একটি কোণ দুটি রেখার মধ্যে ঘূর্ণন বা বাঁক পরিমাপ করে। একটি দরজা খোলার বা একটি চাকা ঘোরানোর কথা ভাবুন। এটি ডিগ্রি (°), রেডিয়ান (rad), বা গ্রেডিয়ানে পরিমাপ করা হয়। ৩৬০° = পূর্ণ বৃত্ত = একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন।

• কোণ = ঘূর্ণনের পরিমাণ
• পূর্ণ বৃত্ত = ৩৬০° = ২π rad
• সমকোণ = ৯০° = π/২ rad
• সরলরেখা = ১৮০° = π rad

ডিগ্রি: বৃত্তকে ৩৬০টি ভাগে ভাগ করা হয় (ঐতিহাসিক)। রেডিয়ান: বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে। ২π রেডিয়ান = ৩৬০°। রেডিয়ান গণিত/পদার্থবিজ্ঞানের জন্য 'স্বাভাবিক'। π রেডিয়ান = ১৮০°, তাই ১ রেডিয়ান ≈ ৫৭.৩°।

• ৩৬০° = ২π rad (পূর্ণ বৃত্ত)
• ১৮০° = π rad (অর্ধ বৃত্ত)
• ৯০° = π/২ rad (সমকোণ)
• ১ rad ≈ ৫৭.২৯৫৮° (রূপান্তর)

গ্রেডিয়ান: ১০০ grad = ৯০° (মেট্রিক কোণ)। আর্কমিনিট/আর্কসেকেন্ড: ডিগ্রির উপবিভাগ (জ্যোতির্বিদ্যা)। মিল: সামরিক নেভিগেশন (৬৪০০ মিল = বৃত্ত)। প্রতিটি একক নির্দিষ্ট প্রয়োগের জন্য।

• গ্রেডিয়ান: ৪০০ grad = বৃত্ত
• আর্কমিনিট: ১′ = ১/৬০°
• আর্কসেকেন্ড: ১″ = ১/৩৬০০°
• মিল (NATO): ৬৪০০ mil = বৃত্ত

বৃত্ত প্রতি ৩৬০° (ব্যাবিলনীয় উৎস - ~৩৬০ দিন/বছর)। উপবিভক্ত: ১° = ৬০′ (আর্কমিনিট) = ৩৬০০″ (আর্কসেকেন্ড)। নেভিগেশন, জরিপ, দৈনন্দিন ব্যবহারের জন্য সার্বজনীন।

• ৩৬০° = পূর্ণ বৃত্ত
• ১° = ৬০ আর্কমিনিট (′)
• ১′ = ৬০ আর্কসেকেন্ড (″)
• মানুষের জন্য সহজ, ঐতিহাসিক

রেডিয়ান: বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = ব্যাসার্ধ। ২π rad = বৃত্তের পরিধি/ব্যাসার্ধ। ক্যালকুলাসের জন্য স্বাভাবিক (sin, cos এর ডেরিভেটিভ)। পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশলের মান। π রেডিয়ান = ১৮০°।

• ২π rad = ৩৬০° (সঠিক)
• π rad = ১৮০°
• ১ rad ≈ ৫৭.২৯৫৮°
• গণিত/পদার্থবিজ্ঞানের জন্য স্বাভাবিক

গ্রেডিয়ান: ৪০০ grad = বৃত্ত (মেট্রিক কোণ)। ১০০ grad = সমকোণ। মিল: সামরিক নেভিগেশন - NATO ৬৪০০ মিল ব্যবহার করে। USSR ৬০০০ ব্যবহার করত। বিভিন্ন মান বিদ্যমান।

• ৪০০ grad = ৩৬০°
• ১০০ grad = ৯০° (সমকোণ)
• মিল (NATO): প্রতি বৃত্তে ৬৪০০
• মিল (USSR): প্রতি বৃত্তে ৬০০০

rad = deg × π/১৮০। deg = rad × ১৮০/π। grad = deg × ১০/৯। ক্যালকুলাসে সর্বদা রেডিয়ান ব্যবহার করুন! ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য রেডিয়ান প্রয়োজন।

