A szög két vonal közötti elfordulást vagy fordulatot mér. Gondoljon egy ajtó kinyitására vagy egy kerék elforgatására. Fokokban (°), radiánokban (rad) vagy újfokokban mérik. 360° = teljes kör = egy teljes fordulat.

• Szög = elfordulás mértéke
• Teljes kör = 360° = 2π rad
• Derékszög = 90° = π/2 rad
• Egyenes vonal = 180° = π rad

Fokok: a kör 360 részre osztva (történelmi). Radiánok: a kör sugarán alapulnak. 2π radián = 360°. A radiánok 'természetesek' a matematikához/fizikához. π rad = 180°, tehát 1 rad ≈ 57,3°.

• 360° = 2π rad (teljes kör)
• 180° = π rad (félkör)
• 90° = π/2 rad (derékszög)
• 1 rad ≈ 57,2958° (átváltás)

Újfok: 100 grad = 90° (metrikus szög). Ívperc/ívmásodperc: a fok alosztályai (csillagászat). Ezredrésznyi: katonai navigáció (6400 ezredrésznyi = kör). Minden egység egy adott alkalmazáshoz.

• Újfok: 400 grad = kör
• Ívperc: 1′ = 1/60°
• Ívmásodperc: 1″ = 1/3600°
• Ezredrésznyi (NATO): 6400 ezredrésznyi = kör

360° körönként (babilóniai eredetű - ~360 nap/év). Alosztályai: 1° = 60′ (ívperc) = 3600″ (ívmásodperc). Univerzális a navigációhoz, földméréshez, mindennapi használatra.

• 360° = teljes kör
• 1° = 60 ívperc (′)
• 1′ = 60 ívmásodperc (″)
• Könnyű az embereknek, történelmi

Radián: ívhossz = sugár. 2π rad = kör kerülete/sugár. Természetes a kalkulushoz (sin, cos deriváltjai). Fizikai, mérnöki szabvány. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (pontos)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Természetes a matematikához/fizikához

Újfok: 400 grad = kör (metrikus szög). 100 grad = derékszög. Ezredrésznyi: katonai navigáció - a NATO 6400 ezredrésznyit használ. A Szovjetunió 6000-et használt. Különböző szabványok léteznek.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (derékszög)
• Ezredrésznyi (NATO): 6400 körönként
• Ezredrésznyi (Szovjetunió): 6000 körönként

rad = fok × π/180. fok = rad × 180/π. grad = fok × 10/9. A kalkulusban mindig radiánt használjon! A trigonometrikus függvényekhez radián kell a deriváltakhoz.

• rad = fok × (π/180)
• fok = rad × (180/π)
• grad = fok × (10/9)
• A kalkulus radiánt igényel

sin, cos, tan a szögeket arányokkal kapcsolja össze. Egységkör: sugár=1, szög=θ. Pont koordinátái: (cos θ, sin θ). Alapvető a fizikában, mérnöki tudományokban, grafikában.

• sin θ = szemközti/átfogó
• cos θ = melletti/átfogó
• tan θ = szemközti/melletti
• Egységkör: (cos θ, sin θ)

A szögeket normálisan összeadják/kivonják. 45° + 45° = 90°. Teljes fordulat: adjon hozzá/vonjon le 360°-ot (vagy 2π-t). Modulo aritmetika a 'körbeforduláshoz': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normál összeadás)
• Körbefordulás: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negatív szögek: -90° = 270°

Iránytű irányszögek: 0°=Észak, 90°=Kelet, 180°=Dél, 270°=Nyugat. A katonaság ezredrésznyieket használ a pontossághoz. Az iránytűn 32 pont van (mindegyik 11,25°). A GPS tizedes fokokat használ.

• Irányszögek: 0-360° Északtól
• NATO ezredrésznyi: 6400 körönként
• Iránytű pontok: 32 (mindegyik 11,25°)
• GPS: tizedes fokok

Csillagpozíciók: ívmásodperc pontosság. Parallaxis: milliívmásodpercek. Hubble: ~50 mas felbontás. Gaia műhold: mikroívmásodperc pontosság. Óraszög: 24h = 360°.

• Ívmásodperc: csillagpozíciók
• Milliívmásodperc: parallaxis, VLBI
• Mikroívmásodperc: Gaia műhold
• Óraszög: 15°/óra

Lejtő: százalékos emelkedés vagy szög. 10% emelkedés ≈ 5,7°. Az útépítés százalékot használ. A földmérés fokokat/perceket/másodperceket használ. Újfok rendszer metrikus országokban.

