ตัวแปลงมุม
มุม — จากองศาถึงไมโครอาร์ควินาที
เชี่ยวชาญหน่วยวัดมุมในคณิตศาสตร์ ดาราศาสตร์ การนำทาง และวิศวกรรม ตั้งแต่องศาถึงเรเดียน จากอาร์คนาทีถึงมิล ทำความเข้าใจการหมุนและความหมายของตัวเลขในการใช้งานจริง
พื้นฐานของมุม
มุมคืออะไร?
มุมวัดการหมุนหรือการเลี้ยวระหว่างเส้นสองเส้น ลองนึกถึงการเปิดประตูหรือหมุนล้อ วัดเป็นองศา (°), เรเดียน (rad) หรือเกรเดียน 360° = วงกลมเต็ม = การหมุนครบหนึ่งรอบ
- มุม = ปริมาณการหมุน
- วงกลมเต็ม = 360° = 2π rad
- มุมฉาก = 90° = π/2 rad
- เส้นตรง = 180° = π rad
องศา vs เรเดียน
องศา: วงกลมแบ่งออกเป็น 360 ส่วน (ในอดีต) เรเดียน: ขึ้นอยู่กับรัศมีของวงกลม 2π เรเดียน = 360° เรเดียนเป็นหน่วย 'ธรรมชาติ' สำหรับคณิตศาสตร์/ฟิสิกส์ π rad = 180° ดังนั้น 1 rad ≈ 57.3°
- 360° = 2π rad (วงกลมเต็ม)
- 180° = π rad (ครึ่งวงกลม)
- 90° = π/2 rad (มุมฉาก)
- 1 rad ≈ 57.2958° (การแปลง)
หน่วยมุมอื่นๆ
เกรเดียน: 100 grad = 90° (มุมเมตริก) อาร์คนาที/อาร์ควินาที: หน่วยย่อยขององศา (ดาราศาสตร์) มิล: การนำทางทางการทหาร (6400 มิล = วงกลม) แต่ละหน่วยใช้สำหรับการใช้งานเฉพาะ
- เกรเดียน: 400 grad = วงกลม
- อาร์คนาที: 1′ = 1/60°
- อาร์ควินาที: 1″ = 1/3600°
- มิล (NATO): 6400 mil = วงกลม
- วงกลมเต็ม = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (ครึ่งวงกลม)
- 1 rad ≈ 57.3°, 1° ≈ 0.01745 rad
- เรเดียนเป็นหน่วยธรรมชาติสำหรับแคลคูลัส/ฟิสิกส์
คำอธิบายระบบหน่วย
ระบบองศา
360° ต่อวงกลม (ที่มาจากบาบิโลน - ~360 วัน/ปี) แบ่งย่อย: 1° = 60′ (อาร์คนาที) = 3600″ (อาร์ควินาที) ใช้กันอย่างแพร่หลายในการนำทาง การสำรวจ และการใช้งานในชีวิตประจำวัน
- 360° = วงกลมเต็ม
- 1° = 60 อาร์คนาที (′)
- 1′ = 60 อาร์ควินาที (″)
- เข้าใจง่ายสำหรับมนุษย์, มีประวัติศาสตร์ยาวนาน
ระบบเรเดียน
เรเดียน: ความยาวส่วนโค้ง = รัศมี 2π rad = เส้นรอบวง/รัศมี เป็นหน่วยธรรมชาติสำหรับแคลคูลัส (อนุพันธ์ของ sin, cos) เป็นมาตรฐานในฟิสิกส์และวิศวกรรม π rad = 180°
- 2π rad = 360° (ค่าที่แน่นอน)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57.2958°
- เป็นหน่วยธรรมชาติสำหรับคณิตศาสตร์/ฟิสิกส์
เกรเดียนและหน่วยทหาร
เกรเดียน: 400 grad = วงกลม (มุมเมตริก) 100 grad = มุมฉาก มิล: การนำทางทางการทหาร - NATO ใช้ 6400 มิล สหภาพโซเวียตใช้ 6000 มีมาตรฐานที่แตกต่างกัน
- 400 grad = 360°
- 100 grad = 90° (มุมฉาก)
- มิล (NATO): 6400 ต่อวงกลม
- มิล (USSR): 6000 ต่อวงกลม
คณิตศาสตร์ของมุม
การแปลงที่สำคัญ