• rad = deg × (π/১৮০)
• deg = rad × (১৮০/π)
• grad = deg × (১০/৯)
• ক্যালকুলাসের জন্য রেডিয়ান প্রয়োজন

sin, cos, tan কোণগুলিকে অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত করে। একক বৃত্ত: ব্যাসার্ধ=১, কোণ=θ। বিন্দুর স্থানাঙ্ক: (cos θ, sin θ)। পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল, গ্রাফিক্সের জন্য অপরিহার্য।

• sin θ = বিপরীত/অতিভুজ
• cos θ = সংলগ্ন/অতিভুজ
• tan θ = বিপরীত/সংলগ্ন
• একক বৃত্ত: (cos θ, sin θ)

কোণগুলি সাধারণত যোগ/বিয়োগ করা হয়। ৪৫° + ৪৫° = ৯০°। সম্পূর্ণ ঘূর্ণন: ৩৬০° (বা ২π) যোগ/বিয়োগ করুন। মোড়ানোর জন্য মডুলো পাটিগণিত: ৩৭০° = ১০°।

• θ₁ + θ₂ (সাধারণ যোগ)
• মোড়ানো: θ mod ৩৬০°
• ৩৭০° ≡ ১০° (mod ৩৬০°)
• ঋণাত্মক কোণ: -৯০° = ২৭০°

কম্পাস বিয়ারিং: ০°=উত্তর, ৯০°=পূর্ব, ১৮০°=দক্ষিণ, ২৭০°=পশ্চিম। সামরিক বাহিনী নির্ভুলতার জন্য মিল ব্যবহার করে। কম্পাসে ৩২টি পয়েন্ট আছে (প্রতিটি ১১.২৫°)। GPS দশমিক ডিগ্রি ব্যবহার করে।

• বিয়ারিং: উত্তর থেকে ০-৩৬০°
• NATO মিল: প্রতি বৃত্তে ৬৪০০
• কম্পাস পয়েন্ট: ৩২ (প্রতিটি ১১.২৫°)
• GPS: দশমিক ডিগ্রি

তারার অবস্থান: আর্কসেকেন্ড নির্ভুলতা। প্যারালাক্স: মিলিআর্কসেকেন্ড। Hubble: ~৫০ mas রেজোলিউশন। Gaia স্যাটেলাইট: মাইক্রোআর্কসেকেন্ড নির্ভুলতা। ঘন্টা কোণ: ২৪ঘন্টা = ৩৬০°।

• আর্কসেকেন্ড: তারার অবস্থান
• মিলিআর্কসেকেন্ড: প্যারালাক্স, VLBI
• মাইক্রোআর্কসেকেন্ড: Gaia স্যাটেলাইট
• ঘন্টা কোণ: ১৫°/ঘন্টা

ঢাল: শতাংশ গ্রেড বা কোণ। ১০% গ্রেড ≈ ৫.৭°। রাস্তা ডিজাইনে শতাংশ ব্যবহার করা হয়। জরিপে ডিগ্রি/মিনিট/সেকেন্ড ব্যবহার করা হয়। মেট্রিক দেশগুলির জন্য গ্রেডিয়ান সিস্টেম।

• ঢাল: % বা ডিগ্রি
• ১০% ≈ ৫.৭° (arctan ০.১)
• জরিপ: DMS (ডিগ্রি-মিনিট-সেকেন্ড)
• গ্রেডিয়ান: মেট্রিক জরিপ

rad = deg × π/১৮০। deg = rad × ১৮০/π। দ্রুত: ১৮০° = π rad, তাই এই অনুপাত দ্বারা ভাগ/গুণ করুন।

