Μια γωνία μετρά την περιστροφή ή τη στροφή μεταξύ δύο γραμμών. Σκεφτείτε το άνοιγμα μιας πόρτας ή την περιστροφή ενός τροχού. Μετριέται σε μοίρες (°), ακτίνια (rad) ή βαθμούς. 360° = πλήρης κύκλος = μία πλήρης περιστροφή.

• Γωνία = ποσό περιστροφής
• Πλήρης κύκλος = 360° = 2π rad
• Ορθή γωνία = 90° = π/2 rad
• Ευθεία γραμμή = 180° = π rad

Μοίρες: κύκλος χωρισμένος σε 360 μέρη (ιστορικά). Ακτίνια: βασισμένα στην ακτίνα του κύκλου. 2π ακτίνια = 360°. Τα ακτίνια είναι «φυσικά» για τα μαθηματικά/φυσική. π rad = 180°, οπότε 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (πλήρης κύκλος)
• 180° = π rad (μισός κύκλος)
• 90° = π/2 rad (ορθή γωνία)
• 1 rad ≈ 57.2958° (μετατροπή)

Βαθμός: 100 grad = 90° (μετρική γωνία). Πρώτο/δεύτερο λεπτό τόξου: υποδιαιρέσεις της μοίρας (αστρονομία). Χιλιοστό: στρατιωτική ναυσιπλοΐα (6400 χιλιοστά = κύκλος). Κάθε μονάδα για συγκεκριμένη εφαρμογή.

• Βαθμός: 400 grad = κύκλος
• Πρώτο λεπτό τόξου: 1′ = 1/60°
• Δεύτερο λεπτό τόξου: 1″ = 1/3600°
• Χιλιοστό (NATO): 6400 χιλιοστά = κύκλος

360° ανά κύκλο (βαβυλωνιακή προέλευση - ~360 ημέρες/έτος). Υποδιαιρείται: 1° = 60′ (πρώτα λεπτά τόξου) = 3600″ (δεύτερα λεπτά τόξου). Παγκόσμιο για ναυσιπλοΐα, τοπογραφία, καθημερινή χρήση.

• 360° = πλήρης κύκλος
• 1° = 60 πρώτα λεπτά τόξου (′)
• 1′ = 60 δεύτερα λεπτά τόξου (″)
• Εύκολο για τους ανθρώπους, ιστορικό

Ακτίνιο: μήκος τόξου = ακτίνα. 2π rad = περιφέρεια κύκλου/ακτίνα. Φυσικό για τον λογισμό (παράγωγοι sin, cos). Πρότυπο στη φυσική, μηχανική. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (ακριβώς)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• Φυσικό για μαθηματικά/φυσική

Βαθμός: 400 grad = κύκλος (μετρική γωνία). 100 grad = ορθή γωνία. Χιλιοστό: στρατιωτική ναυσιπλοΐα - το NATO χρησιμοποιεί 6400 χιλιοστά. Η ΕΣΣΔ χρησιμοποιούσε 6000. Υπάρχουν διαφορετικά πρότυπα.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (ορθή γωνία)
• Χιλιοστό (NATO): 6400 ανά κύκλο
• Χιλιοστό (ΕΣΣΔ): 6000 ανά κύκλο

rad = μοίρες × π/180. μοίρες = rad × 180/π. grad = μοίρες × 10/9. Πάντα χρησιμοποιείτε ακτίνια στον λογισμό! Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρειάζονται ακτίνια για τις παραγώγους.

• rad = μοίρες × (π/180)
• μοίρες = rad × (180/π)
• grad = μοίρες × (10/9)
• Ο λογισμός απαιτεί ακτίνια

sin, cos, tan συσχετίζουν τις γωνίες με λόγους. Μοναδιαίος κύκλος: ακτίνα=1, γωνία=θ. Συντεταγμένες σημείου: (cos θ, sin θ). Απαραίτητο για τη φυσική, τη μηχανική, τα γραφικά.

• sin θ = απέναντι/υποτείνουσα
• cos θ = προσκείμενη/υποτείνουσα
• tan θ = απέναντι/προσκείμενη
• Μοναδιαίος κύκλος: (cos θ, sin θ)

Οι γωνίες προστίθενται/αφαιρούνται κανονικά. 45° + 45° = 90°. Πλήρης περιστροφή: προσθέστε/αφαιρέστε 360° (ή 2π). Αριθμητική υπολοίπων για την αναδίπλωση: 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (κανονική πρόσθεση)
• Αναδίπλωση: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Αρνητικές γωνίες: -90° = 270°

Πορείες πυξίδας: 0°=Βορράς, 90°=Ανατολή, 180°=Νότος, 270°=Δύση. Ο στρατός χρησιμοποιεί χιλιοστά για ακρίβεια. Η πυξίδα έχει 32 σημεία (11.25° το καθένα). Το GPS χρησιμοποιεί δεκαδικές μοίρες.

