Кут вимірює обертання або поворот між двома лініями. Уявіть, як ви відкриваєте двері або повертаєте колесо. Вимірюється в градусах (°), радіанах (rad) або градіанах. 360° = повне коло = один повний оберт.

• Кут = величина обертання
• Повне коло = 360° = 2π rad
• Прямий кут = 90° = π/2 rad
• Пряма лінія = 180° = π rad

Градуси: коло, поділене на 360 частин (історично). Радіани: на основі радіуса кола. 2π радіан = 360°. Радіани є 'природними' для математики/фізики. π рад = 180°, тому 1 рад ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (повне коло)
• 180° = π rad (півколо)
• 90° = π/2 rad (прямий кут)
• 1 rad ≈ 57.2958° (перетворення)

Градіан: 100 grad = 90° (метричний кут). Кутова хвилина/секунда: підрозділи градуса (астрономія). Тисячна: військова навігація (6400 тисячних = коло). Кожна одиниця для конкретного застосування.

• Градіан: 400 grad = коло
• Кутова хвилина: 1′ = 1/60°
• Кутова секунда: 1″ = 1/3600°
• Тисячна (NATO): 6400 mil = коло

360° на коло (вавилонське походження - ~360 днів/рік). Підрозділяється: 1° = 60′ (кутових хвилин) = 3600″ (кутових секунд). Універсальна для навігації, геодезії, повсякденного використання.

• 360° = повне коло
• 1° = 60 кутових хвилин (′)
• 1′ = 60 кутових секунд (″)
• Легка для людей, історична

Радіан: довжина дуги = радіус. 2π rad = довжина кола/радіус. Природна для числення (похідні sin, cos). Стандарт у фізиці, інженерії. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (точно)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Природна для математики/фізики

Градіан: 400 grad = коло (метричний кут). 100 grad = прямий кут. Тисячна: військова навігація - NATO використовує 6400 тисячних. СРСР використовував 6000. Існують різні стандарти.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (прямий кут)
• Тисячна (NATO): 6400 на коло
• Тисячна (USSR): 6000 на коло

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Завжди використовуйте радіани в численні! Тригонометричні функції потребують радіанів для похідних.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Числення вимагає радіанів

sin, cos, tan пов'язують кути зі співвідношеннями. Одиничне коло: радіус=1, кут=θ. Координати точки: (cos θ, sin θ). Важливо для фізики, інженерії, графіки.

• sin θ = протилежний катет/гіпотенуза
• cos θ = прилеглий катет/гіпотенуза
• tan θ = протилежний катет/прилеглий катет
• Одиничне коло: (cos θ, sin θ)

Кути додаються/віднімаються звичайно. 45° + 45° = 90°. Повний оберт: додати/відняти 360° (або 2π). Модульна арифметика для циклічності: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (звичайне додавання)
• Циклічність: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Від'ємні кути: -90° = 270°

Курси компаса: 0°=Північ, 90°=Схід, 180°=Південь, 270°=Захід. Військові використовують тисячні для точності. Компас має 32 румби (кожен 11.25°). GPS використовує десяткові градуси.

• Курси: 0-360° від Півночі
• Тисячна NATO: 6400 на коло
• Румби компаса: 32 (кожен 11.25°)
• GPS: десяткові градуси

Положення зірок: точність до кутових секунд. Паралакс: мілісекунди дуги. Hubble: роздільна здатність ~50 mas. Супутник Gaia: точність до мікросекунд дуги. Годинний кут: 24h = 360°.

• Кутова секунда: положення зірок
• Мілісекунда дуги: паралакс, VLBI
• Мікросекунда дуги: супутник Gaia
• Годинний кут: 15°/годину

Ухил: відсотковий градієнт або кут. 10% градієнт ≈ 5.7°. Проектування доріг використовує відсотки. Геодезія використовує градуси/хвилини/секунди. Градіанна система для метричних країн.