• rad = deg × ০.০১৭৪৫
• deg = rad × ৫৭.২৯৫৮
• π rad = ১৮০° (সঠিক)
• ২π rad = ৩৬০° (সঠিক)

কোণ = arctan(ঢাল/১০০)। ১০% ঢাল = arctan(০.১) ≈ ৫.৭১°। বিপরীত: ঢাল = tan(কোণ) × ১০০।

• θ = arctan(গ্রেড/১০০)
• ১০% → arctan(০.১) = ৫.৭১°
• ৪৫° → tan(৪৫°) = ১০০%
• খাড়া: ১০০% = ৪৫°

১° = ৬০′ (আর্কমিনিট)। ১′ = ৬০″ (আর্কসেকেন্ড)। মোট: ১° = ৩৬০০″। নির্ভুলতার জন্য দ্রুত উপবিভাগ।

• ১° = ৬০ আর্কমিনিট
• ১′ = ৬০ আর্কসেকেন্ড
• ১° = ৩৬০০ আর্কসেকেন্ড
• DMS: ডিগ্রি-মিনিট-সেকেন্ড

একটি রাস্তার ৮% গ্রেড আছে। কোণটি কত?

θ = arctan(৮/১০০) = arctan(০.০৮) ≈ ৪.৫৭°। তুলনামূলকভাবে মৃদু ঢাল!

১৩৫° বিয়ারিংয়ে নেভিগেট করুন। কম্পাসের দিক কী?

০°=উত্তর, ৯০°=পূর্ব, ১৮০°=দক্ষিণ, ২৭০°=পশ্চিম। ১৩৫° পূর্ব (৯০°) এবং দক্ষিণ (১৮০°) এর মধ্যে। দিক: দক্ষিণ-পূর্ব (SE)।

একটি তারা ০.৫ আর্কসেকেন্ড সরে গেছে। এটি কত ডিগ্রি?

১″ = ১/৩৬০০°। তাই ০.৫″ = ০.৫/৩৬০০ = ০.০০০১৩৯°। ক্ষুদ্র নড়াচড়া!

ব্যাবিলনীয়রা ভিত্তি-৬০ (সেক্সাজেসিমাল) সিস্টেম ব্যবহার করত। ৩৬০ এর অনেক ভাজক আছে (২৪টি উৎপাদক!)। এটি বছরে প্রায় ৩৬০ দিনের সাথে মিলে যায়। জ্যোতির্বিদ্যা এবং সময় গণনার জন্য সুবিধাজনক। এটি ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২... দ্বারাও বিভাজ্য।

রেডিয়ান বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = ব্যাসার্ধ দ্বারা সংজ্ঞায়িত। এটি ক্যালকুলাসকে সুন্দর করে তোলে: d/dx(sin x) = cos x (শুধুমাত্র রেডিয়ানে!)। ডিগ্রিতে, d/dx(sin x) = (π/১৮০)cos x (জটিল)। প্রকৃতি 'রেডিয়ান' ব্যবহার করে!

মেট্রিক কোণ: ১০০ grad = সমকোণ। ফরাসি বিপ্লবের সময় মেট্রিক সিস্টেমের সাথে চেষ্টা করা হয়েছিল। কখনও জনপ্রিয় হয়নি—ডিগ্রি খুব বেশি প্রতিষ্ঠিত ছিল। এখনও কিছু জরিপে ব্যবহৃত হয় (সুইজারল্যান্ড, উত্তর ইউরোপ)। ক্যালকুলেটরে 'grad' মোড আছে!

