത്തായത്: 100% = 45°
ആർക്ക്മിനിറ്റുകൾ
1° = 60′ (ആർക്ക്മിനിറ്റ്). 1′ = 60″ (ആർക്ക്സെക്കൻഡ്). ആകെ: 1° = 3600″. കൃത്യതയ്ക്കായി പെട്ടെന്നുള്ള ഉപവിഭജനം.
- 1° = 60 ആർക്ക്മിനിറ്റുകൾ
- 1′ = 60 ആർക്ക്സെക്കൻഡുകൾ
- 1° = 3600 ആർക്ക്സെക്കൻഡുകൾ
- DMS: ഡിഗ്രി-മിനിറ്റ്-സെക്കൻഡ്
പരിവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു
- ഘട്ടം 1: ഉറവിടം → ഡിഗ്രികൾ
- ഘട്ടം 2: ഡിഗ്രികൾ → ലക്ഷ്യം
- റേഡിയൻ: deg × (π/180)
- ചരിവ്: arctan(ഗ്രേഡ്/100)
- ആർക്ക്മിനിറ്റുകൾ: deg × 60
സാധാരണ പരിവർത്തനങ്ങൾ
| ഇതിൽ നിന്ന് | ഇതിലേക്ക് | ഫോർമുല | ഉദാഹരണം |
|---|---|---|---|
| ഡിഗ്രി | റേഡിയൻ | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| റേഡിയൻ | ഡിഗ്രി | × 180/π | π rad = 180° |
| ഡിഗ്രി | ഗ്രേഡിയൻ | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| ഡിഗ്രി | ആർക്ക്മിനിറ്റ് | × 60 | 1° = 60′ |
| ആർക്ക്മിനിറ്റ് | ആർക്ക്സെക്കൻഡ് | × 60 | 1′ = 60″ |
| ഡിഗ്രി | തിരിവ് | ÷ 360 | 180° = 0.5 തിരിവ് |
| % ഗ്രേഡ് | ഡിഗ്രി | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71° |
| ഡിഗ്രി | മിൽ (NATO) | × 17.778 | 1° ≈ 17.78 mil |
പെട്ടെന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ
പ്രവർത്തിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ
റോഡ് ചരിവ്
റോഡിന് 8% ഗ്രേഡ് ഉണ്ട്. കോൺ എത്രയാണ്?
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. താരതമ്യേന മൃദലമായ ചരിവ്!
കോമ്പസ് ബെയറിംഗ്
135° ബെയറിംഗിൽ നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യുക. അത് ഏത് കോമ്പസ് ദിശയാണ്?
0°=വ, 90°=കി, 180°=തെ, 270°=പ. 135° കി (90°) ക്കും തെ (180°) ക്കും ഇടയിലാണ്. ദിശ: തെക്കുകിഴക്ക് (SE).
നക്ഷത്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം
ഒരു നക്ഷത്രം 0.5 ആർക്ക്സെക്കൻഡ് നീങ്ങി. അത് എത്ര ഡിഗ്രിയാണ്?
1″ = 1/3600°. അതിനാൽ 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. വളരെ ചെറിയ ചലനം!
സാധാരണ തെറ്റുകൾ
- **റേഡിയൻ മോഡ്**: റേഡിയൻസ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ കാൽക്കുലേറ്റർ ഡിഗ്രി മോഡിൽ ആയിരിക്കുന്നത് = തെറ്റ്! മോഡ് പരിശോധിക്കുക. ഡിഗ്രി മോഡിലുള്ള sin(π) ≠ റേഡിയൻ മോഡിലുള്ള sin(π).
- **π യുടെ ഏകദേശം**: π ≠ 3.14 കൃത്യമായി. π ബട്ടൺ അല്ലെങ്കിൽ Math.PI ഉപയോഗിക്കുക. 180° = π rad കൃത്യമായി, 3.14 rad അല്ല.
- **നെഗറ്റീവ് കോണുകൾ**: -90° ≠ അസാധുവായതല്ല! നെഗറ്റീവ് = ഘടികാരദിശയിൽ. -90° = 270° (0° യിൽ നിന്ന് ഘടികാരദിശയിൽ).
- **ചരിവ് ആശയക്കുഴപ്പം**: 10% ഗ്രേഡ് ≠ 10°! arctan ഉപയോഗിക്കണം. 10% ≈ 5.71°, 10° അല്ല. സാധാരണ തെറ്റ്!