• Πορείες: 0-360° από τον Βορρά
• Χιλιοστό ΝΑΤΟ: 6400 ανά κύκλο
• Σημεία πυξίδας: 32 (11.25° το καθένα)
• GPS: δεκαδικές μοίρες

Θέσεις άστρων: ακρίβεια δευτερολέπτων τόξου. Παράλλαξη: χιλιοστά του δευτερολέπτου τόξου. Hubble: ανάλυση ~50 mas. Δορυφόρος Gaia: ακρίβεια μικροδευτερολέπτων τόξου. Ωρική γωνία: 24h = 360°.

• Δευτερόλεπτο τόξου: θέσεις άστρων
• Χιλιοστό του δευτερολέπτου τόξου: παράλλαξη, VLBI
• Μικροδευτερόλεπτο τόξου: δορυφόρος Gaia
• Ωρική γωνία: 15°/ώρα

Κλίση: ποσοστό κλίσης ή γωνία. 10% κλίση ≈ 5.7°. Ο σχεδιασμός δρόμων χρησιμοποιεί ποσοστά. Η τοπογραφία χρησιμοποιεί μοίρες/λεπτά/δευτερόλεπτα. Το σύστημα βαθμών για μετρικές χώρες.

• Κλίση: % ή μοίρες
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• Τοπογραφία: DMS (μοίρες-λεπτά-δευτερόλεπτα)
• Βαθμός: μετρική τοπογραφία

rad = μοίρες × π/180. μοίρες = rad × 180/π. Γρήγορα: 180° = π rad, οπότε διαιρέστε/πολλαπλασιάστε με αυτόν τον λόγο.

• rad = μοίρες × 0.01745
• μοίρες = rad × 57.2958
• π rad = 180° (ακριβώς)
• 2π rad = 360° (ακριβώς)

γωνία = arctan(κλίση/100). 10% κλίση = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Αντίστροφα: κλίση = tan(γωνία) × 100.

• θ = arctan(κλίση/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Απότομη: 100% = 45°

1° = 60′ (πρώτο λεπτό τόξου). 1′ = 60″ (δεύτερο λεπτό τόξου). Σύνολο: 1° = 3600″. Γρήγορη υποδιαίρεση για ακρίβεια.

• 1° = 60 πρώτα λεπτά τόξου
• 1′ = 60 δεύτερα λεπτά τόξου
• 1° = 3600 δεύτερα λεπτά τόξου
• DMS: μοίρες-λεπτά-δευτερόλεπτα

Ένας δρόμος έχει κλίση 8%. Ποια είναι η γωνία;

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Σχετικά ήπια κλίση!

Πλοηγηθείτε σε πορεία 135°. Ποια κατεύθυνση της πυξίδας είναι αυτή;

0°=Β, 90°=Α, 180°=Ν, 270°=Δ. Η 135° βρίσκεται μεταξύ Α (90°) και Ν (180°). Κατεύθυνση: Νοτιοανατολικά (ΝΑ).

Ένα άστρο μετακινήθηκε 0.5 δεύτερα λεπτά τόξου. Πόσες μοίρες είναι αυτό;

1″ = 1/3600°. Άρα 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Ελάχιστη κίνηση!

Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ένα εξηνταδικό σύστημα (βάση 60). Το 360 έχει πολλούς διαιρέτες (24 παράγοντες!). Συμπίπτει περίπου με τις 360 ημέρες του έτους. Βολικό για την αστρονομία και τη χρονομέτρηση. Επίσης, διαιρείται ακριβώς με το 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Το ακτίνιο ορίζεται από το μήκος τόξου = ακτίνα. Κάνει τον λογισμό όμορφο: d/dx(sin x) = cos x (μόνο σε ακτίνια!). Σε μοίρες, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (περίπλοκο). Η φύση 'χρησιμοποιεί' ακτίνια!

Μετρική γωνία: 100 grad = ορθή γωνία. Προσπάθησαν να το καθιερώσουν κατά τη Γαλλική Επανάσταση με το μετρικό σύστημα. Ποτέ δεν έγινε δημοφιλές—οι μοίρες ήταν πολύ εδραιωμένες. Χρησιμοποιείται ακόμα σε ορισμένες τοπογραφικές εργασίες (Ελβετία, βόρεια Ευρώπη). Οι αριθμομηχανές έχουν λειτουργία 'grad'!

1 χιλιοστό του δευτερολέπτου τόξου ≈ το πλάτος μιας ανθρώπινης τρίχας που φαίνεται από απόσταση 10 χλμ! Το Διαστημικό Τηλεσκόπιο Hubble μπορεί να διακρίνει ~50 mas. Απίστευτη ακρίβεια για την αστρονομία. Χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της αστρικής παράλλαξης, των διπλών αστέρων.