১ মিলিআর্কসেকেন্ড ≈ ১০ কিমি দূর থেকে দেখা একটি মানুষের চুলের প্রস্থ! Hubble স্পেস টেলিস্কোপ ~৫০ mas পর্যন্ত সমাধান করতে পারে। জ্যোতির্বিদ্যার জন্য অবিশ্বাস্য নির্ভুলতা। নাক্ষত্রিক প্যারালাক্স, বাইনারি তারা পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়।

সামরিক মিল: ১ মিল ≈ ১ কিমি দূরত্বে ১ মিটার প্রস্থ (NATO: ১.০২ মিটার, যথেষ্ট কাছাকাছি)। পরিসীমা অনুমানের জন্য সহজ মানসিক গণিত। বিভিন্ন দেশ বিভিন্ন মিল ব্যবহার করে (প্রতি বৃত্তে ৬০০০, ৬৩০০, ৬৪০০)। ব্যবহারিক ব্যালিস্টিকস একক!

৯০ = ৩৬০/৪ (এক চতুর্থাংশ ঘূর্ণন)। কিন্তু 'রাইট' (right) শব্দটি ল্যাটিন 'রেক্টাস' (rectus) থেকে এসেছে যার অর্থ খাড়া, সোজা। সমকোণ লম্ব রেখা তৈরি করে। নির্মাণের জন্য অপরিহার্য—ভবনগুলিকে দাঁড়ানোর জন্য সমকোণ প্রয়োজন!

ব্যাবিলনীয়রা জ্যোতির্বিদ্যা এবং সময় গণনার জন্য একটি সেক্সাজেসিমাল (ভিত্তি-৬০) সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করত। তারা বৃত্তকে ৩৬০টি ভাগে ভাগ করেছিল কারণ ৩৬০ ≈ একটি বছরে দিনের সংখ্যা (আসলে ৩৬৫.২৫), এবং ৩৬০ এর ২৪টি ভাজক রয়েছে—ভগ্নাংশের জন্য অবিশ্বাস্যভাবে সুবিধাজনক।

এই ভিত্তি-৬০ সিস্টেমটি আজও টিকে আছে: প্রতি মিনিটে ৬০ সেকেন্ড, প্রতি ঘন্টা এবং প্রতি ডিগ্রিতে ৬০ মিনিট। ৩৬০ সংখ্যাটিকে ২³ × ৩² × ৫ হিসাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়, যা ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২, ১৫, ১৮, ২০, ২৪, ৩০, ৩৬, ৪০, ৪৫, ৬০, ৭২, ৯০, ১২০, ১৮০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য—একটি ক্যালকুলেটরের স্বপ্ন!

• ২০০০ খ্রিস্টপূর্ব: ব্যাবিলনীয় জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা ডিগ্রিতে মহাকাশীয় অবস্থান ট্র্যাক করে
• ৩৬০° বিভাজ্যতা এবং ~বছরের আনুমানিকতার জন্য বেছে নেওয়া হয়েছিল
• ভিত্তি-৬০ আমাদের ঘন্টা (২৪ = ৩৬০/১৫) এবং মিনিট/সেকেন্ড দেয়
• গ্রিক জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা ব্যাবিলনীয় সারণী থেকে ৩৬০° গ্রহণ করে

ইউক্লিডের 'এলিমেন্টস' (৩০০ খ্রিস্টপূর্ব) কোণ জ্যামিতিকে আনুষ্ঠানিক রূপ দিয়েছে—সমকোণ (৯০°), পূরক কোণ (যোগফল ৯০°), সম্পূরক কোণ (যোগফল ১৮০°)। হিপারকাসের মতো গ্রিক গণিতবিদরা জ্যোতির্বিদ্যা এবং জরিপের জন্য ডিগ্রি-ভিত্তিক সারণী ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতি তৈরি করেছিলেন।

মধ্যযুগীয় নাবিকরা ৩২টি পয়েন্ট (প্রতিটি ১১.২৫°) সহ অ্যাস্ট্রোলেব এবং কম্পাস ব্যবহার করত। নাবিকদের সুনির্দিষ্ট বিয়ারিং প্রয়োজন ছিল; তারকা ক্যাটালগ এবং নটিক্যাল চার্টের জন্য আর্কমিনিট (১/৬০°) এবং আর্কসেকেন্ড (১/৩৬০০°) আবির্ভূত হয়েছিল।