rad = deg × π/180 deg = rad × 180/π grad = deg × 10/9 ใช้เรเดียนเสมอในแคลคูลัส! ฟังก์ชันตรีโกณมิติต้องการเรเดียนสำหรับการหาอนุพันธ์
- rad = deg × (π/180)
- deg = rad × (180/π)
- grad = deg × (10/9)
- แคลคูลัสต้องการเรเดียน
ตรีโกณมิติ
sin, cos, tan เชื่อมโยงมุมกับอัตราส่วน วงกลมหนึ่งหน่วย: รัศมี=1, มุม=θ พิกัดของจุด: (cos θ, sin θ) จำเป็นสำหรับฟิสิกส์ วิศวกรรม และกราฟิก
- sin θ = ข้าม/ฉาก
- cos θ = ชิด/ฉาก
- tan θ = ข้าม/ชิด
- วงกลมหนึ่งหน่วย: (cos θ, sin θ)
การบวกมุม
มุมบวก/ลบกันได้ตามปกติ 45° + 45° = 90° การหมุนครบหนึ่งรอบ: บวก/ลบ 360° (หรือ 2π) ใช้เลขคณิตมอดุโลสำหรับการวนรอบ: 370° = 10°
- θ₁ + θ₂ (การบวกปกติ)
- การวนรอบ: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- มุมติดลบ: -90° = 270°
มุมทั่วไป
| มุม | องศา | เรเดียน | หมายเหตุ |
|---|---|---|---|
| ศูนย์ | 0° | 0 rad | ไม่มีการหมุน |
| แหลม | 30° | π/6 | สามเหลี่ยมด้านเท่า |
| แหลม | 45° | π/4 | ครึ่งหนึ่งของมุมฉาก |
| แหลม | 60° | π/3 | สามเหลี่ยมด้านเท่า |
| ฉาก | 90° | π/2 | ตั้งฉาก, หนึ่งในสี่ของรอบ |
| ป้าน | 120° | 2π/3 | มุมภายในของหกเหลี่ยม |
| ป้าน | 135° | 3π/4 | มุมภายนอกของแปดเหลี่ยม |
| ตรง | 180° | π | ครึ่งวงกลม, เส้นตรง |
| กลับ | 270° | 3π/2 | สามในสี่ของรอบ |
| เต็ม | 360° | 2π | การหมุนครบหนึ่งรอบ |
| อาร์ควินาที | 1″ | 4.85 µrad | ความแม่นยำทางดาราศาสตร์ |
| มิลลิอาร์ควินาที | 0.001″ | 4.85 nrad | ความละเอียดของ Hubble |
| ไมโครอาร์ควินาที | 0.000001″ | 4.85 prad | ดาวเทียม Gaia |
ค่าเทียบเท่าของมุม
| คำอธิบาย | องศา | เรเดียน | เกรเดียน |
|---|---|---|---|
| วงกลมเต็ม | 360° | 2π ≈ 6.283 | 400 grad |
| ครึ่งวงกลม | 180° | π ≈ 3.142 | 200 grad |
| มุมฉาก | 90° | π/2 ≈ 1.571 | 100 grad |
| หนึ่งเรเดียน | ≈ 57.296° | 1 rad | ≈ 63.662 grad |
| หนึ่งองศา | 1° | ≈ 0.01745 rad | ≈ 1.111 grad |
| หนึ่งเกรเดียน | 0.9° | ≈ 0.01571 rad | 1 grad |
| อาร์คนาที | 1/60° | ≈ 0.000291 rad | 1/54 grad |
| อาร์ควินาที | 1/3600° | ≈ 0.00000485 rad | 1/3240 grad |
| มิล NATO | 0.05625° | ≈ 0.000982 rad | 0.0625 grad |
การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง
การนำทาง
แบริ่งเข็มทิศ: 0°=เหนือ, 90°=ตะวันออก, 180°=ใต้, 270°=ตะวันตก ทางทหารใช้มิลเพื่อความแม่นยำ เข็มทิศมี 32 จุด (แต่ละจุด 11.25°) GPS ใช้องศาในรูปแบบทศนิยม
- แบริ่ง: 0-360° จากทิศเหนือ
- มิล NATO: 6400 ต่อวงกลม
- จุดเข็มทิศ: 32 (แต่ละจุด 11.25°)