- **ആർക്ക്മിനിറ്റ് ≠ സമയത്തിന്റെ മിനിറ്റ്**: 1′ (ആർക്ക്മിനിറ്റ്) = 1/60°. 1 മിനിറ്റ് (സമയം) = വ്യത്യസ്തമാണ്! ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കരുത്.
- **പൂർണ്ണമായ ഭ്രമണം**: 360° = 0° (ഒരേ സ്ഥാനം). കോണുകൾ ചാക്രികമാണ്. 370° = 10°.
രസകരമായ വസ്തുതകൾ
എന്തുകൊണ്ട് 360 ഡിഗ്രി?
ബാബിലോണിയക്കാർ ബേസ്-60 (സെക്സാജെസിമൽ) സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ചു. 360 ന് നിരവധി ഘടകങ്ങളുണ്ട് (24 ഘടകങ്ങൾ!). ഒരു വർഷത്തിൽ ഏകദേശം 360 ദിവസങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിനും സമയനിർണ്ണയത്തിനും സൗകര്യപ്രദമാണ്. കൂടാതെ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... എന്നിവയാൽ കൃത്യമായി ഹരിക്കാനും കഴിയും.
റേഡിയൻ സ്വാഭാവികമാണ്
റേഡിയൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് ആർക്ക് നീളം = ആരം എന്നാണ്. ഇത് കാൽക്കുലസിനെ മനോഹരമാക്കുന്നു: d/dx(sin x) = cos x (റേഡിയൻസിൽ മാത്രം!). ഡിഗ്രിയിൽ, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (കുഴപ്പം പിടിച്ചത്). പ്രകൃതി 'റേഡിയൻസ്' ഉപയോഗിക്കുന്നു!
ഗ്രേഡിയൻ ഏതാണ്ട് പ്രചാരത്തിലായി
മെട്രിക് കോൺ: 100 grad = മട്ടകോൺ. ഫ്രഞ്ച് വിപ്ലവകാലത്ത് മെട്രിക് സിസ്റ്റത്തോടൊപ്പം പരീക്ഷിച്ചു. ഒരിക്കലും പ്രചാരത്തിലായില്ല—ഡിഗ്രികൾക്ക് ആഴത്തിൽ വേരുകളുണ്ടായിരുന്നു. ചില സർവേയിംഗിൽ (സ്വിറ്റ്സർലൻഡ്, വടക്കൻ യൂറോപ്പ്) ഇപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. കാൽക്കുലേറ്ററുകളിൽ 'grad' മോഡ് ഉണ്ട്!
മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ് = മനുഷ്യന്റെ മുടി
1 മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ് ≈ 10 കിലോമീറ്റർ ദൂരത്തുനിന്ന് നോക്കുമ്പോൾ മനുഷ്യന്റെ മുടിയുടെ വീതി! ഹബിൾ സ്പേസ് ടെലിസ്കോപ്പിന് ~50 mas വരെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിന് അവിശ്വസനീയമായ കൃത്യത. നക്ഷത്രങ്ങളുടെ പാരലാക്സ്, ഇരട്ട നക്ഷത്രങ്ങളെ അളക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
പീരങ്കിക്ക് മിൽ
സൈനിക മിൽ: 1 മിൽ ≈ 1 കിലോമീറ്റർ ദൂരത്തിൽ 1 മീറ്റർ വീതി (NATO: 1.02 മീറ്റർ, മതിയായ അടുപ്പം). ദൂരപരിധി കണക്കാക്കാൻ എളുപ്പമുള്ള മാനസിക ഗണിതം. വ്യത്യസ്ത രാജ്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത മിൽസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഒരു വൃത്തത്തിന് 6000, 6300, 6400). പ്രായോഗിക ബാലിസ്റ്റിക് യൂണിറ്റ്!
മട്ടകോൺ = 90°, എന്തുകൊണ്ട്?
90 = 360/4 (കാൽഭാഗം തിരിവ്). എന്നാൽ 'മട്ടം' (right) എന്നത് ലാറ്റിൻ 'rectus' = നിവർന്ന, നേരായ എന്നതിൽ നിന്നാണ് വരുന്നത്. മട്ടകോൺ ലംബമായ വരകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. നിർമ്മാണത്തിന് അത്യാവശ്യമാണ്—കെട്ടിടങ്ങൾ നിൽക്കാൻ മട്ടകോണുകൾ ആവശ്യമാണ്!
