Sudut mengukur rotasi atau putaran antara dua garis. Pikirkan membuka pintu atau memutar roda. Diukur dalam derajat (°), radian (rad), atau gradian. 360° = lingkaran penuh = satu rotasi lengkap.

• Sudut = jumlah rotasi
• Lingkaran penuh = 360° = 2π rad
• Sudut siku-siku = 90° = π/2 rad
• Garis lurus = 180° = π rad

Derajat: lingkaran dibagi menjadi 360 bagian (historis). Radian: berdasarkan jari-jari lingkaran. 2π radian = 360°. Radian 'alami' untuk matematika/fisika. π rad = 180°, jadi 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (lingkaran penuh)
• 180° = π rad (setengah lingkaran)
• 90° = π/2 rad (sudut siku-siku)
• 1 rad ≈ 57,2958° (konversi)

Gradian: 100 grad = 90° (sudut metrik). Menit/detik busur: subdivisi dari derajat (astronomi). Mil: navigasi militer (6400 mil = lingkaran). Setiap unit untuk aplikasi tertentu.

• Gradian: 400 grad = lingkaran
• Menit busur: 1′ = 1/60°
• Detik busur: 1″ = 1/3600°
• Mil (NATO): 6400 mil = lingkaran

360° per lingkaran (asal Babilonia - ~360 hari/tahun). Dibagi lagi: 1° = 60′ (menit busur) = 3600″ (detik busur). Universal untuk navigasi, survei, penggunaan sehari-hari.

• 360° = lingkaran penuh
• 1° = 60 menit busur (′)
• 1′ = 60 detik busur (″)
• Mudah bagi manusia, historis

Radian: panjang busur = jari-jari. 2π rad = keliling lingkaran/jari-jari. Alami untuk kalkulus (turunan sin, cos). Standar fisika, teknik. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (tepat)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Alami untuk matematika/fisika

Gradian: 400 grad = lingkaran (sudut metrik). 100 grad = sudut siku-siku. Mil: navigasi militer - NATO menggunakan 6400 mil. Uni Soviet menggunakan 6000. Standar yang berbeda ada.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (sudut siku-siku)
• Mil (NATO): 6400 per lingkaran
• Mil (Uni Soviet): 6000 per lingkaran

rad = der × π/180. der = rad × 180/π. grad = der × 10/9. Selalu gunakan radian dalam kalkulus! Fungsi trigonometri memerlukan radian untuk turunan.

• rad = der × (π/180)
• der = rad × (180/π)
• grad = der × (10/9)
• Kalkulus memerlukan radian

sin, cos, tan menghubungkan sudut dengan rasio. Lingkaran satuan: jari-jari=1, sudut=θ. Koordinat titik: (cos θ, sin θ). Penting untuk fisika, teknik, grafis.

• sin θ = depan/miring
• cos θ = samping/miring
• tan θ = depan/samping
• Lingkaran satuan: (cos θ, sin θ)

Sudut dijumlahkan/dikurangkan secara normal. 45° + 45° = 90°. Rotasi penuh: tambah/kurangi 360° (atau 2π). Aritmetika modulo untuk pembungkusan: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (penjumlahan normal)
• Bungkus: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Sudut negatif: -90° = 270°

Bantalan kompas: 0°=Utara, 90°=Timur, 180°=Selatan, 270°=Barat. Militer menggunakan mil untuk presisi. Kompas memiliki 32 titik (masing-masing 11,25°). GPS menggunakan derajat desimal.

• Bantalan: 0-360° dari Utara
• Mil NATO: 6400 per lingkaran
• Titik kompas: 32 (masing-masing 11,25°)
• GPS: derajat desimal

Posisi bintang: presisi detik busur. Paralaks: milidetik busur. Hubble: resolusi ~50 mas. Satelit Gaia: presisi mikrodetik busur. Sudut jam: 24 jam = 360°.

• Detik busur: posisi bintang
• Milidetik busur: paralaks, VLBI
• Mikrodetik busur: satelit Gaia
• Sudut jam: 15°/jam

Kemiringan: persentase kemiringan atau sudut. 10% kemiringan ≈ 5,7°. Desain jalan menggunakan persen. Survei menggunakan derajat/menit/detik. Sistem gradian untuk negara-negara metrik.

• Kemiringan: % atau derajat
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Survei: DMS (derajat-menit-detik)
• Gradian: survei metrik

rad = der × π/180. der = rad × 180/π. Cepat: 180° = π rad, jadi bagi/kalikan dengan rasio ini.