• Ухил: % або градуси
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Геодезія: ГХС (градуси-хвилини-секунди)
• Градіан: метрична геодезія

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Швидко: 180° = π rad, тому діліть/множте на це співвідношення.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (точно)
• 2π rad = 360° (точно)

кут = arctan(ухил/100). 10% ухил = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Навпаки: ухил = tan(кут) × 100.

• θ = arctan(градієнт/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Крутий: 100% = 45°

1° = 60′ (кутові хвилини). 1′ = 60″ (кутові секунди). Всього: 1° = 3600″. Швидкий поділ для точності.

• 1° = 60 кутових хвилин
• 1′ = 60 кутових секунд
• 1° = 3600 кутових секунд
• ГХС: градуси-хвилини-секунди

Дорога має ухил 8%. Який це кут?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Відносно пологий схил!

Рухатися за курсом 135°. Який це напрямок за компасом?

0°=Пн, 90°=Сх, 180°=Пд, 270°=Зх. 135° знаходиться між Сх (90°) та Пд (180°). Напрямок: Південний Схід (ПдСх).

Зірка змістилася на 0.5 кутової секунди. Скільки це градусів?

1″ = 1/3600°. Отже, 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Крихітний рух!

Вавилоняни використовували шістдесяткову систему (основа 60). 360 має багато дільників (24 фактори!). Приблизно відповідає 360 дням у році. Зручно для астрономії та хронометражу. Також ділиться націло на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Радіан визначається як довжина дуги = радіус. Це робить числення прекрасним: d/dx(sin x) = cos x (лише в радіанах!). У градусах, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (незручно). Природа 'використовує' радіани!

Метричний кут: 100 grad = прямий кут. Його намагалися запровадити під час Французької революції разом з метричною системою. Ніколи не став популярним — градуси були занадто вкорінені. Все ще використовується в деяких геодезичних роботах (Швейцарія, північна Європа). Калькулятори мають режим 'grad'!

1 мілісекунда дуги ≈ ширина людської волосини, яку видно з відстані 10 км! Космічний телескоп Hubble може розрізняти ~50 mas. Неймовірна точність для астрономії. Використовується для вимірювання зоряного паралаксу, подвійних зірок.

Військова тисячна: 1 тисячна ≈ 1 м ширини на відстані 1 км (NATO: 1.02 м, досить близько). Легка усна арифметика для оцінки дальності. Різні країни використовують різні тисячні (6000, 6300, 6400 на коло). Практична балістична одиниця!

90 = 360/4 (чверть оберту). Але 'прямий' походить від латинського 'rectus' = вертикальний, прямий. Прямий кут утворює перпендикулярні лінії. Важливо для будівництва — будівлі потребують прямих кутів, щоб стояти!

Вавилоняни використовували шістдесяткову (з основою 60) числову систему для астрономії та хронометражу. Вони поділили коло на 360 частин, тому що 360 ≈ кількість днів у році (насправді 365.25), і 360 має 24 дільники — неймовірно зручно для дробів.

Ця система з основою 60 зберігається і сьогодні: 60 секунд у хвилині, 60 хвилин у годині та у градусі. Число 360 розкладається на множники як 2³ × 3² × 5, ділячись націло на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 — мрія калькулятора!

• 2000 до н.е.: Вавилонські астрономи відстежують небесні позиції в градусах
• 360° обрано за подільність та приблизну відповідність року
• Основа 60 дає нам години (24 = 360/15) та хвилини/секунди
• Грецькі астрономи перейняли 360° з вавилонських таблиць

«Начала» Евкліда (300 до н.е.) формалізували геометрію кутів — прямі кути (90°), доповняльні (сума до 90°), суміжні (сума до 180°). Грецькі математики, як Гіппарх, створили тригонометрію, використовуючи таблиці на основі градусів для астрономії та геодезії.

Середньовічні навігатори використовували астролябію та компас з 32 румбами (кожен 11.25°). Морякам потрібні були точні курси; кутові хвилини (1/60°) та кутові секунди (1/3600°) з'явилися для зоряних каталогів та морських карт.