കോൺ അളവുകളുടെ പരിണാമം
പുരാതന ബാബിലോണിയൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രം മുതൽ ആധുനിക ഉപഗ്രഹങ്ങളുടെ കൃത്യത വരെ, കോൺ അളവുകൾ പ്രായോഗിക സമയനിർണ്ണയത്തിൽ നിന്ന് കാൽക്കുലസിന്റെയും ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിന്റെയും അടിസ്ഥാനമായി പരിണമിച്ചു. 4,000 വർഷം പഴക്കമുള്ള 360-ഡിഗ്രി വൃത്തം, റേഡിയൻസിന്റെ ഗണിതപരമായ സൗന്ദര്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ഇന്നും പ്രബലമായി നിലനിൽക്കുന്നു.
2000 BCE - 300 BCE
ബാബിലോണിയക്കാർ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിനും സമയനിർണ്ണയത്തിനും വേണ്ടി ഒരു സെക്സാജെസിമൽ (അടിസ്ഥാനം 60) സംഖ്യാ സമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. അവർ വൃത്തത്തെ 360 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചു, കാരണം 360 ≈ ഒരു വർഷത്തിലെ ദിവസങ്ങൾ (യഥാർത്ഥത്തിൽ 365.25), കൂടാതെ 360 ന് 24 ഘടകങ്ങളുണ്ട്—ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് അവിശ്വസനീയമാംവിധം സൗകര്യപ്രദമാണ്.
ഈ അടിസ്ഥാനം 60 സമ്പ്രദായം ഇന്നും നിലനിൽക്കുന്നു: ഒരു മിനിറ്റിൽ 60 സെക്കൻഡ്, ഒരു മണിക്കൂറിൽ 60 മിനിറ്റ്, ഒരു ഡിഗ്രിയിൽ 60 മിനിറ്റ്. 360 എന്ന സംഖ്യയെ 2³ × 3² × 5 എന്ന് ഘടകങ്ങളാക്കാം, ഇത് 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 എന്നിവയാൽ കൃത്യമായി ഹരിക്കാം—ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെ സ്വപ്നം!
- 2000 BCE: ബാബിലോണിയൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞർ ആകാശ സ്ഥാനങ്ങൾ ഡിഗ്രിയിൽ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു
- 360° അതിന്റെ ഹരണസാധ്യതയ്ക്കും വർഷത്തിന്റെ ഏകദേശ കണക്കിനും വേണ്ടി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു
- അടിസ്ഥാനം 60 നമുക്ക് മണിക്കൂറുകളും (24 = 360/15) മിനിറ്റുകളും/സെക്കൻഡുകളും നൽകുന്നു
- ഗ്രീക്ക് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞർ ബാബിലോണിയൻ പട്ടികകളിൽ നിന്ന് 360° സ്വീകരിച്ചു
300 BCE - 1600 CE
യൂക്ലിഡിന്റെ 'എലമെന്റ്സ്' (300 BCE) കോൺ ജ്യാമിതിയെ ഔദ്യോഗികമാക്കി—മട്ടകോണുകൾ (90°), പൂരക കോണുകൾ (കൂട്ടുമ്പോൾ 90°), അനുപൂരക കോണുകൾ (കൂട്ടുമ്പോൾ 180°). ഹിപ്പാർക്കസിനെപ്പോലുള്ള ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞർ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിനും സർവേയിംഗിനും വേണ്ടി ഡിഗ്രി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച് ട്രൈഗണോമെട്രി സൃഷ്ടിച്ചു.
മധ്യകാല നാവികർ 32 പോയിന്റുകളുള്ള (ഓരോന്നും 11.25°) ആസ്ട്രോലേബും കോമ്പസും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. നാവികർക്ക് കൃത്യമായ ബെയറിംഗുകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു; ആർക്ക്മിനിറ്റുകളും (1/60°) ആർക്ക്സെക്കൻഡുകളും (1/3600°) നക്ഷത്ര കാറ്റലോഗുകൾക്കും നാവിക ചാർട്ടുകൾക്കുമായി ഉയർന്നുവന്നു.
