Uhol meria rotáciu alebo otočenie medzi dvoma čiarami. Predstavte si otváranie dverí alebo otáčanie kolesa. Meria sa v stupňoch (°), radiánoch (rad) alebo gradiánoch. 360° = plný kruh = jedna úplná rotácia.

• Uhol = množstvo rotácie
• Plný kruh = 360° = 2π rad
• Pravý uhol = 90° = π/2 rad
• Priamka = 180° = π rad

Stupne: kruh rozdelený na 360 častí (historicky). Radiány: založené na polomere kruhu. 2π radiánov = 360°. Radiány sú 'prirodzené' pre matematiku/fyziku. π rad = 180°, takže 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (plný kruh)
• 180° = π rad (polkruh)
• 90° = π/2 rad (pravý uhol)
• 1 rad ≈ 57,2958° (prevod)

Gradián: 100 grad = 90° (metrický uhol). Oblúková minúta/sekunda: podjednotky stupňa (astronómia). Mil: vojenská navigácia (6400 mils = kruh). Každá jednotka pre špecifickú aplikáciu.

• Gradián: 400 grad = kruh
• Oblúková minúta: 1′ = 1/60°
• Oblúková sekunda: 1″ = 1/3600°
• Mil (NATO): 6400 mil = kruh

360° na kruh (babylonský pôvod - ~360 dní/rok). Delí sa: 1° = 60′ (oblúkových minút) = 3600″ (oblúkových sekúnd). Univerzálny pre navigáciu, geodéziu, každodenné použitie.

• 360° = plný kruh
• 1° = 60 oblúkových minút (′)
• 1′ = 60 oblúkových sekúnd (″)
• Jednoduché pre ľudí, historické

Radián: dĺžka oblúka = polomer. 2π rad = obvod kruhu/polomer. Prirodzený pre kalkulus (derivácie sin, cos). Štandard vo fyzike, inžinierstve. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (presne)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Prirodzený pre matematiku/fyziku

Gradián: 400 grad = kruh (metrický uhol). 100 grad = pravý uhol. Mil: vojenská navigácia - NATO používa 6400 mils. ZSSR používalo 6000. Existujú rôzne štandardy.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (pravý uhol)
• Mil (NATO): 6400 na kruh
• Mil (ZSSR): 6000 na kruh

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. V kalkuluse vždy používajte radiány! Trigonometrické funkcie potrebujú radiány pre derivácie.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Kalkulus vyžaduje radiány

sin, cos, tan spájajú uhly s pomermi. Jednotková kružnica: polomer=1, uhol=θ. Súradnice bodu: (cos θ, sin θ). Nevyhnutné pre fyziku, inžinierstvo, grafiku.

• sin θ = protiľahlá/prepona
• cos θ = priľahlá/prepona
• tan θ = protiľahlá/priľahlá
• Jednotková kružnica: (cos θ, sin θ)

Uhly sa sčítajú/odčítajú normálne. 45° + 45° = 90°. Plná rotácia: sčítajte/odčítajte 360° (alebo 2π). Modulárna aritmetika pre zacyklenie: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normálne sčítanie)
• Zacyklenie: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Záporné uhly: -90° = 270°

Kompasové azimuty: 0°=Sever, 90°=Východ, 180°=Juh, 270°=Západ. Armáda používa mils pre presnosť. Kompas má 32 bodov (každý 11,25°). GPS používa desatinné stupne.

• Azimuty: 0-360° od Severu
• NATO mil: 6400 na kruh
• Kompasové body: 32 (každý 11,25°)
• GPS: desatinné stupne

Polohy hviezd: presnosť na oblúkové sekundy. Paralaxa: mili oblúkové sekundy. Hubble: ~50 mas rozlíšenie. Satelit Gaia: presnosť na mikrooblúkové sekundy. Hodinový uhol: 24h = 360°.

• Oblúková sekunda: polohy hviezd
• Mili oblúková sekunda: paralaxa, VLBI
• Mikrooblúková sekunda: satelit Gaia
• Hodinový uhol: 15°/hodina

Sklon: percentuálny stupeň alebo uhol. 10% stupeň ≈ 5,7°. Projektovanie ciest používa percentá. Geodézia používa stupne/minúty/sekundy. Gradiánový systém pre metrické krajiny.

• Sklon: % alebo stupne
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Geodézia: DMS (stupeň-minúta-sekunda)
• Gradián: metrická geodézia

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Rýchlo: 180° = π rad, takže deľte/násobte týmto pomerom.