- GPS: องศาทศนิยม
ดาราศาสตร์
ตำแหน่งดาว: ความแม่นยำระดับอาร์ควินาที พารัลแลกซ์: มิลลิอาร์ควินาที กล้องโทรทรรศน์ Hubble: ความละเอียด ~50 mas ดาวเทียม Gaia: ความแม่นยำระดับไมโครอาร์ควินาที มุมชั่วโมง: 24 ชม. = 360°
- อาร์ควินาที: ตำแหน่งดาว
- มิลลิอาร์ควินาที: พารัลแลกซ์, VLBI
- ไมโครอาร์ควินาที: ดาวเทียม Gaia
- มุมชั่วโมง: 15°/ชั่วโมง
วิศวกรรมและการสำรวจ
ความชัน: เปอร์เซ็นต์เกรดหรือมุม 10% เกรด ≈ 5.7° การออกแบบถนนใช้เปอร์เซ็นต์ การสำรวจใช้องศา/ลิปดา/ฟิลิปดา ระบบเกรเดียนใช้ในประเทศที่ใช้ระบบเมตริก
- ความชัน: % หรือองศา
- 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
- การสำรวจ: DMS (องศา-ลิปดา-ฟิลิปดา)
- เกรเดียน: การสำรวจระบบเมตริก
คณิตคิดเร็ว
องศา ↔ เรเดียน
rad = deg × π/180 deg = rad × 180/π เร็วๆ: 180° = π rad ดังนั้นหาร/คูณด้วยอัตราส่วนนี้
- rad = deg × 0.01745
- deg = rad × 57.2958
- π rad = 180° (ค่าที่แน่นอน)
- 2π rad = 360° (ค่าที่แน่นอน)
ความชันเป็นมุม
มุม = arctan(ความชัน/100) 10% ความชัน = arctan(0.1) ≈ 5.71° กลับกัน: ความชัน = tan(มุม) × 100
- θ = arctan(เกรด/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- ชัน: 100% = 45°
อาร์คนาที
1° = 60′ (อาร์คนาที) 1′ = 60″ (อาร์ควินาที) รวม: 1° = 3600″ การแบ่งย่อยอย่างรวดเร็วเพื่อความแม่นยำ
- 1° = 60 อาร์คนาที
- 1′ = 60 อาร์ควินาที
- 1° = 3600 อาร์ควินาที
- DMS: องศา-ลิปดา-ฟิลิปดา
วิธีการแปลงหน่วยทำงาน
- ขั้นตอนที่ 1: ต้นทาง → องศา
- ขั้นตอนที่ 2: องศา → เป้าหมาย
- เรเดียน: deg × (π/180)
- ความชัน: arctan(เกรด/100)
- อาร์คนาที: deg × 60
การแปลงหน่วยทั่วไป
| จาก | เป็น | สูตร | ตัวอย่าง |
|---|---|---|---|
| องศา | เรเดียน | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| เรเดียน | องศา | × 180/π | π rad = 180° |
| องศา | เกรเดียน | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| องศา | อาร์คนาที | × 60 | 1° = 60′ |
| อาร์คนาที | อาร์ควินาที | × 60 | 1′ = 60″ |
| องศา | รอบ | ÷ 360 | 180° = 0.5 รอบ |
| % เกรด | องศา | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71° |
| องศา | มิล (NATO) | × 17.778 | 1° ≈ 17.78 mil |
ตัวอย่างเร็วๆ
ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีทำ
ความชันของถนน
ถนนมีความชัน 8% มุมคือเท่าไหร่?
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57° เป็นความชันที่ค่อนข้างน้อย!
แบริ่งเข็มทิศ
เดินทางด้วยแบริ่ง 135° นี่คือทิศทางใดของเข็มทิศ?
