Un ángulo mide la rotación o el giro entre dos líneas. Piensa en abrir una puerta o girar una rueda. Se mide en grados (°), radianes (rad) o gradianes. 360° = círculo completo = una rotación completa.

• Ángulo = cantidad de rotación
• Círculo completo = 360° = 2π rad
• Ángulo recto = 90° = π/2 rad
• Línea recta = 180° = π rad

Grados: círculo dividido en 360 partes (histórico). Radianes: basados en el radio del círculo. 2π radianes = 360°. Los radianes son 'naturales' para las matemáticas/física. π rad = 180°, por lo que 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (círculo completo)
• 180° = π rad (medio círculo)
• 90° = π/2 rad (ángulo recto)
• 1 rad ≈ 57,2958° (conversión)

Gradián: 100 grad = 90° (ángulo métrico). Minuto/segundo de arco: subdivisiones del grado (astronomía). Milésima: navegación militar (6400 milésimas = círculo). Cada unidad para una aplicación específica.

• Gradián: 400 grad = círculo
• Minuto de arco: 1′ = 1/60°
• Segundo de arco: 1″ = 1/3600°
• Milésima (OTAN): 6400 milésimas = círculo

360° por círculo (origen babilónico - ~360 días/año). Subdividido: 1° = 60′ (minutos de arco) = 3600″ (segundos de arco). Universal para navegación, topografía y uso cotidiano.

• 360° = círculo completo
• 1° = 60 minutos de arco (′)
• 1′ = 60 segundos de arco (″)
• Fácil para los humanos, histórico

Radián: longitud del arco = radio. 2π rad = circunferencia del círculo/radio. Natural para el cálculo (derivadas de sen, cos). Estándar en física e ingeniería. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (exacto)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Natural para matemáticas/física

Gradián: 400 grad = círculo (ángulo métrico). 100 grad = ángulo recto. Milésima: navegación militar - la OTAN usa 6400 milésimas. La URSS usaba 6000. Existen diferentes estándares.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (ángulo recto)
• Milésima (OTAN): 6400 por círculo
• Milésima (URSS): 6000 por círculo

rad = grado × π/180. grado = rad × 180/π. grad = grado × 10/9. ¡Usa siempre radianes en el cálculo! Las funciones trigonométricas necesitan radianes para las derivadas.

• rad = grado × (π/180)
• grado = rad × (180/π)
• grad = grado × (10/9)
• El cálculo requiere radianes

sen, cos, tan relacionan ángulos con razones. Círculo unitario: radio=1, ángulo=θ. Coordenadas del punto: (cos θ, sen θ). Esencial para física, ingeniería y gráficos.

• sen θ = opuesto/hipotenusa
• cos θ = adyacente/hipotenusa
• tan θ = opuesto/adyacente
• Círculo unitario: (cos θ, sen θ)

Los ángulos se suman/restan normalmente. 45° + 45° = 90°. Rotación completa: suma/resta 360° (o 2π). Aritmética modular para el 'enrollamiento': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (suma normal)
• Enrollamiento: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Ángulos negativos: -90° = 270°

Rumbos de brújula: 0°=Norte, 90°=Este, 180°=Sur, 270°=Oeste. Los militares usan milésimas para la precisión. La brújula tiene 32 puntos (11,25° cada uno). El GPS usa grados decimales.

• Rumbos: 0-360° desde el Norte
• Milésima de la OTAN: 6400 por círculo
• Puntos de la brújula: 32 (11,25° cada uno)
• GPS: grados decimales

Posiciones estelares: precisión de segundos de arco. Paralaje: milisegundos de arco. Hubble: resolución de ~50 mas. Satélite Gaia: precisión de microsegundos de arco. Ángulo horario: 24h = 360°.

• Segundo de arco: posiciones estelares
• Milisegundo de arco: paralaje, VLBI
• Microsegundo de arco: satélite Gaia
• Ángulo horario: 15°/hora

Pendiente: porcentaje de pendiente o ángulo. 10% de pendiente ≈ 5,7°. El diseño de carreteras usa porcentajes. La topografía usa grados/minutos/segundos. El sistema de gradianes para países métricos.