Στρατιωτικό χιλιοστό: 1 χιλιοστό ≈ 1 μ πλάτος σε απόσταση 1 χλμ (NATO: 1.02 μ, αρκετά κοντά). Εύκολος νοητικός υπολογισμός για την εκτίμηση της απόστασης. Διαφορετικές χώρες χρησιμοποιούν διαφορετικά χιλιοστά (6000, 6300, 6400 ανά κύκλο). Πρακτική βαλλιστική μονάδα!

90 = 360/4 (τέταρτο στροφής). Αλλά το 'ορθή' προέρχεται από το λατινικό 'rectus' = όρθιος, ευθύς. Η ορθή γωνία δημιουργεί κάθετες γραμμές. Απαραίτητο για τις κατασκευές—τα κτίρια χρειάζονται ορθές γωνίες για να σταθούν!

Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ένα εξηνταδικό (βάση 60) σύστημα αρίθμησης για την αστρονομία και τη χρονομέτρηση. Χώρισαν τον κύκλο σε 360 μέρη επειδή το 360 ≈ ημέρες σε ένα έτος (στην πραγματικότητα 365.25), και το 360 έχει 24 διαιρέτες—απίστευτα βολικό για κλάσματα.

Αυτό το σύστημα βάσης 60 επιβιώνει μέχρι σήμερα: 60 δευτερόλεπτα ανά λεπτό, 60 λεπτά ανά ώρα και ανά μοίρα. Ο αριθμός 360 αναλύεται ως 2³ × 3² × 5, διαιρούμενος ακριβώς με τα 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—το όνειρο ενός υπολογιστή!

• 2000 π.Χ.: Βαβυλώνιοι αστρονόμοι παρακολουθούν τις ουράνιες θέσεις σε μοίρες
• Το 360° επιλέχθηκε για τη διαιρετότητα και την προσέγγιση του έτους
• Η βάση 60 μας δίνει τις ώρες (24 = 360/15) και τα λεπτά/δευτερόλεπτα
• Έλληνες αστρονόμοι υιοθετούν το 360° από τους βαβυλωνιακούς πίνακες

Τα 'Στοιχεία' του Ευκλείδη (300 π.Χ.) επισημοποίησαν τη γεωμετρία των γωνιών—ορθές γωνίες (90°), συμπληρωματικές (άθροισμα 90°), παραπληρωματικές (άθροισμα 180°). Έλληνες μαθηματικοί όπως ο Ίππαρχος δημιούργησαν την τριγωνομετρία χρησιμοποιώντας πίνακες βασισμένους σε μοίρες για την αστρονομία και την τοπογραφία.

Οι μεσαιωνικοί ναυτικοί χρησιμοποιούσαν τον αστρολάβο και την πυξίδα με 32 σημεία (καθένα 11.25°). Οι ναυτικοί χρειάζονταν ακριβείς πορείες· τα πρώτα λεπτά τόξου (1/60°) και τα δεύτερα λεπτά τόξου (1/3600°) εμφανίστηκαν για τους αστρικούς καταλόγους και τους ναυτικούς χάρτες.

• 300 π.Χ.: Τα 'Στοιχεία' του Ευκλείδη ορίζουν τις γεωμετρικές γωνίες
• 150 π.Χ.: Ο Ίππαρχος δημιουργεί τους πρώτους τριγωνομετρικούς πίνακες (μοίρες)
• 1200s: Ο αστρολάβος χρησιμοποιεί σημάνσεις μοιρών για την ουράνια ναυσιπλοΐα
• 1569: Η Μερκατορική προβολή χαρτών απαιτεί μαθηματικά που διατηρούν τις γωνίες

Καθώς ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς ανέπτυσσαν τον λογισμό (1670s), οι μοίρες έγιναν προβληματικές: d/dx(sin x) = (π/180)cos x σε μοίρες—μια άσχημη σταθερά! Ο Roger Cotes (1682-1716) και ο Leonhard Euler επισημοποίησαν το ακτίνιο: γωνία = μήκος τόξου / ακτίνα. Τώρα d/dx(sin x) = cos x με όμορφο τρόπο.

Ο James Thomson επινόησε τον όρο 'radian' το 1873 (από το λατινικό 'radius'). Το ακτίνιο έγινε Η μονάδα για τη μαθηματική ανάλυση, τη φυσική και τη μηχανική. Ωστόσο, οι μοίρες παρέμειναν στην καθημερινή ζωή επειδή οι άνθρωποι προτιμούν τους ακέραιους αριθμούς από το π.