0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=W 135° อยู่ระหว่าง E (90°) และ S (180°) ทิศทาง: ตะวันออกเฉียงใต้ (SE)
ตำแหน่งดาว
ดาวเคลื่อนที่ไป 0.5 อาร์ควินาที เท่ากับกี่องศา?
1″ = 1/3600° ดังนั้น 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139° เป็นการเคลื่อนที่ที่เล็กน้อยมาก!
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- **โหมดเรเดียน**: เครื่องคิดเลขอยู่ในโหมดองศาเมื่อใช้เรเดียน = ผิด! ตรวจสอบโหมด sin(π) ในโหมดองศา ≠ sin(π) ในโหมดเรเดียน
- **ค่าประมาณของ π**: π ≠ 3.14 พอดี ใช้ปุ่ม π หรือ Math.PI 180° = π rad พอดี ไม่ใช่ 3.14 rad
- **มุมติดลบ**: -90° ≠ ไม่ถูกต้อง! ติดลบ = ตามเข็มนาฬิกา -90° = 270° (เคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกาจาก 0°)
- **ความสับสนเรื่องความชัน**: 10% เกรด ≠ 10°! ต้องใช้ arctan 10% ≈ 5.71° ไม่ใช่ 10° ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย!
- **อาร์คนาที ≠ นาทีของเวลา**: 1′ (อาร์คนาที) = 1/60° 1 min (นาทีของเวลา) = แตกต่างกัน! อย่าสับสน
- **การหมุนครบหนึ่งรอบ**: 360° = 0° (ตำแหน่งเดียวกัน) มุมเป็นแบบวนรอบ 370° = 10°
เกร็ดน่ารู้
ทำไมต้อง 360 องศา?
ชาวบาบิโลนใช้ระบบฐาน 60 (sexagesimal) 360 มีตัวหารมากมาย (24 ตัว!) ใกล้เคียงกับ 360 วันในหนึ่งปี สะดวกสำหรับดาราศาสตร์และการจับเวลา อีกทั้งยังหารด้วย 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... ลงตัว
เรเดียนเป็นหน่วยธรรมชาติ
เรเดียนถูกนิยามโดยความยาวส่วนโค้ง = รัศมี ทำให้แคลคูลัสสวยงาม: d/dx(sin x) = cos x (เฉพาะในเรเดียน!) ในหน่วยองศา d/dx(sin x) = (π/180)cos x (ยุ่งเหยิง) ธรรมชาติ 'ใช้' เรเดียน!
เกรเดียนเกือบจะได้รับความนิยม
มุมเมตริก: 100 grad = มุมฉาก ถูกทดลองใช้ในช่วงการปฏิวัติฝรั่งเศสพร้อมกับระบบเมตริก แต่ไม่เคยได้รับความนิยม—องศาฝังรากลึกเกินไป ยังคงใช้ในการสำรวจบางประเภท (สวิตเซอร์แลนด์, ยุโรปเหนือ) เครื่องคิดเลขมีโหมด 'grad'!
มิลลิอาร์ควินาที = เส้นผมมนุษย์
1 มิลลิอาร์ควินาที ≈ ความกว้างของเส้นผมมนุษย์ที่มองจากระยะไกล 10 กม.! กล้องโทรทรรศน์อวกาศ Hubble สามารถแยกแยะได้ประมาณ 50 mas ความแม่นยำที่น่าทึ่งสำหรับดาราศาสตร์ ใช้ในการวัดพารัลแลกซ์ของดาว, ดาวคู่
มิลสำหรับปืนใหญ่
มิลทางการทหาร: 1 มิล ≈ ความกว้าง 1 เมตรที่ระยะ 1 กม. (NATO: 1.02 ม. ใกล้เคียงพอ) คำนวณในใจได้ง่ายสำหรับการประมาณระยะทาง ประเทศต่างๆ ใช้มิลที่แตกต่างกัน (6000, 6300, 6400 ต่อวงกลม) เป็นหน่วยขีปนวิทยาที่ใช้งานได้จริง!
มุมฉาก = 90°, ทำไม?
