አንግል በሁለት መስመሮች መካከል ያለውን ዙረት ወይም መታጠፍ ይለካል። በርን እንደ መክፈት ወይም ጎማን እንደ ማሽከርከር ያስቡ። በዲግሪ (°)፣ በራዲያን (rad)፣ ወይም በግራዲያን ይለካል። 360° = ሙሉ ክብ = አንድ የተሟላ ዙረት።

• አንግል = የዙረት መጠን
• ሙሉ ክብ = 360° = 2π rad
• ቀጥተኛ አንግል = 90° = π/2 rad
• ቀጥተኛ መስመር = 180° = π rad

ዲግሪ፡ ክብ በ360 ክፍሎች የተከፈለ (ታሪካዊ)። ራዲያን፡ በክብ ራዲየስ ላይ የተመሰረተ። 2π ራዲያን = 360°። ራዲያን ለሂሳብ/ፊዚክስ 'ተፈጥሯዊ' ነው። π rad = 180°፣ ስለዚህ 1 rad ≈ 57.3°።

• 360° = 2π rad (ሙሉ ክብ)
• 180° = π rad (ግማሽ ክብ)
• 90° = π/2 rad (ቀጥተኛ አንግል)
• 1 rad ≈ 57.2958° (ልወጣ)

ግራዲያን፡ 100 grad = 90° (የሜትሪክ አንግል)። አርክደቂቃ/አርክሰከንድ፡ የዲግሪ ንዑስ ክፍሎች (ሥነ ፈለክ)። ሚሊ፡ ወታደራዊ አሰሳ (6400 ሚሊ = ክብ)። እያንዳንዱ መለኪያ ለተወሰነ መተግበሪያ ነው።

• ግራዲያን፡ 400 grad = ክብ
• አርክደቂቃ፡ 1′ = 1/60°
• አርክሰከንድ፡ 1″ = 1/3600°
• ሚሊ (NATO)፡ 6400 ሚሊ = ክብ

በአንድ ክብ 360° (የባቢሎናውያን መነሻ - ~360 ቀናት/ዓመት)። ንዑስ ክፍፍል፡ 1° = 60′ (አርክደቂቃዎች) = 3600″ (አርክሰከንዶች)። ለአሰሳ、 ለቅየሳ、 እና ለዕለት ተዕለት አጠቃቀም ዓለም አቀፋዊ ነው።

• 360° = ሙሉ ክብ
• 1° = 60 አርክደቂቃዎች (′)
• 1′ = 60 አርክሰከንዶች (″)
• ለሰዎች ቀላል、 ታሪካዊ

ራዲያን፡ የአርክ ርዝመት = ራዲየስ። 2π rad = የክብ ዙሪያ/ራዲየስ። ለካልኩለስ (sin, cos ውጤቶች) ተፈጥሯዊ ነው። የፊዚክስ、 የምህንድስና መስፈርት። π rad = 180°።

• 2π rad = 360° (ትክክለኛ)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• ለሂሳብ/ፊዚክስ ተፈጥሯዊ

ግራዲያን፡ 400 grad = ክብ (የሜትሪክ አንግል)። 100 grad = ቀጥተኛ አንግል። ሚሊ፡ ወታደራዊ አሰሳ - NATO 6400 ሚሊ ይጠቀማል። USSR 6000 ይጠቀም ነበር። የተለያዩ መስፈርቶች አሉ።

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (ቀጥተኛ አንግል)
• ሚሊ (NATO)፡ በአንድ ክብ 6400
• ሚሊ (USSR)፡ በአንድ ክብ 6000

rad = deg × π/180። deg = rad × 180/π። grad = deg × 10/9። በካልኩለስ ውስጥ ሁልጊዜ ራዲያንን ይጠቀሙ! የትሪግ ተግባራት ለውጤት ራዲያንን ይፈልጋሉ።