- 300 BCE: യൂക്ലിഡിന്റെ 'എലമെന്റ്സ്' ജ്യാമിതീയ കോണുകൾ നിർവചിക്കുന്നു
- 150 BCE: ഹിപ്പാർക്കസ് ആദ്യത്തെ ട്രിഗണോമെട്രിക് പട്ടികകൾ (ഡിഗ്രികൾ) സൃഷ്ടിക്കുന്നു
- 1200-കൾ: ആസ്ട്രോലേബ് ആകാശ നാവിഗേഷനായി ഡിഗ്രി അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു
- 1569: മെർക്കേറ്റർ മാപ്പ് പ്രൊജക്ഷന് കോൺ സംരക്ഷിക്കുന്ന ഗണിതം ആവശ്യമാണ്
1600-കൾ - 1800-കൾ
ന്യൂടണും ലൈബ്നിസും കാൽക്കുലസ് വികസിപ്പിച്ചപ്പോൾ (1670-കൾ), ഡിഗ്രികൾ പ്രശ്നമായി: ഡിഗ്രിയിൽ d/dx(sin x) = (π/180)cos x—ഒരു വിരൂപമായ സ്ഥിരാങ്കം! റോജർ കോട്സും (1682-1716) ലിയോൺഹാർഡ് ഓയ്ലറും റേഡിയനെ ഔദ്യോഗികമാക്കി: കോൺ = ആർക്ക് നീളം / ആരം. ഇപ്പോൾ d/dx(sin x) = cos x മനോഹരമായി.
ജയിംസ് തോംസൺ 1873-ൽ 'റേഡിയൻ' എന്ന പദം (ലാറ്റിൻ 'radius' ൽ നിന്ന്) ഉപയോഗിച്ചു. റേഡിയൻ ഗണിത വിശകലനം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് എന്നിവയുടെ യൂണിറ്റായി മാറി. എങ്കിലും, മനുഷ്യർ π-യെക്കാൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നതുകൊണ്ട് ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ഡിഗ്രികൾ നിലനിന്നു.
- 1670-കൾ: കാൽക്കുലസ് ഡിഗ്രികൾ കുഴഞ്ഞുമറിഞ്ഞ ഫോർമുലകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നുവെന്ന് വെളിപ്പെടുത്തുന്നു
- 1714: റോജർ കോട്സ് 'വൃത്താകൃതിയിലുള്ള അളവ്' (പ്രീ-റേഡിയൻ) വികസിപ്പിക്കുന്നു
- 1748: ഓയ്ലർ വിശകലനത്തിൽ റേഡിയൻസ് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു
- 1873: തോംസൺ അതിനെ 'റേഡിയൻ' എന്ന് പേരിട്ടു; ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര നിലവാരമായി മാറുന്നു
1900-കൾ - ഇന്നുവരെ
ഒന്നാം ലോകമഹായുദ്ധത്തിലെ പീരങ്കിപ്പടയ്ക്ക് പ്രായോഗിക കോൺ യൂണിറ്റുകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു: മിൽ പിറന്നു—1 മിൽ ≈ 1 കിലോമീറ്റർ ദൂരത്തിൽ 1 മീറ്റർ വ്യതിയാനം. NATO 6400 മിൽസ്/വൃത്തം (2-ന്റെ ഒരു നല്ല ഘാതം) നിലവാരമാക്കി, അതേസമയം USSR 6000 (ദശാംശ സൗകര്യം) ഉപയോഗിച്ചു. യഥാർത്ഥ മില്ലിറേഡിയൻ = 6283/വൃത്തം.
ബഹിരാകാശ യുഗത്തിലെ ജ്യോതിശാസ്ത്രം മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ് കൃത്യത (ഹിപ്പാർക്കോസ്, 1989), തുടർന്ന് മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ് (ഗായ, 2013) കൃത്യത കൈവരിച്ചു. ഗായ നക്ഷത്രങ്ങളുടെ പാരലാക്സ് 20 മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ് വരെ അളക്കുന്നു—ഇത് 1,000 കിലോമീറ്റർ ദൂരത്തുനിന്ന് ഒരു മനുഷ്യന്റെ മുടി കാണുന്നതിന് തുല്യമാണ്! ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രം റേഡിയൻസ് സാർവത്രികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു; നാവിഗേഷനും നിർമ്മാണവും മാത്രമാണ് ഇപ്പോഴും ഡിഗ്രികൾക്ക് മുൻഗണന നൽകുന്നത്.