• rad = der × 0,01745
• der = rad × 57,2958
• π rad = 180° (tepat)
• 2π rad = 360° (tepat)

sudut = arctan(kemiringan/100). 10% kemiringan = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Balik: kemiringan = tan(sudut) × 100.

• θ = arctan(kemiringan/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Curam: 100% = 45°

1° = 60′ (menit busur). 1′ = 60″ (detik busur). Total: 1° = 3600″. Subdivisi cepat untuk presisi.

• 1° = 60 menit busur
• 1′ = 60 detik busur
• 1° = 3600 detik busur
• DMS: derajat-menit-detik

Jalan memiliki kemiringan 8%. Berapa sudutnya?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Kemiringan yang relatif landai!

Navigasi dengan bantalan 135°. Arah kompas apa itu?

0°=U, 90°=T, 180°=S, 270°=B. 135° berada di antara T (90°) dan S (180°). Arah: Tenggara (Tenggara).

Bintang bergerak 0,5 detik busur. Berapa derajat itu?

1″ = 1/3600°. Jadi 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Pergerakan yang sangat kecil!

Orang Babilonia menggunakan sistem basis-60 (seksagesimal). 360 memiliki banyak pembagi (24 faktor!). Kira-kira cocok dengan 360 hari dalam setahun. Nyaman untuk astronomi dan pencatatan waktu. Juga dapat dibagi rata oleh 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radian didefinisikan oleh panjang busur = jari-jari. Membuat kalkulus menjadi indah: d/dx(sin x) = cos x (hanya dalam radian!). Dalam derajat, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (berantakan). Alam 'menggunakan' radian!

Sudut metrik: 100 grad = sudut siku-siku. Dicoba selama Revolusi Prancis dengan sistem metrik. Tidak pernah populer—derajat terlalu mendarah daging. Masih digunakan dalam beberapa survei (Swiss, Eropa utara). Kalkulator memiliki mode 'grad'!

1 milidetik busur ≈ lebar rambut manusia yang dilihat dari jarak 10 km! Teleskop Luar Angkasa Hubble dapat memecahkan ~50 mas. Presisi luar biasa untuk astronomi. Digunakan untuk mengukur paralaks bintang, bintang biner.

Mil militer: 1 mil ≈ lebar 1 m pada jarak 1 km (NATO: 1,02 m, cukup dekat). Matematika mental yang mudah untuk estimasi jangkauan. Negara yang berbeda menggunakan mil yang berbeda (6000, 6300, 6400 per lingkaran). Unit balistik praktis!

90 = 360/4 (seperempat putaran). Tapi 'siku-siku' (right) berasal dari bahasa Latin 'rectus' = tegak, lurus. Sudut siku-siku membuat garis tegak lurus. Penting untuk konstruksi—bangunan membutuhkan sudut siku-siku untuk berdiri!

Orang Babilonia menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60) untuk astronomi dan pencatatan waktu. Mereka membagi lingkaran menjadi 360 bagian karena 360 ≈ hari dalam setahun (sebenarnya 365,25), dan 360 memiliki 24 pembagi—sangat nyaman untuk pecahan.

Sistem basis-60 ini bertahan hingga hari ini: 60 detik per menit, 60 menit per jam dan per derajat. Angka 360 difaktorkan sebagai 2³ × 3² × 5, dapat dibagi rata oleh 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—impian seorang kalkulator!

• 2000 SM: Astronom Babilonia melacak posisi langit dalam derajat
• 360° dipilih karena keterbagiannya dan aproksimasi ~tahun
• Basis-60 memberi kita jam (24 = 360/15) dan menit/detik
• Astronom Yunani mengadopsi 360° dari tabel Babilonia

Elemen Euclid (300 SM) memformalkan geometri sudut—sudut siku-siku (90°), komplementer (jumlah 90°), suplementer (jumlah 180°). Matematikawan Yunani seperti Hipparchus menciptakan trigonometri menggunakan tabel berbasis derajat untuk astronomi dan survei.

Navigator abad pertengahan menggunakan astrolab dan kompas dengan 32 titik (masing-masing 11,25°). Pelaut membutuhkan bantalan yang tepat; menit busur (1/60°) dan detik busur (1/3600°) muncul untuk katalog bintang dan peta laut.