• Pendiente: % o grados
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Topografía: GMS (grados-minutos-segundos)
• Gradián: topografía métrica

rad = grado × π/180. grado = rad × 180/π. Rápido: 180° = π rad, así que divide/multiplica por esta razón.

• rad = grado × 0,01745
• grado = rad × 57,2958
• π rad = 180° (exacto)
• 2π rad = 360° (exacto)

ángulo = arctan(pendiente/100). 10% de pendiente = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Inverso: pendiente = tan(ángulo) × 100.

• θ = arctan(pendiente/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Empinado: 100% = 45°

1° = 60′ (minuto de arco). 1′ = 60″ (segundo de arco). Total: 1° = 3600″. Subdivisión rápida para mayor precisión.

• 1° = 60 minutos de arco
• 1′ = 60 segundos de arco
• 1° = 3600 segundos de arco
• GMS: grados-minutos-segundos

Una carretera tiene una pendiente del 8%. ¿Cuál es el ángulo?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. ¡Una pendiente relativamente suave!

Navega con un rumbo de 135°. ¿Qué dirección de la brújula es?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=O. 135° está entre E (90°) y S (180°). Dirección: Sureste (SE).

Una estrella se movió 0,5 segundos de arco. ¿Cuántos grados son?

1″ = 1/3600°. Así que 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. ¡Un movimiento diminuto!

Los babilonios usaban un sistema sexagesimal (base 60). ¡360 tiene muchos divisores (24 factores!). Coincide aproximadamente con los 360 días del año. Conveniente para la astronomía y la cronometría. También se divide exactamente por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

El radián se define por la longitud del arco = radio. Esto hace que el cálculo sea hermoso: d/dx(sen x) = cos x (¡solo en radianes!). En grados, d/dx(sen x) = (π/180)cos x (complicado). ¡La naturaleza 'usa' radianes!

Ángulo métrico: 100 gradianes = ángulo recto. Se intentó durante la Revolución Francesa con el sistema métrico. Nunca se popularizó, los grados estaban demasiado arraigados. Todavía se usa en topografía en algunos lugares (Suiza, norte de Europa). ¡Las calculadoras tienen un modo 'grad'!

¡1 milisegundo de arco ≈ el ancho de un cabello humano visto desde 10 km de distancia! El Telescopio Espacial Hubble puede resolver ~50 mas. Precisión increíble para la astronomía. Se usa para medir el paralaje estelar y estrellas binarias.

Milésima militar: 1 milésima ≈ 1 m de ancho a 1 km de distancia (OTAN: 1,02 m, bastante cerca). Matemáticas mentales fáciles para estimar el alcance. Diferentes países usan diferentes milésimas (6000, 6300, 6400 por círculo). ¡Una unidad balística práctica!

90 = 360/4 (un cuarto de vuelta). Pero 'recto' viene del latín 'rectus' = erguido, derecho. Un ángulo recto forma líneas perpendiculares. Esencial para la construcción: ¡los edificios necesitan ángulos rectos para mantenerse en pie!

Los babilonios usaban un sistema numérico sexagesimal (base 60) para la astronomía y la cronometría. Dividieron el círculo en 360 partes porque 360 ≈ días en un año (en realidad 365,25), y 360 tiene 24 divisores, increíblemente conveniente para las fracciones.

Este sistema de base 60 persiste hoy en día: 60 segundos por minuto, 60 minutos por hora y por grado. El número 360 se factoriza como 2³ × 3² × 5, dividiéndose exactamente por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, ¡el sueño de una calculadora!

• 2000 a.C.: Astrónomos babilónicos rastrean posiciones celestes en grados
• Se eligió 360° por su divisibilidad y su aproximación al año
• La base 60 nos da horas (24 = 360/15) y minutos/segundos
• Astrónomos griegos adoptan los 360° de las tablas babilónicas

Los Elementos de Euclides (300 a.C.) formalizaron la geometría de los ángulos: ángulos rectos (90°), complementarios (suman 90°), suplementarios (suman 180°). Matemáticos griegos como Hiparco crearon la trigonometría usando tablas basadas en grados para la astronomía y la topografía.

Los navegantes medievales usaban el astrolabio y la brújula con 32 puntos (cada uno de 11,25°). Los marineros necesitaban rumbos precisos; los minutos de arco (1/60°) y los segundos de arco (1/3600°) surgieron para los catálogos estelares y las cartas náuticas.