- 1916: സൈനിക പീരങ്കിപ്പട ദൂരപരിധി കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി മിൽ സ്വീകരിക്കുന്നു
- 1960: SI റേഡിയനെ ഒരു യോജിച്ച ഡെറൈവ്ഡ് യൂണിറ്റായി അംഗീകരിക്കുന്നു
- 1989: ഹിപ്പാർക്കോസ് ഉപഗ്രഹം: ~1 മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ് കൃത്യത
- 2013: ഗായ ഉപഗ്രഹം: 20 മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ് കൃത്യത—1 ബില്യൺ നക്ഷത്രങ്ങളെ മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു
പ്രൊഫഷണൽ ടിപ്പുകൾ
- **പെട്ടെന്നുള്ള റേഡിയൻ**: π rad = 180°. അർദ്ധവൃത്തം! അതിനാൽ π/2 = 90°, π/4 = 45°.
- **ചരിവ് മാനസിക ഗണിതം**: ചെറിയ ചരിവുകൾ: ഗ്രേഡ്% ≈ കോൺ° × 1.75. (10% ≈ 5.7°)
- **ആർക്ക്മിനിറ്റ്**: 1° = 60′. നിങ്ങളുടെ തള്ളവിരൽ കൈനീട്ടി പിടിച്ചാൽ ≈ 2° ≈ 120′ വീതി.
- **നെഗറ്റീവ് = ഘടികാരദിശയിൽ**: പോസിറ്റീവ് കോണുകൾ ഘടികാരദിശയ്ക്ക് വിപരീതമാണ്. -90° = 270° ഘടികാരദിശയിൽ.
- **മോഡുലോ റാപ്പ്**: 360° യഥേഷ്ടം കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക. 370° = 10°, -90° = 270°.
- **യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ**: cos = x, sin = y. ആരം = 1. ട്രൈഗണോമെട്രിക്ക് അടിസ്ഥാനം!
- **ഓട്ടോമാറ്റിക് ശാസ്ത്രീയ നൊട്ടേഷൻ**: 0.000001°-ൽ താഴെയോ 1,000,000,000°-ൽ കൂടുതലോ ഉള്ള മൂല്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ വായിക്കാൻ ശാസ്ത്രീയ നൊട്ടേഷനിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും (മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡുകൾക്ക് അത്യാവശ്യം!).
യൂണിറ്റ് റഫറൻസ്
സാധാരണ യൂണിറ്റുകൾ
| യൂണിറ്റ് | ചിഹ്നം | ഡിഗ്രി | കുറിപ്പുകൾ |
|---|---|---|---|
| ഡിഗ്രി | ° | 1° (base) | അടിസ്ഥാന യൂണിറ്റ്; 360° = വൃത്തം. സാർവത്രിക നിലവാരം. |
| റേഡിയൻ | rad | 57.2958° | സ്വാഭാവിക യൂണിറ്റ്; 2π rad = വൃത്തം. കാൽക്കുലസിന് ആവശ്യമാണ്. |
| ഗ്രേഡിയൻ (ഗോൺ) | grad | 900.000000 m° | മെട്രിക് കോൺ; 400 grad = വൃത്തം. സർവേയിംഗ് (യൂറോപ്പ്). |
| ടേൺ (വിപ്ലവം) | turn | 360.0000° | പൂർണ്ണമായ ഭ്രമണം; 1 തിരിവ് = 360°. ലളിതമായ ആശയം. |
| വിപ്ലവം | rev | 360.0000° | തിരിവ് പോലെ തന്നെ; 1 വിപ്ലവം = 360°. യാന്ത്രികം. |
| വൃത്തം | circle | 360.0000° | പൂർണ്ണമായ ഭ്രമണം; 1 വൃത്തം = 360°. |
| മട്ടകോൺ (ക്വാഡ്രന്റ്) | ∟ | 90.0000° | കാൽഭാഗം തിരിവ്; 90°. ലംബമായ വരകൾ. |
ആർക്ക്മിനിറ്റുകളും ആർക്ക്സെക്കൻഡുകളും