• 300 SM: Elemen Euclid mendefinisikan sudut geometris
• 150 SM: Hipparchus membuat tabel trigonometri pertama (derajat)
• 1200-an: Astrolab menggunakan tanda derajat untuk navigasi langit
• 1569: Proyeksi peta Mercator memerlukan matematika yang mempertahankan sudut

Ketika Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus (1670-an), derajat menjadi bermasalah: d/dx(sin x) = (π/180)cos x dalam derajat—konstanta yang jelek! Roger Cotes (1682-1716) dan Leonhard Euler memformalkan radian: sudut = panjang busur / jari-jari. Sekarang d/dx(sin x) = cos x dengan indah.

James Thomson menciptakan istilah 'radian' pada tahun 1873 (dari bahasa Latin 'radius'). Radian menjadi UNIT untuk analisis matematis, fisika, dan teknik. Namun derajat tetap bertahan dalam kehidupan sehari-hari karena manusia lebih menyukai bilangan bulat daripada π.

• 1670-an: Kalkulus mengungkapkan bahwa derajat menciptakan rumus yang berantakan
• 1714: Roger Cotes mengembangkan 'ukuran melingkar' (pra-radian)
• 1748: Euler menggunakan radian secara ekstensif dalam analisis
• 1873: Thomson menamainya 'radian'; menjadi standar matematika

Artileri Perang Dunia I menuntut unit sudut praktis: mil lahir—1 mil ≈ deviasi 1 meter pada jarak 1 km. NATO menstandarkan 6400 mil/lingkaran (pangkat 2 yang bagus), sementara Uni Soviet menggunakan 6000 (kenyamanan desimal). Miliradian sejati = 6283/lingkaran.

Astronomi zaman antariksa mencapai presisi milidetik busur (Hipparcos, 1989), kemudian mikrodetik busur (Gaia, 2013). Gaia mengukur paralaks bintang hingga 20 mikrodetik busur—setara dengan melihat rambut manusia dari jarak 1.000 km! Fisika modern menggunakan radian secara universal; hanya navigasi dan konstruksi yang masih menyukai derajat.

• 1916: Artileri militer mengadopsi mil untuk perhitungan jangkauan
• 1960: SI mengakui radian sebagai unit turunan koheren
• 1989: Satelit Hipparcos: presisi ~1 milidetik busur
• 2013: Satelit Gaia: presisi 20 mikrodetik busur—memetakan 1 miliar bintang

Gunakan derajat untuk: sudut sehari-hari, navigasi, survei, konstruksi. Gunakan radian untuk: kalkulus, persamaan fisika, pemrograman (fungsi trigonometri). Radian 'alami' karena panjang busur = jari-jari × sudut. Turunan seperti d/dx(sin x) = cos x hanya berfungsi dalam radian!

Keliling lingkaran = 2πr. Setengah lingkaran (garis lurus) = πr. Radian didefinisikan sebagai panjang busur/jari-jari. Untuk setengah lingkaran: busur = πr, jari-jari = r, jadi sudut = πr/r = π radian. Oleh karena itu, π rad = 180° berdasarkan definisi.

Gunakan arctan: sudut = arctan(kemiringan/100). Contoh: 10% kemiringan = arctan(0,1) ≈ 5,71°. BUKAN hanya dikalikan! 10% ≠ 10°. Balik: kemiringan = tan(sudut) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% kemiringan.

Menit busur (′) = 1/60 derajat (sudut). Menit waktu = 1/60 jam (waktu). Benar-benar berbeda! Dalam astronomi, 'menit waktu' dikonversi menjadi sudut: 1 menit = 15 menit busur (karena 24 jam = 360°, jadi 1 menit = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Mil dirancang agar 1 mil ≈ 1 meter pada 1 km (balistik praktis). Miliradian matematis sejati = 1/1000 rad ≈ 6283 per lingkaran. NATO menyederhanakannya menjadi 6400 (pangkat 2, dapat dibagi dengan baik). Uni Soviet menggunakan 6000 (dapat dibagi dengan 10). Swedia 6300 (kompromi). Semuanya mendekati 2π×1000.

Ya! Positif = berlawanan arah jarum jam (konvensi matematis). Negatif = searah jarum jam. -90° = 270° (posisi yang sama, arah yang berbeda). Dalam navigasi, gunakan rentang 0-360°. Dalam matematika/fisika, sudut negatif umum. Contoh: -π/2 = -90° = 270°.