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• ካልኩለስ ራዲያንን ይጠይቃል

sin, cos, tan አንግሎችን ከሬሾዎች ጋር ያዛምዳሉ። ዩኒት ክብ፡ ራዲየስ=1, አንግል=θ። የነጥብ መጋጠሚያዎች፡ (cos θ, sin θ)። ለፊዚክስ、 ምህንድስና、 ግራፊክስ አስፈላጊ ነው።

• sin θ = ተቃራኒ/ሃይፖቴነስ
• cos θ = ጎን/ሃይፖቴነስ
• tan θ = ተቃራኒ/ጎን
• ዩኒት ክብ፡ (cos θ, sin θ)

አንግሎች በመደበኛነት ይደመራሉ/ይቀነሳሉ። 45° + 45° = 90°። ሙሉ ዙረት፡ 360° (ወይም 2π) ይጨምሩ/ይቀንሱ። ለመጠቅለል ሞዱሎ አርቲሜቲክ፡ 370° = 10°።

• θ₁ + θ₂ (መደበኛ መደመር)
• መጠቅለል፡ θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• አሉታዊ አንግሎች፡ -90° = 270°

የኮምፓስ አቅጣጫዎች፡ 0°=ሰሜን, 90°=ምስራቅ, 180°=ደቡብ, 270°=ምዕራብ። ወታደራዊው ለትክክለኛነት ሚሊ ይጠቀማል። ኮምፓስ 32 ነጥቦች (እያንዳንዳቸው 11.25°) አሉት። GPS የአስርዮሽ ዲግሪ ይጠቀማል።

• አቅጣጫዎች፡ 0-360° ከሰሜን
• NATO ሚሊ፡ በአንድ ክብ 6400
• የኮምፓስ ነጥቦች፡ 32 (እያንዳንዳቸው 11.25°)
• GPS፡ የአስርዮሽ ዲግሪ

የከዋክብት አቀማመጥ፡ የአርክሰከንድ ትክክለኛነት። ፓራላክስ፡ ሚሊአርክሰከንድ። Hubble፡ ~50 mas ጥራት። Gaia ሳተላይት፡ የማይክሮአርክሰከንድ ትክክለኛነት። የሰዓት አንግል፡ 24h = 360°።

• አርክሰከንድ፡ የከዋክብት አቀማመጥ
• ሚሊአርክሰከንድ፡ ፓራላክስ、 VLBI
• ማይክሮአርክሰከንድ፡ Gaia ሳተላይት
• የሰዓት አንግል፡ 15°/ሰዓት

ቁልቁለት፡ በመቶኛ ደረጃ ወይም አንግል። 10% ደረጃ ≈ 5.7°። የመንገድ ዲዛይን መቶኛ ይጠቀማል። ቅየሳ ዲግሪ/ደቂቃ/ሰከንድ ይጠቀማል። ግራዲያን ስርዓት ለሜትሪክ ሀገሮች።

• ቁልቁለት፡ % ወይም ዲግሪ
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• ቅየሳ፡ DMS (deg-min-sec)
• ግራዲያን፡ የሜትሪክ ቅየሳ

rad = deg × π/180። deg = rad × 180/π። ፈጣን፡ 180° = π rad፣ ስለዚህ በዚህ ሬሾ ይከፋፍሉ/ያባዙ።

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (ትክክለኛ)
• 2π rad = 360° (ትክክለኛ)

አንግል = arctan(ቁልቁለት/100)። 10% ቁልቁለት = arctan(0.1) ≈ 5.71°። በተቃራኒው፡ ቁልቁለት = tan(አንግል) × 100።

• θ = arctan(ደረጃ/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• ገደላማ፡ 100% = 45°

1° = 60′ (አርክደቂቃ)። 1′ = 60″ (አርክሰከንድ)። ድምር፡ 1° = 3600″። ለትክክለኛነት ፈጣን ንዑስ ክፍፍል።

• 1° = 60 አርክደቂቃዎች
• 1′ = 60 አርክሰከንዶች
• 1° = 3600 አርክሰከንዶች
• DMS: ዲግሪ-ደቂቃ-ሰከንድ

መንገድ 8% ደረጃ አለው። አንግሉ ስንት ነው?

