Pembe hupima mzunguko au mgeuko kati ya mistari miwili. Fikiria kufungua mlango au kuzungusha gurudumu. Hupimwa kwa digrii (°), radiani (rad), au gradiani. 360° = duara kamili = mzunguko mmoja kamili.

• Pembe = kiasi cha mzunguko
• Duara kamili = 360° = 2π rad
• Pembe mraba = 90° = π/2 rad
• Mstari mnyoofu = 180° = π rad

Digrii: duara limegawanywa katika sehemu 360 (kihistoria). Radiani: kulingana na rediasi ya duara. Radiani 2π = 360°. Radiani ni 'asilia' kwa hisabati/fizikia. π rad = 180°, kwa hivyo 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (duara kamili)
• 180° = π rad (nusu duara)
• 90° = π/2 rad (pembe mraba)
• 1 rad ≈ 57.2958° (ubadilishaji)

Gradiani: 100 grad = 90° (pembe ya metrik). Dakika ya tao/sekunde ya tao: mgawanyo mdogo wa digrii (unajimu). Mil: urambazaji wa kijeshi (mil 6400 = duara). Kila kipimo kwa matumizi maalum.

• Gradiani: 400 grad = duara
• Dakika ya tao: 1′ = 1/60°
• Sekunde ya tao: 1″ = 1/3600°
• Mil (NATO): 6400 mil = duara

360° kwa duara (asili ya Babeli - ~siku 360/mwaka). Imegawanywa: 1° = 60′ (dakika za tao) = 3600″ (sekunde za tao). Hutumika kote ulimwenguni kwa urambazaji, upimaji, matumizi ya kila siku.

• 360° = duara kamili
• 1° = 60 dakika za tao (′)
• 1′ = 60 sekunde za tao (″)
• Rahisi kwa binadamu, kihistoria

Radiani: urefu wa tao = rediasi. 2π rad = mzingo wa duara/rediasi. Asilia kwa kalkulasi (derivatifi za sin, cos). Kiwango katika fizikia, uhandisi. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (hasa)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Asilia kwa hisabati/fizikia

Gradiani: 400 grad = duara (pembe ya metrik). 100 grad = pembe mraba. Mil: urambazaji wa kijeshi - NATO hutumia mil 6400. USSR ilitumia 6000. Kuna viwango tofauti.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (pembe mraba)
• Mil (NATO): 6400 kwa duara
• Mil (USSR): 6000 kwa duara

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Daima tumia radiani katika kalkulasi! Fomula za trigonometria zinahitaji radiani kwa derivatifi.

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• Kalkulasi inahitaji radiani

sin, cos, tan huhusisha pembe na uwiano. Duara la kitengo: rediasi=1, pembe=θ. Kuratibu za nukta: (cos θ, sin θ). Muhimu kwa fizikia, uhandisi, grafiki.

• sin θ = kinyume/hipotenusi
• cos θ = jirani/hipotenusi
• tan θ = kinyume/jirani
• Duara la kitengo: (cos θ, sin θ)

Pembe huongezwa/kutolewa kawaida. 45° + 45° = 90°. Mzunguko kamili: ongeza/toa 360° (au 2π). Hisabati ya moduli kwa mzunguko: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (uongezaji wa kawaida)
• Mzunguko: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Pembe hasi: -90° = 270°

Mwelekeo wa dira: 0°=Kaskazini, 90°=Mashariki, 180°=Kusini, 270°=Magharibi. Jeshi hutumia mil kwa usahihi. Dira ina alama 32 (kila moja 11.25°). GPS hutumia digrii za desimali.

• Mwelekeo: 0-360° kutoka Kaskazini
• Mil ya NATO: 6400 kwa duara
• Alama za dira: 32 (kila moja 11.25°)
• GPS: digrii za desimali

Nafasi za nyota: usahihi wa sekunde za tao. Paralakisi: miliarcsekunde. Hubble: ~50 mas azimio. Satelaiti ya Gaia: usahihi wa mikroarcsekunde. Pembe ya saa: 24h = 360°.

• Sekunde ya tao: nafasi za nyota
• Miliarcsekunde: paralakisi, VLBI
• Mikroarcsekunde: satelaiti ya Gaia
• Pembe ya saa: 15°/saa

Mteremko: asilimia ya daraja au pembe. Daraja la 10% ≈ 5.7°. Usanifu wa barabara hutumia asilimia. Upimaji hutumia digrii/dakika/sekunde. Mfumo wa gradiani kwa nchi za metrik.

• Mteremko: % au digrii
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Upimaji: DMS (digrii-dakika-sekunde)
• Gradiani: upimaji wa metrik

rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Haraka: 180° = π rad, kwa hivyo gawanya/zidisha kwa uwiano huu.