• ৩০০ খ্রিস্টপূর্ব: ইউক্লিডের 'এলিমেন্টস' জ্যামিতিক কোণকে সংজ্ঞায়িত করে
• ১৫০ খ্রিস্টপূর্ব: হিপারকাস প্রথম ত্রিকোণমিতিক সারণী তৈরি করেন (ডিগ্রি)
• ১২০০-এর দশকে: অ্যাস্ট্রোলেব মহাকাশীয় নেভিগেশনের জন্য ডিগ্রি চিহ্ন ব্যবহার করে
• ১৫৬৯: মারকেটর মানচিত্র প্রক্ষেপণের জন্য কোণ-সংরক্ষণকারী গণিত প্রয়োজন

নিউটন এবং লাইবনিজ যখন ক্যালকুলাস তৈরি করেন (১৬৭০-এর দশকে), ডিগ্রিগুলি সমস্যাযুক্ত হয়ে ওঠে: ডিগ্রিতে d/dx(sin x) = (π/১৮০)cos x—একটি কুৎসিত ধ্রুবক! রজার কোটস (১৬৮২-১৭১৬) এবং লিওনহার্ড অয়লার রেডিয়ানকে আনুষ্ঠানিক রূপ দেন: কোণ = বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য / ব্যাসার্ধ। এখন d/dx(sin x) = cos x সুন্দরভাবে।

জেমস থমসন ১৮৭৩ সালে 'রেডিয়ান' শব্দটি তৈরি করেন (ল্যাটিন 'radius' থেকে)। রেডিয়ান গাণিতিক বিশ্লেষণ, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের জন্য একক হয়ে ওঠে। তবুও দৈনন্দিন জীবনে ডিগ্রি টিকে ছিল কারণ মানুষ π এর চেয়ে পূর্ণ সংখ্যা পছন্দ করে।

• ১৬৭০-এর দশকে: ক্যালকুলাস প্রকাশ করে যে ডিগ্রিগুলি জগাখিচুড়ি সূত্র তৈরি করে
• ১৭১৪: রজার কোটস 'বৃত্তাকার পরিমাপ' (প্রাক-রেডিয়ান) তৈরি করেন
• ১৭৪৮: অয়লার বিশ্লেষণে রেডিয়ান ব্যাপকভাবে ব্যবহার করেন
• ১৮৭৩: থমসন এর নাম দেন 'রেডিয়ান'; এটি গণিতের মান হয়ে ওঠে

প্রথম বিশ্বযুদ্ধের আর্টিলারির জন্য ব্যবহারিক কোণ এককের প্রয়োজন ছিল: মিলের জন্ম হয়েছিল—১ মিল ≈ ১ কিমি দূরত্বে ১ মিটার বিচ্যুতি। NATO ৬৪০০ মিল/বৃত্তকে মানক করেছে (২ এর একটি সুন্দর ঘাত), যখন USSR ৬০০০ ব্যবহার করত (দশমিক সুবিধা)। প্রকৃত মিলিরাডিয়ান = ৬২৮৩/বৃত্ত।

মহাকাশ-যুগের জ্যোতির্বিদ্যা মিলিআর্কসেকেন্ড নির্ভুলতা (Hipparcos, ১৯৮৯), তারপর মাইক্রোআর্কসেকেন্ড (Gaia, ২০১৩) অর্জন করেছে। Gaia ২০ মাইক্রোআর্কসেকেন্ড পর্যন্ত নাক্ষত্রিক প্যারালাক্স পরিমাপ করে—যা ১,০০০ কিমি দূর থেকে একটি মানুষের চুল দেখার সমতুল্য! আধুনিক পদার্থবিজ্ঞান সর্বজনীনভাবে রেডিয়ান ব্যবহার করে; শুধুমাত্র নেভিগেশন এবং নির্মাণ এখনও ডিগ্রিকে পছন্দ করে।