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°። በአንፃራዊነት ለስላሳ ቁልቁለት!

በ135° አቅጣጫ ይጓዙ። የኮምፓስ አቅጣጫው ምንድን ነው?

0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=W. 135° በ E (90°) እና S (180°) መካከል ነው። አቅጣጫ፡ ደቡብ ምስራቅ (SE)።

ኮከብ 0.5 አርክሰከንድ ተንቀሳቅሷል። ስንት ዲግሪ ነው?

1″ = 1/3600°። ስለዚህ 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°። በጣም ትንሽ እንቅስቃሴ!

ባቢሎናውያን ቤዝ-60 (ሴክሳጌሲማል) ስርዓት ይጠቀሙ ነበር። 360 ብዙ አካፋዮች (24 ፋክተሮች!) አሉት። በዓመት ውስጥ ካሉት 360 ቀናት ጋር በግምት ይዛመዳል። ለሥነ ፈለክ እና ለጊዜ አጠባበቅ ምቹ ነው። እንዲሁም በ2、 3、 4、 5、 6、 8、 9、 10、 12... በቀላሉ ይከፈላል።

ራዲያን የተገለጸው በአርክ ርዝመት = ራዲየስ ነው። ካልኩለስን ውብ ያደርገዋል፡ d/dx(sin x) = cos x (በራዲያን ብቻ!)። በዲግሪ፡ d/dx(sin x) = (π/180)cos x (የተወሳሰበ)። ተፈጥሮ 'ራዲያንን' ትጠቀማለች!

የሜትሪክ አንግል፡ 100 grad = ቀጥተኛ አንግል። በፈረንሳይ አብዮት ጊዜ ከሜትሪክ ስርዓት ጋር ተሞክሮ ነበር። ተወዳጅነት አላገኘም—ዲግሪ በጣም ስር ሰዶ ነበር። አሁንም በአንዳንድ የቅየሳ ስራዎች (ስዊዘርላንድ、 ሰሜን አውሮፓ) ጥቅም ላይ ይውላል። ካልኩሌተሮች 'grad' ሞድ አላቸው!

1 ሚሊአርክሰከንድ ≈ ከ10 ኪሜ ርቀት ላይ የሚታይ የሰው ፀጉር ስፋት! Hubble Space Telescope ~50 mas መፍታት ይችላል። ለሥነ ፈለክ አስደናቂ ትክክለኛነት። የከዋክብትን ፓራላክስ、 ሁለትዮሽ ከዋክብትን ለመለካት ያገለግላል።

ወታደራዊ ሚሊ፡ 1 ሚሊ ≈ በ1 ኪሜ ርቀት 1 ሜትር ስፋት (NATO፡ 1.02 ሜትር、 በቂ ቅርብ)። ለርቀት ግምት ቀላል የአእምሮ ሂሳብ። የተለያዩ ሀገሮች የተለያዩ ሚሊ ይጠቀማሉ (6000、 6300、 6400 በአንድ ክብ)። ተግባራዊ የባለስቲክስ መለኪያ!

90 = 360/4 (ሩብ ዙር)። ግን 'ቀጥተኛ' የሚለው ቃል ከላቲን 'rectus' = ቀጥ ያለ、 ቀጥተኛ የመጣ ነው። ቀጥተኛ አንግል ቀጥተኛ መስመሮችን ይፈጥራል። ለግንባታ አስፈላጊ ነው—ህንፃዎች ለመቆም ቀጥተኛ አንግሎች ያስፈልጋቸዋል!

