Ugao mjeri rotaciju ili okret između dvije linije. Zamislite otvaranje vrata ili okretanje točka. Mjeri se u stepenima (°), radijanima (rad) ili gradijanima. 360° = puni krug = jedna potpuna rotacija.

• Ugao = količina rotacije
• Puni krug = 360° = 2π rad
• Pravi ugao = 90° = π/2 rad
• Prava linija = 180° = π rad

Stepeni: krug podijeljen na 360 dijelova (historijski). Radijani: bazirani na radijusu kruga. 2π radijana = 360°. Radijani su 'prirodni' za matematiku/fiziku. π rad = 180°, pa je 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (puni krug)
• 180° = π rad (pola kruga)
• 90° = π/2 rad (pravi ugao)
• 1 rad ≈ 57.2958° (konverzija)

Gradijan: 100 grad = 90° (metrički ugao). Lučna minuta/sekunda: podjele stepena (astronomija). Hiljaditi: vojna navigacija (6400 hiljaditih = krug). Svaka jedinica za specifičnu primjenu.

• Gradijan: 400 grad = krug
• Lučna minuta: 1′ = 1/60°
• Lučna sekunda: 1″ = 1/3600°
• Hiljaditi (NATO): 6400 hiljaditih = krug

360° po krugu (babilonsko porijeklo - ~360 dana/godini). Podijeljen: 1° = 60′ (lučnih minuta) = 3600″ (lučnih sekundi). Univerzalno za navigaciju, geodeziju, svakodnevnu upotrebu.

• 360° = puni krug
• 1° = 60 lučnih minuta (′)
• 1′ = 60 lučnih sekundi (″)
• Lako za ljude, historijski

Radijan: dužina luka = radijus. 2π rad = obim kruga/radijus. Prirodno za račun (derivacije sin, cos). Standard u fizici, inženjerstvu. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (tačno)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Prirodno za matematiku/fiziku

Gradijan: 400 grad = krug (metrički ugao). 100 grad = pravi ugao. Hiljaditi: vojna navigacija - NATO koristi 6400 hiljaditih. SSSR je koristio 6000. Postoje različiti standardi.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (pravi ugao)
• Hiljaditi (NATO): 6400 po krugu
• Hiljaditi (SSSR): 6000 po krugu

rad = stepen × π/180. stepen = rad × 180/π. grad = stepen × 10/9. Uvijek koristite radijane u računu! Trigonometrijske funkcije trebaju radijane za derivacije.

• rad = stepen × (π/180)
• stepen = rad × (180/π)
• grad = stepen × (10/9)
• Račun zahtijeva radijane

sin, cos, tan povezuju uglove sa omjerima. Jedinični krug: radijus=1, ugao=θ. Koordinate tačke: (cos θ, sin θ). Osnovno za fiziku, inženjerstvo, grafiku.

• sin θ = suprotna kateta/hipotenuza
• cos θ = susjedna kateta/hipotenuza
• tan θ = suprotna kateta/susjedna kateta
• Jedinični krug: (cos θ, sin θ)

Uglovi se sabiraju/oduzimaju normalno. 45° + 45° = 90°. Puna rotacija: dodajte/oduzmite 360° (ili 2π). Modularna aritmetika za 'prelamanje': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normalno sabiranje)
• Prelamanje: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negativni uglovi: -90° = 270°

Kompasni smjerovi: 0°=Sjever, 90°=Istok, 180°=Jug, 270°=Zapad. Vojska koristi hiljadite za preciznost. Kompas ima 32 tačke (svaka 11.25°). GPS koristi decimalne stepene.

• Smjerovi: 0-360° od Sjevera
• NATO hiljaditi: 6400 po krugu
• Tačke kompasa: 32 (svaka 11.25°)
• GPS: decimalni stepeni

Položaji zvijezda: preciznost lučnih sekundi. Paralalaksa: miliarksekunde. Hubble: ~50 mas rezolucija. Satelit Gaia: preciznost mikroarksekundi. Satni ugao: 24h = 360°.

• Lučna sekunda: položaji zvijezda
• Miliarksekunda: paralaksa, VLBI
• Mikroarksekunda: satelit Gaia
• Satni ugao: 15°/sat

Nagib: postotak nagiba ili ugao. 10% nagib ≈ 5.7°. Dizajn puteva koristi postotak. Geodezija koristi stepene/minute/sekunde. Gradijanski sistem za metričke zemlje.