• ১৯১৬: সামরিক আর্টিলারি পরিসীমা গণনার জন্য মিল গ্রহণ করে
• ১৯৬০: SI রেডিয়ানকে একটি সুসংগত উদ্ভূত একক হিসাবে স্বীকৃতি দেয়
• ১৯৮৯: Hipparcos স্যাটেলাইট: ~১ মিলিআর্কসেকেন্ড নির্ভুলতা
• ২০১৩: Gaia স্যাটেলাইট: ২০ মাইক্রোআর্কসেকেন্ড নির্ভুলতা—১ বিলিয়ন তারার মানচিত্র তৈরি করে

ডিগ্রি ব্যবহার করুন: দৈনন্দিন কোণ, নেভিগেশন, জরিপ, নির্মাণের জন্য। রেডিয়ান ব্যবহার করুন: ক্যালকুলাস, পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণ, প্রোগ্রামিং (ত্রিকোণমিতিক ফাংশন)। রেডিয়ান 'স্বাভাবিক' কারণ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = ব্যাসার্ধ × কোণ। d/dx(sin x) = cos x এর মতো ডেরিভেটিভ শুধুমাত্র রেডিয়ানে কাজ করে!

বৃত্তের পরিধি = ২πr। অর্ধ বৃত্ত (সরলরেখা) = πr। রেডিয়ান সংজ্ঞায়িত হয় বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য/ব্যাসার্ধ হিসাবে। অর্ধ বৃত্তের জন্য: চাপ = πr, ব্যাসার্ধ = r, তাই কোণ = πr/r = π রেডিয়ান। অতএব, সংজ্ঞা অনুসারে π rad = ১৮০°।

arctan ব্যবহার করুন: কোণ = arctan(গ্রেড/১০০)। উদাহরণ: ১০% গ্রেড = arctan(০.১) ≈ ৫.৭১°। শুধু গুণ করলেই হবে না! ১০% ≠ ১০°। বিপরীত: গ্রেড = tan(কোণ) × ১০০। ৪৫° = tan(৪৫°) × ১০০ = ১০০% গ্রেড।

আর্কমিনিট (′) = ১/৬০ ডিগ্রি (কোণ)। সময়ের মিনিট = ১/৬০ ঘন্টা (সময়)। সম্পূর্ণ ভিন্ন! জ্যোতির্বিদ্যায়, 'সময়ের মিনিট' কোণে রূপান্তরিত হয়: ১ মিনিট = ১৫ আর্কমিনিট (কারণ ২৪ঘন্টা = ৩৬০°, তাই ১ মিনিট = ৩৬০°/১৪৪০ = ০.২৫° = ১৫′)।

মিল এমনভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যাতে ১ মিল ≈ ১ কিমি দূরত্বে ১ মিটার (ব্যবহারিক ব্যালিস্টিকস)। প্রকৃত গাণিতিক মিলিরাডিয়ান = ১/১০০০ rad ≈ ৬২৮৩ প্রতি বৃত্তে। NATO এটিকে ৬৪০০ এ সরল করেছে (২ এর ঘাত, সহজে বিভাজ্য)। USSR ৬০০০ ব্যবহার করত (১০ দ্বারা বিভাজ্য)। সুইডেন ৬৩০০ (আপোস)। সবগুলোই ২π×১০০০ এর কাছাকাছি।

হ্যাঁ! ধনাত্মক = ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (গাণিতিক প্রথা)। ঋণাত্মক = ঘড়ির কাঁটার দিকে। -৯০° = ২৭০° (একই অবস্থান, ভিন্ন দিক)। নেভিগেশনে, ০-৩৬০° পরিসীমা ব্যবহার করুন। গণিত/পদার্থবিজ্ঞানে, ঋণাত্মক কোণ সাধারণ। উদাহরণ: -π/২ = -৯০° = ২৭০°।