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (hasa)
• 2π rad = 360° (hasa)

pembe = arctan(mteremko/100). Mteremko wa 10% = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Kinyume: mteremko = tan(pembe) × 100.

• θ = arctan(daraja/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Mwinuko: 100% = 45°

1° = 60′ (arcmin). 1′ = 60″ (arcsec). Jumla: 1° = 3600″. Mgawanyiko wa haraka kwa usahihi.

• 1° = 60 dakika za tao
• 1′ = 60 sekunde za tao
• 1° = 3600 sekunde za tao
• DMS: digrii-dakika-sekunde

Barabara ina daraja la 8%. Pembe ni ipi?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Mteremko mpole!

Endesha kwa mwelekeo wa 135°. Ni mwelekeo gani wa dira?

0°=K, 90°=M, 180°=Kus, 270°=Mag. 135° iko kati ya M (90°) na Kus (180°). Mwelekeo: Kusini Mashariki (SE).

Nyota ilisogea sekunde 0.5 za tao. Ni digrii ngapi?

1″ = 1/3600°. Kwa hivyo 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Harakati ndogo sana!

Wababeli walitumia mfumo wa msingi-60 (sexagesimal). 360 ina vigawanyo vingi (sababu 24!). Inakaribiana na siku 360 katika mwaka. Rahisi kwa unajimu na utunzaji wa muda. Pia inagawanyika sawasawa kwa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radiani inafafanuliwa na urefu wa tao = rediasi. Hufanya kalkulasi kuwa nzuri: d/dx(sin x) = cos x (kwa radiani pekee!). Kwa digrii, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (tata). Asili 'hutumia' radiani!

Pembe ya metrik: 100 grad = pembe mraba. Ilijaribiwa wakati wa Mapinduzi ya Ufaransa na mfumo wa metrik. Haikupata umaarufu—digrii zilikuwa zimekita mizizi sana. Bado hutumika katika upimaji fulani (Uswizi, Ulaya kaskazini). Vikokotoo vina modi ya 'grad'!

Miliarcsekunde 1 ≈ upana wa unywele wa binadamu ukiangaliwa kutoka umbali wa kilomita 10! Darubini ya Anga ya Hubble inaweza kutofautisha ~50 mas. Usahihi wa ajabu kwa unajimu. Hutumika kupima paralakisi ya nyota, nyota pacha.

Mil ya kijeshi: 1 mil ≈ upana wa mita 1 kwa umbali wa kilomita 1 (NATO: mita 1.02, karibu vya kutosha). Hisabati rahisi ya kichwa kwa kukadiria masafa. Nchi tofauti hutumia mil tofauti (6000, 6300, 6400 kwa duara). Kipimo cha balestiki cha vitendo!

90 = 360/4 (robo mzunguko). Lakini 'mraba' (right) inatokana na neno la Kilatini 'rectus' = wima, mnyoofu. Pembe mraba hutengeneza mistari ya pembeni. Muhimu kwa ujenzi—majengo yanahitaji pembe mraba ili kusimama!

Wababeli walitumia mfumo wa nambari wa sexagesimal (msingi-60) kwa unajimu na utunzaji wa muda. Waligawanya duara katika sehemu 360 kwa sababu 360 ≈ siku katika mwaka (kwa kweli 365.25), na 360 ina vigawanyo 24—rahisi sana kwa sehemu.

Mfumo huu wa msingi-60 unaendelea leo: sekunde 60 kwa dakika, dakika 60 kwa saa na kwa digrii. Nambari 360 inagawanyika kama 2³ × 3² × 5, ikigawanyika sawasawa na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—ndoto ya kikokotoo!

• 2000 KK: Wanajimu wa Babeli wanafuatilia nafasi za angani kwa digrii
• 360° ilichaguliwa kwa ugawanyikaji na ukadiriaji wa mwaka
• Msingi-60 unatupa masaa (24 = 360/15) na dakika/sekunde
• Wanajimu wa Kigiriki walichukua 360° kutoka kwa jedwali za Babeli

Elements za Euclid (300 KK) ziliweka rasmi jiometri ya pembe—pembe mraba (90°), pembe kamilishani (jumla hadi 90°), pembe nyongeza (jumla hadi 180°). Wataalamu wa hisabati wa Kigiriki kama Hipparchus waliunda trigonometria wakitumia jedwali za digrii kwa unajimu na upimaji.

Wanamaji wa zama za kati walitumia astrolabe na dira yenye alama 32 (kila moja 11.25°). Mabaharia walihitaji mwelekeo sahihi; dakika za tao (1/60°) na sekunde za tao (1/3600°) ziliibuka kwa ajili ya katalogi za nyota na chati za baharini.