• Nagib: % ili stepeni
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Geodezija: DMS (stepen-minuta-sekunda)
• Gradijan: metrička geodezija

rad = stepen × π/180. stepen = rad × 180/π. Brzo: 180° = π rad, pa podijelite/pomnožite ovim omjerom.

• rad = stepen × 0.01745
• stepen = rad × 57.2958
• π rad = 180° (tačno)
• 2π rad = 360° (tačno)

ugao = arctan(nagib/100). 10% nagib = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Obrnuto: nagib = tan(ugao) × 100.

• θ = arctan(nagib/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Strmo: 100% = 45°

1° = 60′ (lučna minuta). 1′ = 60″ (lučna sekunda). Ukupno: 1° = 3600″. Brza podjela za preciznost.

• 1° = 60 lučnih minuta
• 1′ = 60 lučnih sekundi
• 1° = 3600 lučnih sekundi
• DMS: stepeni-minute-sekunde

Put ima nagib od 8%. Koliki je ugao?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Relativno blag nagib!

Navigirajte smjerom od 135°. Koji je to smjer na kompasu?

0°=S, 90°=I, 180°=J, 270°=Z. 135° je između I (90°) i J (180°). Smjer: Jugoistok (JI).

Zvijezda se pomjerila za 0.5 lučnih sekundi. Koliko je to stepeni?

1″ = 1/3600°. Dakle 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Sićušan pokret!

Babilonci su koristili seksagezimalni sistem (baza 60). 360 ima mnogo djelitelja (24 faktora!). Približno odgovara 360 dana u godini. Pogodno za astronomiju i mjerenje vremena. Također se dijeli bez ostatka sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radijan je definisan kao dužina luka = radijus. To čini račun prelijepim: d/dx(sin x) = cos x (samo u radijanima!). U stepenima, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (zbrkano). Priroda 'koristi' radijane!

Metrički ugao: 100 grad = pravi ugao. Pokušan tokom Francuske revolucije sa metričkim sistemom. Nikada nije postao popularan—stepeni su bili previše ukorijenjeni. Još uvijek se koristi u nekim geodetskim poslovima (Švicarska, sjeverna Evropa). Kalkulatori imaju 'grad' režim!

1 miliarksekunda ≈ širina ljudske dlake posmatrane sa 10 km udaljenosti! Svemirski teleskop Hubble može razlučiti ~50 mas. Nevjerovatna preciznost za astronomiju. Koristi se za mjerenje zvjezdane paralakse, dvojnih zvijezda.

Vojni hiljaditi: 1 hiljaditi ≈ 1 m širine na 1 km udaljenosti (NATO: 1.02 m, dovoljno blizu). Laka mentalna matematika za procjenu dometa. Različite zemlje koriste različite hiljadite (6000, 6300, 6400 po krugu). Praktična balistička jedinica!

90 = 360/4 (četvrtina okreta). Ali 'pravi' dolazi od latinskog 'rectus' = uspravan, ravan. Pravi ugao stvara okomite linije. Osnovno za gradnju—zgradama su potrebni pravi uglovi da bi stajale!

Babilonci su koristili seksagezimalni (baza 60) brojevni sistem za astronomiju i mjerenje vremena. Podijelili su krug na 360 dijelova jer 360 ≈ dana u godini (zapravo 365.25), a 360 ima 24 djelitelja—nevjerovatno pogodno za razlomke.

Ovaj sistem sa bazom 60 opstaje i danas: 60 sekundi u minuti, 60 minuta u satu i u stepenu. Broj 360 se faktoriše kao 2³ × 3² × 5, dijeleći se bez ostatka sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—san svakog kalkulatora!

• 2000 p.n.e.: Babilonski astronomi prate nebeske položaje u stepenima
• 360° izabrano zbog djeljivosti i ~godišnje aproksimacije
• Baza 60 nam daje sate (24 = 360/15) i minute/sekunde
• Grčki astronomi usvajaju 360° iz babilonskih tabela

Euklidovi 'Elementi' (300 p.n.e.) su formalizirali geometriju uglova—pravi uglovi (90°), komplementarni (zbir 90°), suplementarni (zbir 180°). Grčki matematičari poput Hiparha stvorili su trigonometriju koristeći tablice zasnovane na stepenima za astronomiju i geodeziju.

Srednjovjekovni navigatori su koristili astrolab i kompas sa 32 tačke (svaka 11.25°). Pomorcima su bili potrebni precizni smjerovi; lučne minute (1/60°) i lučne sekunde (1/3600°) su se pojavile za zvjezdane kataloge i pomorske karte.