| യൂണിറ്റ് | ചിഹ്നം | ഡിഗ്രി | കുറിപ്പുകൾ |
|---|---|---|---|
| ആർക്കിന്റെ മിനിറ്റ് (ആർക്ക്മിനിറ്റ്) | ′ | 16.666667 m° | ആർക്ക്മിനിറ്റ്; 1′ = 1/60°. ജ്യോതിശാസ്ത്രം, നാവിഗേഷൻ. |
| ആർക്കിന്റെ സെക്കൻഡ് (ആർക്ക്സെക്കൻഡ്) | ″ | 277.777778 µ° | ആർക്ക്സെക്കൻഡ്; 1″ = 1/3600°. കൃത്യതയുള്ള ജ്യോതിശാസ്ത്രം. |
| മില്ലിആർക്ക്സെക്കൻഡ് | mas | 2.778e-7° | 0.001″. ഹബിൾ കൃത്യത (~50 mas റെസല്യൂഷൻ). |
| മൈക്രോആർക്ക്സെക്കൻഡ് | µas | 2.778e-10° | 0.000001″. ഗായ ഉപഗ്രഹ കൃത്യത. അതിസൂക്ഷ്മം. |
നാവിഗേഷനും സൈനികവും
| യൂണിറ്റ് | ചിഹ്നം | ഡിഗ്രി | കുറിപ്പുകൾ |
|---|---|---|---|
| പോയിന്റ് (കോമ്പസ്) | point | 11.2500° | 32 പോയിന്റുകൾ; 1 പോയിന്റ് = 11.25°. പരമ്പരാഗത നാവിഗേഷൻ. |
| മിൽ (നാറ്റോ) | mil | 56.250000 m° | ഒരു വൃത്തത്തിന് 6400; 1 മിൽ ≈ 1 കിലോമീറ്ററിൽ 1 മീറ്റർ. സൈനിക നിലവാരം. |
| മിൽ (യുഎസ്എസ്ആർ) | mil USSR | 60.000000 m° | ഒരു വൃത്തത്തിന് 6000. റഷ്യൻ/സോവിയറ്റ് സൈനിക നിലവാരം. |
| മിൽ (സ്വീഡൻ) | streck | 57.142857 m° | ഒരു വൃത്തത്തിന് 6300. സ്കാൻഡിനേവിയൻ സൈനിക നിലവാരം. |
| ബൈനറി ഡിഗ്രി | brad | 1.4063° | ഒരു വൃത്തത്തിന് 256; 1 brad ≈ 1.406°. കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്. |
ജ്യോതിശാസ്ത്രവും ആകാശവും
| യൂണിറ്റ് | ചിഹ്നം | ഡിഗ്രി | കുറിപ്പുകൾ |
|---|---|---|---|
| ഹവർ ആംഗിൾ | h | 15.0000° | 24h = 360°; 1h = 15°. ആകാശ കോർഡിനേറ്റുകൾ (RA). |
| സമയത്തിന്റെ മിനിറ്റ് | min | 250.000000 m° | 1 മിനിറ്റ് = 15′ = 0.25°. സമയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള കോൺ. |
| സമയത്തിന്റെ സെക്കൻഡ് | s | 4.166667 m° | 1 സെ = 15″ ≈ 0.00417°. കൃത്യതയുള്ള സമയ കോൺ. |
| ചിഹ്നം (രാശി) | sign | 30.0000° | രാശിചിഹ്നം; 12 ചിഹ്നങ്ങൾ = 360°; 1 ചിഹ്നം = 30°. ജ്യോതിഷം. |
പ്രത്യേകവും എഞ്ചിനീയറിംഗും
| യൂണിറ്റ് | ചിഹ്നം | ഡിഗ്രി | കുറിപ്പുകൾ |
|---|---|---|---|
| സെക്സ്റ്റന്റ് | sextant | 60.0000° | 1/6 വൃത്തം; 60°. ജ്യാമിതീയ വിഭജനം. |
| ഒക്ടന്റ് | octant | 45.0000° | 1/8 വൃത്തം; 45°. ജ്യാമിതീയ വിഭജനം. |
| ക്വാഡ്രന്റ് | quadrant | 90.0000° | 1/4 വൃത്തം; 90°. മട്ടകോൺ പോലെ തന്നെ. |
| ശതമാനം ഗ്രേഡ് (ചരിവ്) | % | formula | ശതമാനം ചരിവ്; arctan(ചരിവ്/100) = കോൺ. എഞ്ചിനീയറിംഗ്. |
പതിവുചോദ്യങ്ങൾ
എപ്പോഴാണ് ഡിഗ്രിയും റേഡിയൻസും ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്?