• Lejtő: % vagy fokok
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Földmérés: FMS (fok-perc-másodperc)
• Újfok: metrikus földmérés

rad = fok × π/180. fok = rad × 180/π. Gyorsan: 180° = π rad, tehát ossza/szorozza ezzel az aránnyal.

• rad = fok × 0,01745
• fok = rad × 57,2958
• π rad = 180° (pontos)
• 2π rad = 360° (pontos)

szög = arctan(lejtő/100). 10% lejtő = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Fordítva: lejtő = tan(szög) × 100.

• θ = arctan(emelkedés/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Meredek: 100% = 45°

1° = 60′ (ívperc). 1′ = 60″ (ívmásodperc). Összesen: 1° = 3600″. Gyors alosztás a pontossághoz.

• 1° = 60 ívperc
• 1′ = 60 ívmásodperc
• 1° = 3600 ívmásodperc
• FMS: fok-perc-másodperc

Az útnak 8%-os emelkedése van. Mekkora a szög?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. Viszonylag enyhe lejtő!

Navigáljon 135°-os irányszögön. Milyen iránytű irány ez?

0°=É, 90°=K, 180°=D, 270°=Ny. A 135° a K (90°) és a D (180°) között van. Irány: Délkelet (DK).

Egy csillag 0,5 ívmásodpercet mozdult el. Hány fok ez?

1″ = 1/3600°. Tehát 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. Apró mozgás!

A babiloniak 60-as alapú (szexagezimális) rendszert használtak. A 360-nak sok osztója van (24 tényező!). Körülbelül megfelel a 360 napos évnek. Kényelmes a csillagászathoz és az időméréshez. Szintén egyenletesen osztható 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

A radiánt az ívhossz = sugár határozza meg. Ez teszi a kalkulust széppé: d/dx(sin x) = cos x (csak radiánban!). Fokokban, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (zavaros). A természet 'radiánt használ'!

Metrikus szög: 100 újfok = derékszög. A francia forradalom idején próbálták bevezetni a metrikus rendszerrel. Soha nem lett népszerű – a fokok túlságosan beágyazódtak. Még mindig használják egyes földmérési munkákban (Svájc, Észak-Európa). A számológépeknek van 'grad' üzemmódjuk!

1 milliívmásodperc ≈ egy emberi hajszál szélessége 10 km távolságból nézve! A Hubble űrteleszkóp ~50 mas felbontásra képes. Hihetetlen pontosság a csillagászat számára. Csillagparallaxis, kettőscsillagok mérésére használják.

Katonai ezredrésznyi: 1 ezredrésznyi ≈ 1 m szélesség 1 km távolságban (NATO: 1,02 m, elég közel). Könnyű fejszámolás a távolságbecsléshez. Különböző országok különböző ezredrésznyieket használnak (6000, 6300, 6400 körönként). Praktikus ballisztikai egység!

90 = 360/4 (negyed fordulat). De a 'derék' a latin 'rectus' szóból származik = egyenes, álló. A derékszög merőleges vonalakat alkot. Alapvető az építkezéshez – az épületeknek derékszögekre van szükségük, hogy álljanak!

A babiloniak szexagezimális (60-as alapú) számrendszert használtak a csillagászathoz és az időméréshez. A kört 360 részre osztották, mert 360 ≈ napok száma egy évben (valójában 365,25), és a 360-nak 24 osztója van – hihetetlenül kényelmes a törtekhez.

Ez a 60-as alapú rendszer ma is fennmaradt: 60 másodperc percenként, 60 perc óránként és fokonként. A 360-as szám 2³ × 3² × 5-ként bontható fel, egyenletesen osztható 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180-nal – egy számológép álma!

• i. e. 2000: A babiloni csillagászok fokokban követik az égi pozíciókat
• A 360°-ot az oszthatóság és a ~év közelítése miatt választották
• A 60-as alap adja nekünk az órákat (24 = 360/15) és a perceket/másodperceket
• A görög csillagászok átveszik a 360°-ot a babiloni táblázatokból

Eukleidész Elemek című műve (i. e. 300) formalizálta a szöggeometriát – derékszögek (90°), pótszögek (összegük 90°), kiegészítő szögek (összegük 180°). A görög matematikusok, mint Hipparkhosz, trigonometriát hoztak létre fok alapú táblázatokkal a csillagászathoz és a földméréshez.

A középkori navigátorok asztrolábiumot és iránytűt használtak 32 ponttal (mindegyik 11,25°). A tengerészeknek pontos irányszögekre volt szükségük; az ívpercek (1/60°) és az ívmásodpercek (1/3600°) a csillagkatalógusokhoz és tengeri térképekhez jelentek meg.