• rad = deg × 0,01745
• deg = rad × 57,2958
• π rad = 180° (presne)
• 2π rad = 360° (presne)

uhol = arctan(sklon/100). 10% sklon = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Opačne: sklon = tan(uhol) × 100.

• θ = arctan(stupeň/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Strmý: 100% = 45°

1° = 60′ (oblúková min). 1′ = 60″ (oblúková sek). Celkovo: 1° = 3600″. Rýchle delenie pre presnosť.

• 1° = 60 oblúkových minút
• 1′ = 60 oblúkových sekúnd
• 1° = 3600 oblúkových sekúnd
• DMS: stupne-minúty-sekundy

Cesta má sklon 8%. Aký je uhol?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Relatívne mierny sklon!

Navigujte pod azimutom 135°. Aký je to kompasový smer?

0°=S, 90°=V, 180°=J, 270°=Z. 135° je medzi V (90°) a J (180°). Smer: Juhovýchod (JV).

Hviezda sa posunula o 0,5 oblúkovej sekundy. Koľko je to stupňov?

1″ = 1/3600°. Takže 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Maličký pohyb!

Babylončania používali šesťdesiatkovú sústavu (základ 60). 360 má veľa deliteľov (24 faktorov!). Približne sa zhoduje s 360 dňami v roku. Pohodlné pre astronómiu a meranie času. Tiež sa delí bezo zvyšku číslami 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radián je definovaný dĺžkou oblúka = polomer. Vďaka tomu je kalkulus krásny: d/dx(sin x) = cos x (len v radiánoch!). V stupňoch, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (neporiadok). Príroda 'používa' radiány!

Metrický uhol: 100 grad = pravý uhol. Skúšalo sa to počas Francúzskej revolúcie s metrickým systémom. Nikdy sa nestal populárnym—stupne boli príliš zakorenené. Stále sa používa v niektorých geodetických prácach (Švajčiarsko, severná Európa). Kalkulačky majú režim 'grad'!

1 mili oblúková sekunda ≈ šírka ľudského vlasu videná z 10 km! Hubbleov vesmírny ďalekohľad dokáže rozlíšiť ~50 mas. Neuveriteľná presnosť pre astronómiu. Používa sa na meranie hviezdnej paralaxy, dvojhviezd.

Vojenský mil: 1 mil ≈ 1 m šírky na vzdialenosť 1 km (NATO: 1,02 m, dosť blízko). Jednoduchá mentálna matematika na odhad vzdialenosti. Rôzne krajiny používajú rôzne mils (6000, 6300, 6400 na kruh). Praktická balistická jednotka!

90 = 360/4 (štvrť otáčky). Ale 'pravý' pochádza z latinského 'rectus' = vzpriamený, rovný. Pravý uhol vytvára kolmé čiary. Nevyhnutné pre stavebníctvo—budovy potrebujú pravé uhly, aby stáli!

Babylončania používali šesťdesiatkovú (základ 60) číselnú sústavu pre astronómiu a meranie času. Rozdelili kruh na 360 častí, pretože 360 ≈ dní v roku (v skutočnosti 365,25), a 360 má 24 deliteľov—neuveriteľne výhodné pre zlomky.

Tento systém so základom 60 pretrváva dodnes: 60 sekúnd za minútu, 60 minút za hodinu a za stupeň. Číslo 360 sa dá rozložiť na 2³ × 3² × 5, deliteľné bezo zvyšku číslami 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—sen každej kalkulačky!

• 2000 pred n. l.: Babylonskí astronómovia sledujú nebeské polohy v stupňoch
• 360° zvolené pre deliteľnosť a ~ročnú aproximáciu
• Základ 60 nám dáva hodiny (24 = 360/15) a minúty/sekundy
• Grécki astronómovia prijali 360° z babylonských tabuliek

Euklidove Základy (300 pred n. l.) formalizovali geometriu uhlov—pravé uhly (90°), doplnkové (súčet do 90°), vedľajšie (súčet do 180°). Grécki matematici ako Hipparchos vytvorili trigonometriu pomocou tabuliek založených na stupňoch pre astronómiu a geodéziu.

Stredovekí navigátori používali astroláb a kompas s 32 bodmi (každý 11,25°). Námorníci potrebovali presné azimuty; oblúkové minúty (1/60°) a oblúkové sekundy (1/3600°) sa objavili pre hviezdne katalógy a námorné mapy.