ባቢሎናውያን ለሥነ ፈለክ እና ለጊዜ አጠባበቅ ሴክሳጌሲማል (ቤዝ-60) የቁጥር ስርዓት ይጠቀሙ ነበር። ክበቡን በ 360 ክፍሎች ከፍለውታል ምክንያቱም 360 ≈ በዓመት ውስጥ ያሉ ቀናት (በእውነቱ 365.25)、 እና 360 24 አካፋዮች አሉት—ለክፍልፋዮች በሚያስደንቅ ሁኔታ ምቹ ነው።

ይህ ቤዝ-60 ስርዓት ዛሬም አለ፡ 60 ሰከንድ በደቂቃ、 60 ደቂቃ በሰዓት እና በዲግሪ። ቁጥር 360 እንደ 2³ × 3² × 5 ይገለጻል、 በ2、 3、 4、 5、 6、 8、 9、 10、 12、 15、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 45、 60、 72、 90、 120、 180 በቀላሉ ይከፈላል—የካልኩሌተር ህልም!

• 2000 ከክርስቶስ ልደት በፊት፡ የባቢሎናውያን የሥነ ፈለክ ተመራማሪዎች የሰማይ አካላትን አቀማመጥ በዲግሪ ይከታተላሉ
• 360° ለክፍፍል እና ለ~ዓመት ግምት ተመርጧል
• ቤዝ-60 ሰዓቶችን (24 = 360/15) እና ደቂቃዎችን/ሰከንዶችን ይሰጠናል
• የግሪክ የሥነ ፈለክ ተመራማሪዎች 360°ን ከባቢሎናውያን ሰንጠረዦች ወስደዋል

የዩክሊድ 'ኤለመንትስ' (300 ከክርስቶስ ልደት በፊት) የአንግል ጂኦሜትሪን መደበኛ አድርጓል—ቀጥተኛ አንግሎች (90°)、 ማሟያዎች (ድምር 90°)、 ተቀጥላዎች (ድምር 180°)። እንደ ሂፓርከስ ያሉ የግሪክ ሂሳብ ሊቃውንት ለሥነ ፈለክ እና ለቅየሳ በዲግሪ ላይ የተመሰረቱ ሰንጠረዦችን በመጠቀም ትሪግኖሜትሪን ፈጥረዋል።

የመካከለኛው ዘመን መርከበኞች አስትሮላብን እና ኮምፓስን ከ32 ነጥቦች ጋር (እያንዳንዳቸው 11.25°) ይጠቀሙ ነበር። መርከበኞች ትክክለኛ አቅጣጫዎች ያስፈልጓቸው ነበር፤ አርክደቂቃዎች (1/60°) እና አርክሰከንዶች (1/3600°) ለከዋክብት ካታሎጎች እና ለባህር ላይ ካርታዎች ብቅ አሉ።

• 300 ከክርስቶስ ልደት በፊት፡ የዩክሊድ 'ኤለመንትስ' የጂኦሜትሪክ አንግሎችን ይገልጻል
• 150 ከክርስቶስ ልደት በፊት፡ ሂፓርከስ የመጀመሪያውን የትሪግ ሰንጠረዦችን (ዲግሪ) ፈጠረ
• 1200ዎቹ፡ አስትሮላብ ለሰማይ አሰሳ የዲግሪ ምልክቶችን ይጠቀማል
• 1569፡ የመርኬተር ካርታ ፕሮጀክሽን አንግል-ጠባቂ ሂሳብ ይጠይቃል

ኒውተን እና ላይብኒዝ ካልኩለስን ሲያዳብሩ (1670ዎቹ) ዲግሪዎች ችግር ሆኑ፡ d/dx(sin x) = (π/180)cos x በዲግሪ—አስቀያሚ ቋሚ! ሮጀር ኮትስ (1682-1716) እና ሊዮንሃርድ ኡለር ራዲያንን መደበኛ አደረጉ፡ አንግል = የአርክ ርዝመት / ራዲየስ። አሁን d/dx(sin x) = cos x በሚያምር ሁኔታ።

ጄምስ ቶምሰን 'ራዲያን' የሚለውን ቃል በ1873 ፈጠረ (ከላቲን 'radius')። ራዲያን ለሂሳብ ትንተና、 ፊዚክስ እና ምህንድስና ዋና መለኪያ ሆነ። ሆኖም ሰዎች ከπ ይልቅ ሙሉ ቁጥሮችን ስለሚመርጡ ዲግሪ በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ ቀጥሏል።