90 = 360/4 (หนึ่งในสี่ของรอบ) แต่ 'ฉาก' (right) มาจากภาษาละติน 'rectus' = ตั้งตรง, ตรง มุมฉากสร้างเส้นที่ตั้งฉากกัน จำเป็นสำหรับการก่อสร้าง—อาคารต้องการมุมฉากเพื่อที่จะตั้งอยู่ได้!
วิวัฒนาการของการวัดมุม
จากดาราศาสตร์บาบิโลนโบราณสู่ความแม่นยำของดาวเทียมสมัยใหม่ การวัดมุมได้พัฒนาจากการจับเวลาในทางปฏิบัติมาเป็นรากฐานของแคลคูลัสและกลศาสตร์ควอนตัม วงกลม 360 องศาซึ่งเป็นธรรมเนียมที่มีอายุ 4,000 ปี ยังคงเป็นที่นิยมแม้ว่าเรเดียนจะมีความสง่างามทางคณิตศาสตร์
2000 ปีก่อนคริสตกาล - 300 ปีก่อนคริสตกาล
ชาวบาบิโลนใช้ระบบเลขฐานหกสิบ (sexagesimal) สำหรับดาราศาสตร์และการจับเวลา พวกเขาแบ่งวงกลมออกเป็น 360 ส่วนเพราะ 360 ≈ จำนวนวันในหนึ่งปี (จริงๆ คือ 365.25) และ 360 มีตัวหาร 24 ตัว—สะดวกอย่างยิ่งสำหรับเศษส่วน
ระบบฐาน 60 นี้ยังคงมีอยู่จนถึงทุกวันนี้: 60 วินาทีต่อนาที, 60 นาทีต่อชั่วโมงและต่อองศา เลข 360 แยกตัวประกอบได้เป็น 2³ × 3² × 5 ซึ่งหารด้วย 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 ลงตัว—เป็นความฝันของนักคำนวณ!
- 2000 ปีก่อนคริสตกาล: นักดาราศาสตร์ชาวบาบิโลนติดตามตำแหน่งของเทห์ฟากฟ้าเป็นองศา
- 360° ถูกเลือกเนื่องจากความสามารถในการหารลงตัวและการประมาณค่าปี
- ฐาน 60 ทำให้เรามีชั่วโมง (24 = 360/15) และนาที/วินาที
- นักดาราศาสตร์ชาวกรีกนำ 360° มาจากตารางของชาวบาบิโลน
300 ปีก่อนคริสตกาล - ค.ศ. 1600
Elements ของ Euclid (300 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กำหนดเรขาคณิตของมุมอย่างเป็นทางการ—มุมฉาก (90°), มุมประกอบ (รวมกันได้ 90°), มุมประชิด (รวมกันได้ 180°) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่น Hipparchus ได้สร้างตรีโกณมิติโดยใช้ตารางที่ใช้องศาเป็นหลักสำหรับดาราศาสตร์และการสำรวจ
นักเดินเรือในยุคกลางใช้แอสโตรแลบและเข็มทิศที่มี 32 จุด (แต่ละจุด 11.25°) ชาวเรือต้องการแบริ่งที่แม่นยำ; อาร์คนาที (1/60°) และอาร์ควินาที (1/3600°) จึงเกิดขึ้นสำหรับแคตตาล็อกดาวและแผนที่เดินเรือ
- 300 ปีก่อนคริสตกาล: Elements ของ Euclid กำหนดมุมทางเรขาคณิต
- 150 ปีก่อนคริสตกาล: Hipparchus สร้างตารางตรีโกณมิติชุดแรก (องศา)
- ช่วงปี 1200: แอสโตรแลบใช้เครื่องหมายองศาสำหรับการนำทางด้วยเทห์ฟากฟ้า
- ค.ศ. 1569: การฉายแผนที่แบบเมอร์เคเตอร์ต้องการคณิตศาสตร์ที่รักษามุม
ค.ศ. 1600 - 1800