• i. e. 300: Eukleidész Elemek című műve definiálja a geometriai szögeket
• i. e. 150: Hipparkhosz elkészíti az első trigonometrikus táblázatokat (fokok)
• 1200-as évek: Az asztrolábium fokbeosztást használ az égi navigációhoz
• 1569: A Mercator-térképvetület szögtartó matematikát igényel

Amikor Newton és Leibniz kifejlesztették a kalkulust (1670-es évek), a fokok problémássá váltak: d/dx(sin x) = (π/180)cos x fokokban – egy csúnya állandó! Roger Cotes (1682-1716) és Leonhard Euler formalizálta a radiánt: szög = ívhossz / sugár. Most d/dx(sin x) = cos x gyönyörűen.

James Thomson alkotta meg a 'radián' kifejezést 1873-ban (a latin 'radius' szóból). A radián lett A mértékegység a matematikai analízishez, a fizikához és a mérnöki tudományokhoz. Mégis, a fokok megmaradtak a mindennapi életben, mert az emberek az egész számokat részesítik előnyben a π-vel szemben.

• 1670-es évek: A kalkulus feltárja, hogy a fokok bonyolult képleteket hoznak létre
• 1714: Roger Cotes kifejleszti a 'kör alakú mértéket' (radián előtti)
• 1748: Euler széles körben használja a radiánokat az analízisben
• 1873: Thomson 'radiánnak' nevezi; matematikai szabvánnyá válik

Az I. világháborús tüzérség praktikus szögmértékegységeket igényelt: megszületett az ezredrésznyi – 1 ezredrésznyi ≈ 1 méter eltérés 1 km távolságon. A NATO 6400 ezredrésznyit/kört szabványosított (egy szép kettő hatvány), míg a Szovjetunió 6000-et használt (tizedes kényelem). Az igazi milliradián = 6283/kör.

Az űrkorszak csillagászata milliívmásodperces pontosságot ért el (Hipparcos, 1989), majd mikroívmásodperceset (Gaia, 2013). A Gaia 20 mikroívmásodperces pontossággal méri a csillagparallaxisokat – ami egyenértékű egy emberi hajszál megtekintésével 1000 km távolságból! A modern fizika egyetemesen használja a radiánokat; csak a navigáció és az építészet részesíti még előnyben a fokokat.

• 1916: A katonai tüzérség átveszi az ezredrésznyit a távolságszámításokhoz
• 1960: Az SI elismeri a radiánt koherens származtatott egységként
• 1989: Hipparcos műhold: ~1 milliívmásodperces pontosság
• 2013: Gaia műhold: 20 mikroívmásodperces pontosság – 1 milliárd csillagot térképez fel

Használjon fokot: mindennapi szögekhez, navigációhoz, földméréshez, építkezéshez. Használjon radiánt: kalkulushoz, fizikai egyenletekhez, programozáshoz (trigonometrikus függvények). A radiánok 'természetesek', mert az ívhossz = sugár × szög. A deriváltak, mint például a d/dx(sin x) = cos x, csak radiánban működnek!

A kör kerülete = 2πr. A félkör (egyenes vonal) = πr. A radián definíciója: ívhossz/sugár. Félkör esetén: ív = πr, sugár = r, tehát a szög = πr/r = π radián. Ezért π rad = 180° definíció szerint.

Használja az arctan-t: szög = arctan(emelkedés/100). Példa: 10% emelkedés = arctan(0,1) ≈ 5,71°. NE csak szorozzon! 10% ≠ 10°. Fordítva: emelkedés = tan(szög) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% emelkedés.

Ívperc (′) = egy fok 1/60-a (szög). Időperc = egy óra 1/60-a (idő). Teljesen más! A csillagászatban az 'időpercet' szöggé alakítják: 1 perc = 15 ívperc (mert 24h = 360°, tehát 1 perc = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Az ezredrésznyit úgy tervezték, hogy 1 ezredrésznyi ≈ 1 méter 1 km-en (gyakorlati ballisztika). A valódi matematikai milliradián = 1/1000 rad ≈ 6283 körönként. A NATO leegyszerűsítette 6400-ra (kettő hatványa, jól osztható). A Szovjetunió 6000-et használt (10-zel osztható). Svédország 6300 (kompromisszum). Mindegyik közel van a 2π×1000-hez.

Igen! A pozitív = az óramutató járásával ellentétes (matematikai konvenció). A negatív = az óramutató járásával megegyező. -90° = 270° (ugyanaz a pozíció, más irány). A navigációban használja a 0-360° tartományt. A matematikában/fizikában a negatív szögek gyakoriak. Példa: -π/2 = -90° = 270°.