• 300 p.n.e.: Euklidovi 'Elementi' definišu geometrijske uglove
• 150 p.n.e.: Hiparh stvara prve trigonometrijske tablice (stepeni)
• 1200-te: Astrolab koristi oznake u stepenima za nebesku navigaciju
• 1569: Mercatorova projekcija karte zahtijeva matematiku koja čuva uglove

Kako su Newton i Leibniz razvijali račun (1670-ih), stepeni su postali problematični: d/dx(sin x) = (π/180)cos x u stepenima—ružna konstanta! Roger Cotes (1682-1716) i Leonhard Euler su formalizirali radijan: ugao = dužina luka / radijus. Sada je d/dx(sin x) = cos x prelijepo.

James Thomson je skovao termin 'radijan' 1873. (od latinskog 'radius'). Radijan je postao JEDINICA za matematičku analizu, fiziku i inženjerstvo. Ipak, stepeni su opstali u svakodnevnom životu jer ljudi preferiraju cijele brojeve u odnosu na π.

• 1670-ih: Račun otkriva da stepeni stvaraju zbrkane formule
• 1714: Roger Cotes razvija 'kružnu mjeru' (pre-radijan)
• 1748: Euler koristi radijane ekstenzivno u analizi
• 1873: Thomson ga naziva 'radijan'; postaje matematički standard

Artiljerija Prvog svjetskog rata zahtijevala je praktične jedinice za ugao: rođen je hiljaditi—1 hiljaditi ≈ 1 metar odstupanja na 1 km udaljenosti. NATO je standardizirao 6400 hiljaditih/krugu (lijepa potencija broja 2), dok je SSSR koristio 6000 (decimalna pogodnost). Pravi miliradijan = 6283/krugu.

Astronomija svemirskog doba postigla je preciznost miliarksekundi (Hipparcos, 1989), a zatim mikroarksekundi (Gaia, 2013). Gaia mjeri zvjezdanu paralaksu do 20 mikroarksekundi—ekvivalentno gledanju ljudske dlake sa udaljenosti od 1.000 km! Moderna fizika koristi radijane univerzalno; samo navigacija i građevinarstvo još uvijek preferiraju stepene.

• 1916: Vojna artiljerija usvaja hiljaditi za proračune dometa
• 1960: SI priznaje radijan kao koherentnu izvedenu jedinicu
• 1989: Satelit Hipparcos: ~1 miliarksekunda preciznosti
• 2013: Satelit Gaia: 20 mikroarksekundi preciznosti—mapira 1 milijardu zvijezda

Koristite stepene za: svakodnevne uglove, navigaciju, geodeziju, gradnju. Koristite radijane za: račun, fizičke jednačine, programiranje (trigonometrijske funkcije). Radijani su 'prirodni' jer je dužina luka = radijus × ugao. Derivacije poput d/dx(sin x) = cos x rade samo u radijanima!

Obim kruga = 2πr. Pola kruga (prava linija) = πr. Radijan je definisan kao dužina luka/radijus. Za pola kruga: luk = πr, radijus = r, pa je ugao = πr/r = π radijana. Stoga, π rad = 180° po definiciji.

Koristite arctan: ugao = arctan(nagib/100). Primjer: 10% nagib = arctan(0.1) ≈ 5.71°. NE samo množiti! 10% ≠ 10°. Obrnuto: nagib = tan(ugao) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% nagib.

Lučna minuta (′) = 1/60 stepena (ugao). Minuta vremena = 1/60 sata (vrijeme). Potpuno različito! U astronomiji, 'minuta vremena' se pretvara u ugao: 1 min = 15 lučnih minuta (jer 24h = 360°, pa 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Hiljaditi je dizajniran tako da je 1 hiljaditi ≈ 1 metar na 1 km (praktična balistika). Pravi matematički miliradijan = 1/1000 rad ≈ 6283 po krugu. NATO je pojednostavio na 6400 (potencija broja 2, lijepo se dijeli). SSSR je koristio 6000 (dijeli se sa 10). Švedska 6300 (kompromis). Svi su blizu 2π×1000.

Da! Pozitivno = suprotno od smjera kazaljke na satu (matematička konvencija). Negativno = u smjeru kazaljke na satu. -90° = 270° (isti položaj, različit smjer). U navigaciji, koristite opseg 0-360°. U matematici/fizici, negativni uglovi su uobičajeni. Primjer: -π/2 = -90° = 270°.