• 300 a.C.: Los Elementos de Euclides definen los ángulos geométricos
• 150 a.C.: Hiparco crea las primeras tablas trigonométricas (grados)
• Años 1200: El astrolabio usa marcas de grados para la navegación celestial
• 1569: La proyección de Mercator requiere matemáticas que conserven los ángulos

A medida que Newton y Leibniz desarrollaban el cálculo (década de 1670), los grados se volvieron problemáticos: d/dx(sen x) = (π/180)cos x en grados, ¡una constante fea! Roger Cotes (1682-1716) y Leonhard Euler formalizaron el radián: ángulo = longitud del arco / radio. Ahora d/dx(sen x) = cos x de forma hermosa.

James Thomson acuñó el término 'radián' en 1873 (del latín 'radius'). El radián se convirtió en LA unidad para el análisis matemático, la física y la ingeniería. Sin embargo, los grados persistieron en la vida cotidiana porque los humanos prefieren los números enteros a π.

• Década de 1670: El cálculo revela que los grados crean fórmulas complicadas
• 1714: Roger Cotes desarrolla la 'medida circular' (pre-radián)
• 1748: Euler usa extensamente los radianes en el análisis
• 1873: Thomson lo nombra 'radián'; se convierte en el estándar matemático

La artillería de la Primera Guerra Mundial exigía unidades de ángulo prácticas: nació la milésima, 1 milésima ≈ 1 metro de desviación a 1 km de distancia. La OTAN estandarizó 6400 milésimas/círculo (una buena potencia de 2), mientras que la URSS usó 6000 (conveniencia decimal). El verdadero milirradián = 6283/círculo.

La astronomía de la era espacial alcanzó una precisión de milisegundos de arco (Hipparcos, 1989), y luego de microsegundos de arco (Gaia, 2013). Gaia mide el paralaje estelar con una precisión de 20 microsegundos de arco, ¡equivalente a ver un cabello humano desde 1.000 km de distancia! La física moderna usa radianes universalmente; solo la navegación y la construcción todavía prefieren los grados.

• 1916: La artillería militar adopta la milésima para los cálculos de alcance
• 1960: El SI reconoce el radián como una unidad derivada coherente
• 1989: Satélite Hipparcos: precisión de ~1 milisegundo de arco
• 2013: Satélite Gaia: precisión de 20 microsegundos de arco, mapea 1.000 millones de estrellas

Usa grados para: ángulos cotidianos, navegación, topografía, construcción. Usa radianes para: cálculo, ecuaciones de física, programación (funciones trigonométricas). Los radianes son 'naturales' porque la longitud del arco = radio × ángulo. ¡Las derivadas como d/dx(sen x) = cos x solo funcionan en radianes!

La circunferencia del círculo = 2πr. Medio círculo (línea recta) = πr. El radián se define como longitud del arco/radio. Para medio círculo: arco = πr, radio = r, por lo que el ángulo = πr/r = π radianes. Por lo tanto, π rad = 180° por definición.

Usa arctan: ángulo = arctan(pendiente/100). Ejemplo: 10% de pendiente = arctan(0,1) ≈ 5,71°. ¡NO solo multipliques! 10% ≠ 10°. Inverso: pendiente = tan(ángulo) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% de pendiente.

Minuto de arco (′) = 1/60 de un grado (ángulo). Minuto de tiempo = 1/60 de una hora (tiempo). ¡Completamente diferentes! En astronomía, 'minuto de tiempo' se convierte en ángulo: 1 min = 15 minutos de arco (porque 24h = 360°, por lo que 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

La milésima se diseñó para que 1 milésima ≈ 1 metro a 1 km (balística práctica). El verdadero milirradián matemático = 1/1000 rad ≈ 6283 por círculo. La OTAN lo simplificó a 6400 (una potencia de 2, se divide bien). La URSS usó 6000 (divisible por 10). Suecia 6300 (un compromiso). Todos están cerca de 2π×1000.

¡Sí! Positivo = en sentido antihorario (convención matemática). Negativo = en sentido horario. -90° = 270° (misma posición, dirección diferente). En navegación, usa el rango 0-360°. En matemáticas/física, los ángulos negativos son comunes. Ejemplo: -π/2 = -90° = 270°.