• 1670s: Ο λογισμός αποκαλύπτει ότι οι μοίρες δημιουργούν περίπλοκους τύπους
• 1714: Ο Roger Cotes αναπτύσσει το 'κυκλικό μέτρο' (προ-ακτίνιο)
• 1748: Ο Euler χρησιμοποιεί εκτενώς τα ακτίνια στην ανάλυση
• 1873: Ο Thomson το ονομάζει 'radian'· γίνεται μαθηματικό πρότυπο

Το πυροβολικό του Α' Παγκοσμίου Πολέμου απαιτούσε πρακτικές μονάδες γωνίας: γεννήθηκε το χιλιοστό—1 χιλιοστό ≈ 1 μέτρο απόκλιση σε απόσταση 1 χλμ. Το NATO τυποποίησε 6400 χιλιοστά/κύκλο (μια ωραία δύναμη του 2), ενώ η ΕΣΣΔ χρησιμοποίησε 6000 (δεκαδική ευκολία). Το αληθινό χιλιοστό του ακτινίου = 6283/κύκλο.

Η αστρονομία της διαστημικής εποχής πέτυχε ακρίβεια χιλιοστών του δευτερολέπτου τόξου (Hipparcos, 1989), και στη συνέχεια μικροδευτερολέπτων τόξου (Gaia, 2013). Το Gaia μετρά την αστρική παράλλαξη με ακρίβεια 20 μικροδευτερολέπτων τόξου—ισοδύναμο με το να βλέπεις μια ανθρώπινη τρίχα από 1.000 χλμ μακριά! Η σύγχρονη φυσική χρησιμοποιεί τα ακτίνια παγκοσμίως· μόνο η ναυσιπλοΐα και οι κατασκευές εξακολουθούν να προτιμούν τις μοίρες.

• 1916: Το στρατιωτικό πυροβολικό υιοθετεί το χιλιοστό για υπολογισμούς εμβέλειας
• 1960: Το SI αναγνωρίζει το ακτίνιο ως συνεκτική παράγωγη μονάδα
• 1989: Δορυφόρος Hipparcos: ακρίβεια ~1 χιλιοστό του δευτερολέπτου τόξου
• 2013: Δορυφόρος Gaia: ακρίβεια 20 μικροδευτερολέπτων τόξου—χαρτογραφεί 1 δισεκατομμύριο άστρα

Χρησιμοποιήστε μοίρες για: καθημερινές γωνίες, ναυσιπλοΐα, τοπογραφία, κατασκευές. Χρησιμοποιήστε ακτίνια για: λογισμό, εξισώσεις φυσικής, προγραμματισμό (τριγωνομετρικές συναρτήσεις). Τα ακτίνια είναι 'φυσικά' επειδή το μήκος τόξου = ακτίνα × γωνία. Παράγωγοι όπως d/dx(sin x) = cos x λειτουργούν μόνο σε ακτίνια!

Η περιφέρεια του κύκλου = 2πr. Ο μισός κύκλος (ευθεία γραμμή) = πr. Το ακτίνιο ορίζεται ως μήκος τόξου/ακτίνα. Για μισό κύκλο: τόξο = πr, ακτίνα = r, οπότε γωνία = πr/r = π ακτίνια. Επομένως, π rad = 180° εξ ορισμού.

Χρησιμοποιήστε την arctan: γωνία = arctan(κλίση/100). Παράδειγμα: 10% κλίση = arctan(0.1) ≈ 5.71°. ΟΧΙ απλός πολλαπλασιασμός! 10% ≠ 10°. Αντίστροφα: κλίση = tan(γωνία) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% κλίση.

Πρώτο λεπτό τόξου (′) = 1/60 της μοίρας (γωνία). Λεπτό χρόνου = 1/60 της ώρας (χρόνος). Εντελώς διαφορετικά! Στην αστρονομία, το 'λεπτό χρόνου' μετατρέπεται σε γωνία: 1 min = 15 πρώτα λεπτά τόξου (επειδή 24h = 360°, οπότε 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).

Το χιλιοστό σχεδιάστηκε έτσι ώστε 1 χιλιοστό ≈ 1 μέτρο σε 1 χλμ (πρακτική βαλλιστική). Το αληθινό μαθηματικό χιλιοστό του ακτινίου = 1/1000 rad ≈ 6283 ανά κύκλο. Το NATO το απλοποίησε σε 6400 (δύναμη του 2, διαιρείται εύκολα). Η ΕΣΣΔ χρησιμοποίησε 6000 (διαιρείται με το 10). Η Σουηδία 6300 (συμβιβασμός). Όλα είναι κοντά στο 2π×1000.

Ναι! Θετική = αριστερόστροφα (μαθηματική σύμβαση). Αρνητική = δεξιόστροφα. -90° = 270° (ίδια θέση, διαφορετική κατεύθυνση). Στη ναυσιπλοΐα, χρησιμοποιήστε το εύρος 0-360°. Στα μαθηματικά/φυσική, οι αρνητικές γωνίες είναι κοινές. Παράδειγμα: -π/2 = -90° = 270°.