• 300 до н.е.: «Начала» Евкліда визначають геометричні кути
• 150 до н.е.: Гіппарх створює перші тригонометричні таблиці (градуси)
• 1200-ті: Астролябія використовує градусні позначки для небесної навігації
• 1569: Проекція карти Меркатора вимагає математики, що зберігає кути

Коли Ньютон і Лейбніц розробили числення (1670-ті), градуси стали проблематичними: d/dx(sin x) = (π/180)cos x у градусах — потворна константа! Роджер Котс (1682-1716) та Леонард Ейлер формалізували радіан: кут = довжина дуги / радіус. Тепер d/dx(sin x) = cos x прекрасно.

Джеймс Томсон ввів термін «радіан» у 1873 році (від латинського «radius»). Радіан став ОСНОВНОЮ одиницею для математичного аналізу, фізики та інженерії. Проте градуси збереглися в повсякденному житті, оскільки люди віддають перевагу цілим числам, а не π.

• 1670-ті: Числення показує, що градуси створюють громіздкі формули
• 1714: Роджер Котс розробляє «кругову міру» (попередник радіана)
• 1748: Ейлер широко використовує радіани в аналізі
• 1873: Томсон називає його «радіан»; стає математичним стандартом

Артилерія Першої світової війни вимагала практичних кутових одиниць: народилася тисячна — 1 тисячна ≈ 1 метр відхилення на відстані 1 км. NATO стандартизувало 6400 тисячних/коло (гарний ступінь 2), тоді як СРСР використовував 6000 (десяткова зручність). Справжній мілірадіан = 6283/коло.

Астрономія космічної ери досягла точності мілісекунд дуги (Hipparcos, 1989), а потім мікросекунд дуги (Gaia, 2013). Gaia вимірює зоряний паралакс до 20 мікросекунд дуги — що еквівалентно баченню людської волосини з відстані 1000 км! Сучасна фізика використовує радіани повсюдно; лише навігація та будівництво все ще віддають перевагу градусам.

• 1916: Військова артилерія приймає тисячну для розрахунків дальності
• 1960: SI визнає радіан як когерентну похідну одиницю
• 1989: Супутник Hipparcos: точність ~1 мілісекунда дуги
• 2013: Супутник Gaia: точність 20 мікросекунд дуги — картографує 1 мільярд зірок

Використовуйте градуси для: повсякденних кутів, навігації, геодезії, будівництва. Використовуйте радіани для: числення, фізичних рівнянь, програмування (тригонометричні функції). Радіани 'природні', тому що довжина дуги = радіус × кут. Похідні, як d/dx(sin x) = cos x, працюють лише в радіанах!

Довжина кола = 2πr. Півколо (пряма лінія) = πr. Радіан визначається як довжина дуги/радіус. Для півкола: дуга = πr, радіус = r, тому кут = πr/r = π радіан. Отже, за визначенням π рад = 180°.

Використовуйте арктангенс: кут = arctan(градієнт/100). Приклад: 10% градієнт = arctan(0.1) ≈ 5.71°. НЕ просто множити! 10% ≠ 10°. Навпаки: градієнт = tan(кут) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% градієнт.

Кутова хвилина (′) = 1/60 градуса (кут). Хвилина часу = 1/60 години (час). Повністю різні! В астрономії 'хвилина часу' перетворюється на кут: 1 хв = 15 кутових хвилин (оскільки 24h = 360°, тому 1 хв = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Тисячна розроблена так, щоб 1 тисячна ≈ 1 метр на 1 км (практична балістика). Справжній математичний мілірадіан = 1/1000 рад ≈ 6283 на коло. NATO спростило до 6400 (ступінь 2, гарно ділиться). СРСР використовував 6000 (ділиться на 10). Швеція 6300 (компроміс). Усі вони близькі до 2π×1000.

Так! Додатні = проти годинникової стрілки (математична конвенція). Від'ємні = за годинниковою стрілкою. -90° = 270° (те саме положення, інший напрямок). У навігації використовують діапазон 0-360°. У математиці/фізиці від'ємні кути є поширеними. Приклад: -π/2 = -90° = 270°.