ഡിഗ്രി ഉപയോഗിക്കുക: ദൈനംദിന കോണുകൾ, നാവിഗേഷൻ, സർവേയിംഗ്, നിർമ്മാണം. റേഡിയൻസ് ഉപയോഗിക്കുക: കാൽക്കുലസ്, ഭൗതികശാസ്ത്ര സമവാക്യങ്ങൾ, പ്രോഗ്രാമിംഗ് (ട്രൈഗണോമെട്രിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ). റേഡിയൻസ് 'സ്വാഭാവികമാണ്', കാരണം ആർക്ക് നീളം = ആരം × കോൺ. d/dx(sin x) = cos x പോലുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകൾ റേഡിയൻസിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ!
എന്തുകൊണ്ടാണ് π rad = 180° കൃത്യമായിരിക്കുന്നത്?
വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 2πr. അർദ്ധവൃത്തം (നേർരേഖ) = πr. റേഡിയൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് ആർക്ക് നീളം/ആരം എന്നാണ്. അർദ്ധവൃത്തത്തിന്: ആർക്ക് = πr, ആരം = r, അതിനാൽ കോൺ = πr/r = π റേഡിയൻസ്. അതിനാൽ, നിർവചനപ്രകാരം π rad = 180°.
ചരിവ് ശതമാനം കോണിലേക്ക് എങ്ങനെ മാറ്റാം?
arctan ഉപയോഗിക്കുക: കോൺ = arctan(ഗ്രേഡ്/100). ഉദാഹരണം: 10% ഗ്രേഡ് = arctan(0.1) ≈ 5.71°. വെറുതെ ഗുണിക്കരുത്! 10% ≠ 10°. വിപരീതം: ഗ്രേഡ് = tan(കോൺ) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% ഗ്രേഡ്.
ആർക്ക്മിനിറ്റും സമയത്തിന്റെ മിനിറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?
ആർക്ക്മിനിറ്റ് (′) = ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ 1/60 (കോൺ). സമയത്തിന്റെ മിനിറ്റ് = ഒരു മണിക്കൂറിന്റെ 1/60 (സമയം). പൂർണ്ണമായും വ്യത്യസ്തമാണ്! ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൽ, 'സമയത്തിന്റെ മിനിറ്റ്' കോണിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു: 1 മിനിറ്റ് = 15 ആർക്ക്മിനിറ്റുകൾ (കാരണം 24h = 360°, അതിനാൽ 1 മിനിറ്റ് = 360°/1440 = 0.25° = 15′).
വ്യത്യസ്ത രാജ്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത മിൽസ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
മിൽ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് 1 മിൽ ≈ 1 കിലോമീറ്ററിൽ 1 മീറ്റർ (പ്രായോഗിക ബാലിസ്റ്റിക്സ്) എന്നാണ്. യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ മില്ലിറേഡിയൻ = 1/1000 rad ≈ ഒരു വൃത്തത്തിന് 6283. NATO അത് 6400 ലേക്ക് ലളിതമാക്കി (2 ന്റെ ഘാതം, എളുപ്പത്തിൽ ഹരിക്കാം). USSR 6000 ഉപയോഗിച്ചു (10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം). സ്വീഡൻ 6300 (ഒരു ഒത്തുതീർപ്പ്). എല്ലാം 2π×1000 ന് അടുത്താണ്.
കോണുകൾ നെഗറ്റീവ് ആകാമോ?
അതെ! പോസിറ്റീവ് = ഘടികാരദിശയ്ക്ക് വിപരീതം (ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കൺവെൻഷൻ). നെഗറ്റീവ് = ഘടികാരദിശയിൽ. -90° = 270° (ഒരേ സ്ഥാനം, വ്യത്യസ്ത ദിശ). നാവിഗേഷനിൽ, 0-360° പരിധി ഉപയോഗിക്കുക. ഗണിതശാസ്ത്രം/ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, നെഗറ്റീവ് കോണുകൾ സാധാരണമാണ്. ഉദാഹരണം: -π/2 = -90° = 270°.
സമ്പൂർണ്ണ ഉപകരണ ഡയറക്ടറി
UNITS-ൽ ലഭ്യമായ എല്ലാ 71 ഉപകരണങ്ങളും