• 300 pred n. l.: Euklidove Základy definujú geometrické uhly
• 150 pred n. l.: Hipparchos vytvára prvé trigonometrické tabuľky (stupne)
• 1200-te roky: Astroláb používa stupňové značky pre nebeskú navigáciu
• 1569: Mercatorova mapa vyžaduje matematiku zachovávajúcu uhly

Keď Newton a Leibniz vyvíjali kalkulus (1670-te roky), stupne sa stali problematickými: d/dx(sin x) = (π/180)cos x v stupňoch—škaredá konštanta! Roger Cotes (1682-1716) a Leonhard Euler formalizovali radián: uhol = dĺžka oblúka / polomer. Teraz je d/dx(sin x) = cos x krásne.

James Thomson vytvoril termín 'radián' v roku 1873 (z latinského 'radius'). Radián sa stal JEDNOTKOU pre matematickú analýzu, fyziku a inžinierstvo. Napriek tomu stupne pretrvali v každodennom živote, pretože ľudia uprednostňujú celé čísla pred π.

• 1670-te roky: Kalkulus odhaľuje, že stupne vytvárajú neprehľadné vzorce
• 1714: Roger Cotes vyvíja 'kruhovú mieru' (pred-radián)
• 1748: Euler extenzívne používa radiány v analýze
• 1873: Thomson ho nazýva 'radián'; stáva sa matematickým štandardom

Delostrelectvo prvej svetovej vojny si vyžadovalo praktické jednotky uhla: zrodil sa mil—1 mil ≈ 1 meter odchýlky na vzdialenosť 1 km. NATO štandardizovalo 6400 mils/kruh (pekná mocnina 2), zatiaľ čo ZSSR používalo 6000 (desatinná výhoda). Skutočný miliradián = 6283/kruh.

Astronómia vesmírneho veku dosiahla presnosť mili oblúkových sekúnd (Hipparcos, 1989), potom mikrooblúkových sekúnd (Gaia, 2013). Gaia meria hviezdnu paralaxu s presnosťou 20 mikrooblúkových sekúnd—čo zodpovedá videniu ľudského vlasu z 1 000 km! Moderná fyzika používa radiány univerzálne; len navigácia a stavebníctvo stále uprednostňujú stupne.

• 1916: Vojenské delostrelectvo prijíma mil pre výpočty dostrelu
• 1960: SI uznáva radián ako koherentnú odvodenú jednotku
• 1989: Satelit Hipparcos: ~1 mili oblúková sekunda presnosti
• 2013: Satelit Gaia: 20 mikrooblúkových sekúnd presnosti—mapuje 1 miliardu hviezd

Používajte stupne pre: každodenné uhly, navigáciu, geodéziu, stavebníctvo. Používajte radiány pre: kalkulus, fyzikálne rovnice, programovanie (trigonometrické funkcie). Radiány sú 'prirodzené', pretože dĺžka oblúka = polomer × uhol. Derivácie ako d/dx(sin x) = cos x fungujú len v radiánoch!

Obvod kruhu = 2πr. Polkruh (priamka) = πr. Radián je definovaný ako dĺžka oblúka/polomer. Pre polkruh: oblúk = πr, polomer = r, takže uhol = πr/r = π radiánov. Preto je podľa definície π rad = 180°.

Použite arctan: uhol = arctan(stupeň/100). Príklad: 10% stupeň = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NIE len násobiť! 10% ≠ 10°. Opačne: stupeň = tan(uhol) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% stupeň.

Oblúková minúta (′) = 1/60 stupňa (uhol). Časová minúta = 1/60 hodiny (čas). Úplne odlišné! V astronómii sa 'časová minúta' prevádza na uhol: 1 min = 15 oblúkových minút (pretože 24h = 360°, takže 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Mil bol navrhnutý tak, aby 1 mil ≈ 1 meter na 1 km (praktická balistika). Skutočný matematický miliradián = 1/1000 rad ≈ 6283 na kruh. NATO to zjednodušilo na 6400 (mocnina 2, pekne sa delí). ZSSR používalo 6000 (delí sa 10). Švédsko 6300 (kompromis). Všetky sú blízko 2π×1000.

Áno! Kladné = proti smeru hodinových ručičiek (matematická konvencia). Záporné = v smere hodinových ručičiek. -90° = 270° (rovnaká poloha, iný smer). V navigácii sa používa rozsah 0-360°. V matematike/fyzike sú záporné uhly bežné. Príklad: -π/2 = -90° = 270°.