เมื่อ Newton และ Leibniz พัฒนาแคลคูลัส (ช่วงปี 1670), องศากลายเป็นปัญหา: d/dx(sin x) = (π/180)cos x ในหน่วยองศา—เป็นค่าคงที่ที่น่าเกลียด! Roger Cotes (1682-1716) และ Leonhard Euler ได้กำหนดเรเดียนอย่างเป็นทางการ: มุม = ความยาวส่วนโค้ง / รัศมี ตอนนี้ d/dx(sin x) = cos x อย่างสวยงาม
James Thomson ได้บัญญัติคำว่า 'radian' ขึ้นในปี 1873 (จากภาษาละติน 'radius') เรเดียนกลายเป็นหน่วยมาตรฐานสำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรม แต่กระนั้นองศาก็ยังคงใช้ในชีวิตประจำวันเพราะมนุษย์ชอบจำนวนเต็มมากกว่า π
- ช่วงปี 1670: แคลคูลัสเผยให้เห็นว่าองศาสร้างสูตรที่ยุ่งเหยิง
- ค.ศ. 1714: Roger Cotes พัฒนา 'การวัดแบบวงกลม' (ก่อนเรเดียน)
- ค.ศ. 1748: Euler ใช้เรเดียนอย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์
- ค.ศ. 1873: Thomson ตั้งชื่อว่า 'radian'; กลายเป็นมาตรฐานทางคณิตศาสตร์
ค.ศ. 1900 - ปัจจุบัน
ปืนใหญ่ในสงครามโลกครั้งที่ 1 ต้องการหน่วยมุมที่ใช้งานได้จริง: มิลจึงถือกำเนิดขึ้น—1 มิล ≈ การเบี่ยงเบน 1 เมตรที่ระยะ 1 กม. NATO ได้กำหนดมาตรฐาน 6400 มิล/วงกลม (เป็นเลขยกกำลังของ 2 ที่สวยงาม) ในขณะที่สหภาพโซเวียตใช้ 6000 (เพื่อความสะดวกของทศนิยม) มิลลิเรเดียนที่แท้จริง = 6283/วงกลม
ดาราศาสตร์ยุคอวกาศบรรลุความแม่นยำระดับมิลลิอาร์ควินาที (Hipparcos, 1989) จากนั้นก็เป็นไมโครอาร์ควินาที (Gaia, 2013) Gaia วัดพารัลแลกซ์ของดาวได้ถึง 20 ไมโครอาร์ควินาที—เทียบเท่ากับการเห็นเส้นผมมนุษย์จากระยะไกล 1,000 กม.! ฟิสิกส์สมัยใหม่ใช้เรเดียนกันอย่างแพร่หลาย; มีเพียงการนำทางและการก่อสร้างเท่านั้นที่ยังคงนิยมใช้องศา
- ค.ศ. 1916: ปืนใหญ่ทหารนำมิลมาใช้ในการคำนวณระยะ
- ค.ศ. 1960: SI ยอมรับเรเดียนเป็นหน่วยอนุพัทธ์ที่สอดคล้องกัน
- ค.ศ. 1989: ดาวเทียม Hipparcos: ความแม่นยำ ~1 มิลลิอาร์ควินาที
- ค.ศ. 2013: ดาวเทียม Gaia: ความแม่นยำ 20 ไมโครอาร์ควินาที—ทำแผนที่ดาว 1 พันล้านดวง
เคล็ดลับระดับโปร
- **เรเดียนเร็วๆ**: π rad = 180° ครึ่งวงกลม! ดังนั้น π/2 = 90°, π/4 = 45°
- **คำนวณความชันในใจ**: ความชันน้อย: เกรด% ≈ มุม° × 1.75 (10% ≈ 5.7°)
- **อาร์คนาที**: 1° = 60′ นิ้วโป้งของคุณที่ระยะสุดแขน ≈ กว้าง 2° ≈ 120′
- **ติดลบ = ตามเข็มนาฬิกา**: มุมบวกทวนเข็มนาฬิกา -90° = 270° ตามเข็มนาฬิกา
- **การวนรอบแบบมอดุโล**: บวก/ลบ 360° ได้อย่างอิสระ 370° = 10°, -90° = 270°
- **วงกลมหนึ่งหน่วย**: cos = x, sin = y รัศมี = 1 พื้นฐานสำหรับตรีโกณมิติ!