• 300 KK: Elements za Euclid zinafafanua pembe za kijiometri
• 150 KK: Hipparchus anaunda jedwali za kwanza za trig (digrii)
• Miaka ya 1200: Astrolabe inatumia alama za digrii kwa urambazaji wa angani
• 1569: Mchoro wa ramani wa Mercator unahitaji hisabati inayohifadhi pembe

Wakati Newton na Leibniz walipokuwa wakiendeleza kalkulasi (miaka ya 1670), digrii zikawa tatizo: d/dx(sin x) = (π/180)cos x kwa digrii—nambari isiyobadilika isiyopendeza! Roger Cotes (1682-1716) na Leonhard Euler waliweka rasmi radiani: pembe = urefu wa tao / rediasi. Sasa d/dx(sin x) = cos x kwa uzuri.

James Thomson aliunda neno 'radian' mnamo 1873 (kutoka neno la Kilatini 'radius'). Radiani ikawa kipimo KWA uchambuzi wa kihisabati, fizikia, na uhandisi. Hata hivyo digrii ziliendelea kutumika katika maisha ya kila siku kwa sababu binadamu wanapendelea nambari nzima kuliko π.

• Miaka ya 1670: Kalkulasi inaonyesha digrii huunda fomula tata
• 1714: Roger Cotes anaendeleza 'kipimo cha duara' (kabla ya radiani)
• 1748: Euler anatumia radiani sana katika uchambuzi
• 1873: Thomson anaiita 'radian'; inakuwa kiwango cha hisabati

Mizinga ya Vita vya Kwanza vya Dunia ilihitaji vipimo vya pembe vya vitendo: mil ilizaliwa—1 mil ≈ mkengeuko wa mita 1 kwa umbali wa kilomita 1. NATO iliweka kiwango cha mil 6400/duara (nguvu nzuri ya 2), huku USSR ikitumia 6000 (urahisi wa desimali). Miliradiani halisi = 6283/duara.

Unajimu wa enzi ya anga ulifikia usahihi wa miliarcsekunde (Hipparcos, 1989), kisha mikroarcsekunde (Gaia, 2013). Gaia inapima paralakisi ya nyota hadi mikroarcsekunde 20—sawa na kuona unywele wa binadamu kutoka umbali wa kilomita 1,000! Fizikia ya kisasa hutumia radiani kote ulimwenguni; ni urambazaji na ujenzi pekee bado vinapendelea digrii.

• 1916: Mizinga ya kijeshi inachukua mil kwa hesabu za masafa
• 1960: SI inatambua radiani kama kipimo tegemezi kinachoshikamana
• 1989: Satelaiti ya Hipparcos: ~usahihi wa miliarcsekunde 1
• 2013: Satelaiti ya Gaia: usahihi wa mikroarcsekunde 20—inachora ramani ya nyota bilioni 1

Tumia digrii kwa: pembe za kila siku, urambazaji, upimaji, ujenzi. Tumia radiani kwa: kalkulasi, fomula za fizikia, upangaji programu (fomula za trigonometria). Radiani ni 'asilia' kwa sababu urefu wa tao = rediasi × pembe. Derivatifi kama d/dx(sin x) = cos x hufanya kazi kwa radiani pekee!

Mzingo wa duara = 2πr. Nusu duara (mstari mnyoofu) = πr. Radiani inafafanuliwa kama urefu wa tao/rediasi. Kwa nusu duara: tao = πr, rediasi = r, kwa hivyo pembe = πr/r = π radiani. Kwa hivyo, kwa ufafanuzi π rad = 180°.

Tumia arctan: pembe = arctan(daraja/100). Mfano: Daraja la 10% = arctan(0.1) ≈ 5.71°. SI kuzidisha tu! 10% ≠ 10°. Kinyume: daraja = tan(pembe) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% daraja.

Dakika ya tao (′) = 1/60 ya digrii (pembe). Dakika ya muda = 1/60 ya saa (muda). Tofauti kabisa! Katika unajimu, 'dakika ya muda' hubadilishwa kuwa pembe: dakika 1 = dakika 15 za tao (kwa sababu 24h = 360°, kwa hivyo dakika 1 = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Mil iliundwa ili 1 mil ≈ mita 1 kwa kilomita 1 (balestiki ya vitendo). Miliradiani halisi ya kihisabati = 1/1000 rad ≈ 6283 kwa duara. NATO iliirahisisha hadi 6400 (nguvu ya 2, inagawanyika vizuri). USSR ilitumia 6000 (inagawanyika na 10). Sweden 6300 (maelewano). Zote ziko karibu na 2π×1000.

Ndio! Chanya = kinyume cha saa (mkataba wa kihisabati). Hasi = kisaa. -90° = 270° (nafasi sawa, mwelekeo tofauti). Katika urambazaji, tumia masafa ya 0-360°. Katika hisabati/fizikia, pembe hasi ni za kawaida. Mfano: -π/2 = -90° = 270°.