- **สัญกรณ์วิทยาศาสตร์อัตโนมัติ**: ค่าที่ < 0.000001° หรือ > 1,000,000,000° จะแสดงเป็นสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เพื่อให้อ่านง่าย (จำเป็นสำหรับไมโครอาร์ควินาที!)
อ้างอิงหน่วย
หน่วยทั่วไป
| หน่วย | สัญลักษณ์ | องศา | หมายเหตุ |
|---|---|---|---|
| องศา | ° | 1° (base) | หน่วยพื้นฐาน; 360° = วงกลม มาตรฐานสากล |
| เรเดียน | rad | 57.2958° | หน่วยธรรมชาติ; 2π rad = วงกลม จำเป็นสำหรับแคลคูลัส |
| เกรเดียน (กอน) | grad | 900.000000 m° | มุมเมตริก; 400 grad = วงกลม การสำรวจ (ยุโรป) |
| รอบ (การหมุน) | turn | 360.0000° | การหมุนครบหนึ่งรอบ; 1 รอบ = 360° แนวคิดง่ายๆ |
| การหมุน | rev | 360.0000° | เหมือนกับรอบ; 1 รอบ = 360° ทางกล |
| วงกลม | circle | 360.0000° | การหมุนครบหนึ่งรอบ; 1 วงกลม = 360° |
| มุมฉาก (ควอดแรนต์) | ∟ | 90.0000° | หนึ่งในสี่ของรอบ; 90° เส้นตั้งฉาก |
ลิปดาและฟิลิปดา
| หน่วย | สัญลักษณ์ | องศา | หมายเหตุ |
|---|---|---|---|
| ลิปดา (อาร์กมินิต) | ′ | 16.666667 m° | อาร์คนาที; 1′ = 1/60° ดาราศาสตร์, การนำทาง |
| ฟิลิปดา (อาร์กวินาที) | ″ | 277.777778 µ° | อาร์ควินาที; 1″ = 1/3600° ดาราศาสตร์ความแม่นยำสูง |
| มิลลิอาร์กวินาที | mas | 2.778e-7° | 0.001″ ความแม่นยำของ Hubble (ความละเอียด ~50 mas) |
| ไมโครอาร์กวินาที | µas | 2.778e-10° | 0.000001″ ความแม่นยำของดาวเทียม Gaia แม่นยำเป็นพิเศษ |
การนำทางและการทหาร
| หน่วย | สัญลักษณ์ | องศา | หมายเหตุ |
|---|---|---|---|
| จุด (เข็มทิศ) | point | 11.2500° | 32 จุด; 1 จุด = 11.25° การนำทางแบบดั้งเดิม |
| มิล (NATO) | mil | 56.250000 m° | 6400 ต่อวงกลม; 1 มิล ≈ 1 ม. ที่ 1 กม. มาตรฐานทางการทหาร |
| มิล (สหภาพโซเวียต) | mil USSR | 60.000000 m° | 6000 ต่อวงกลม มาตรฐานทางการทหารของรัสเซีย/โซเวียต |
| มิล (สวีเดน) | streck | 57.142857 m° | 6300 ต่อวงกลม มาตรฐานทางการทหารของสแกนดิเนเวีย |
| องศาไบนารี | brad | 1.4063° | 256 ต่อวงกลม; 1 brad ≈ 1.406° คอมพิวเตอร์กราฟิก |
ดาราศาสตร์และท้องฟ้า
| หน่วย | สัญลักษณ์ | องศา | หมายเหตุ |
|---|---|---|---|
| มุมชั่วโมง | h | 15.0000° | 24 ชม. = 360°; 1 ชม. = 15° พิกัดท้องฟ้า (RA) |
| นาทีของเวลา | min | 250.000000 m° | 1 นาที = 15′ = 0.25° มุมตามเวลา |
| วินาทีของเวลา | s | 4.166667 m° | 1 วินาที = 15″ ≈ 0.00417° มุมเวลาที่แม่นยำ |
| เครื่องหมาย (จักรราศี) | sign | 30.0000° | ราศี; 12 ราศี = 360°; 1 ราศี = 30° โหราศาสตร์ |
เฉพาะทางและวิศวกรรม
| หน่วย | สัญลักษณ์ | องศา | หมายเหตุ |
|---|---|---|---|
| เซกซ์แทนต์ | sextant | 60.0000° | 1/6 ของวงกลม; 60° การแบ่งทางเรขาคณิต |
| ออกแทนต์ | octant | 45.0000° | 1/8 ของวงกลม; 45° การแบ่งทางเรขาคณิต |
| ควอดแรนต์ | quadrant | 90.0000° | 1/4 ของวงกลม; 90° เหมือนกับมุมฉาก |
| เกรดเปอร์เซ็นต์ (ความชัน) | % | formula | เปอร์เซ็นต์ความชัน; arctan(เกรด/100) = มุม วิศวกรรม |
คำถามที่พบบ่อย
ควรใช้องศาหรือเรเดียนเมื่อไหร่?
ใช้องศาสำหรับ: มุมในชีวิตประจำวัน, การนำทาง, การสำรวจ, การก่อสร้าง ใช้เรเดียนสำหรับ: แคลคูลัส, สมการทางฟิสิกส์, การเขียนโปรแกรม (ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) เรเดียนเป็น 'หน่วยธรรมชาติ' เพราะความยาวส่วนโค้ง = รัศมี × มุม อนุพันธ์เช่น d/dx(sin x) = cos x ใช้ได้เฉพาะในเรเดียนเท่านั้น!
ทำไม π rad = 180° พอดี?
เส้นรอบวง = 2πr ครึ่งวงกลม (เส้นตรง) = πr เรเดียนถูกนิยามว่าความยาวส่วนโค้ง/รัศมี สำหรับครึ่งวงกลม: ส่วนโค้ง = πr, รัศมี = r, ดังนั้นมุม = πr/r = π เรเดียน ดังนั้น โดยนิยามแล้ว π rad = 180°
จะแปลงเปอร์เซ็นต์ความชันเป็นมุมได้อย่างไร?
ใช้ arctan: มุม = arctan(เกรด/100) ตัวอย่าง: 10% เกรด = arctan(0.1) ≈ 5.71° ไม่ใช่แค่คูณ! 10% ≠ 10° กลับกัน: เกรด = tan(มุม) × 100 45° = tan(45°) × 100 = 100% เกรด
อาร์คนาทีกับนาทีของเวลาต่างกันอย่างไร?
อาร์คนาที (′) = 1/60 ขององศา (มุม) นาทีของเวลา = 1/60 ของชั่วโมง (เวลา) แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! ในทางดาราศาสตร์ 'นาทีของเวลา' จะแปลงเป็นมุม: 1 นาที = 15 อาร์คนาที (เพราะ 24 ชม. = 360° ดังนั้น 1 นาที = 360°/1440 = 0.25° = 15′)
ทำไมประเทศต่างๆ จึงใช้มิลที่แตกต่างกัน?
มิลถูกออกแบบมาเพื่อให้ 1 มิล ≈ 1 เมตรที่ 1 กม. (ขีปนวิทยาเชิงปฏิบัติ) มิลลิเรเดียนทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริง = 1/1000 rad ≈ 6283 ต่อวงกลม NATO ทำให้ง่ายขึ้นเป็น 6400 (เลขยกกำลังของ 2, หารง่าย) สหภาพโซเวียตใช้ 6000 (หารด้วย 10) สวีเดน 6300 (การประนีประนอม) ทั้งหมดใกล้เคียงกับ 2π×1000
มุมสามารถเป็นค่าลบได้หรือไม่?
ได้! ค่าบวก = ทวนเข็มนาฬิกา (ตามธรรมเนียมคณิตศาสตร์) ค่าลบ = ตามเข็มนาฬิกา -90° = 270° (ตำแหน่งเดียวกัน, ทิศทางต่างกัน) ในการนำทาง ใช้ช่วง 0-360° ในคณิตศาสตร์/ฟิสิกส์ มุมติดลบเป็นเรื่องปกติ ตัวอย่าง: -π/2 = -90° = 270°
ไดเรกทอรีเครื่องมือฉบับสมบูรณ์
เครื่องมือทั้งหมด 71 รายการที่มีอยู่ใน UNITS