• 1670ዎቹ፡ ካልኩለስ ዲግሪዎች የተወሳሰቡ ቀመሮችን እንደሚፈጥሩ ያሳያል
• 1714፡ ሮጀር ኮትስ 'ክብ መለኪያ' (ቅድመ-ራዲያን) አዳበረ
• 1748፡ ኡለር በትንተና ውስጥ ራዲያንን በስፋት ተጠቅሟል
• 1873፡ ቶምሰን 'ራዲያን' ብሎ ሰየመው፤ የሂሳብ መስፈርት ሆነ

የአንደኛው የዓለም ጦርነት መድፍ ተግባራዊ የአንግል መለኪያዎችን ጠየቀ፡ ሚሊ ተወለደ—1 ሚሊ ≈ 1 ሜትር ልዩነት በ1 ኪሜ ርቀት። NATO 6400 ሚሊ/ክብ ደረጃውን አወጣ (የ2 ጥሩ ሃይል)、 USSR ደግሞ 6000 ተጠቅሟል (የአስርዮሽ ምቾት)። እውነተኛ ሚሊራዲያን = 6283/ክብ።

የጠፈር-ዘመን ሥነ ፈለክ የሚሊአርክሰከንድ ትክክለኛነትን (Hipparcos, 1989) አሳክቷል、 ከዚያም ማይክሮአርክሰከንድ (Gaia, 2013)። Gaia የከዋክብትን ፓራላክስ እስከ 20 ማይክሮአርክሰከንድ ይለካል—የሰው ፀጉርን ከ1,000 ኪሜ ርቀት ላይ ከማየት ጋር እኩል ነው! ዘመናዊ ፊዚክስ ራዲያንን በአለም አቀፍ ደረጃ ይጠቀማል፤ አሰሳ እና ግንባታ ብቻ አሁንም ዲግሪን ይመርጣሉ።

• 1916፡ ወታደራዊ መድፍ ለርቀት ስሌቶች ሚሊን ተቀበለ
• 1960፡ SI ራዲያንን እንደ ወጥ የተገኘ መለኪያ እውቅና ሰጠ
• 1989፡ Hipparcos ሳተላይት፡ ~1 ሚሊአርክሰከንድ ትክክለኛነት
• 2013፡ Gaia ሳተላይት፡ 20 ማይክሮአርክሰከንድ ትክክለኛነት—1 ቢሊዮን ከዋክብትን ካርታ ያደርጋል

ዲግሪን ይጠቀሙ ለ፡ ዕለታዊ አንግሎች、 አሰሳ、 ቅየሳ、 ግንባታ። ራዲያንን ይጠቀሙ ለ፡ ካልኩለስ、 የፊዚክስ ቀመሮች、 ፕሮግራሚንግ (የትሪግ ተግባራት)። ራዲያን 'ተፈጥሯዊ' ነው ምክንያቱም የአርክ ርዝመት = ራዲየስ × አንግል። d/dx(sin x) = cos x ያሉ ውጤቶች የሚሰሩት በራዲያን ብቻ ነው!

የክብ ዙሪያ = 2πr። ግማሽ ክብ (ቀጥ ያለ መስመር) = πr። ራዲያን የተገለጸው በአርክ ርዝመት/ራዲየስ ነው። ለግማሽ ክብ፡ አርክ = πr, ራዲየስ = r, ስለዚህ አንግል = πr/r = π ራዲያን። ስለዚህ π rad = 180° በትርጉም ነው።

arctan ይጠቀሙ፡ አንግል = arctan(ደረጃ/100)። ምሳሌ፡ 10% ደረጃ = arctan(0.1) ≈ 5.71°። እንዲሁ ማባዛት ብቻ አይደለም! 10% ≠ 10°። በተቃራኒው፡ ደረጃ = tan(አንግል) × 100። 45° = tan(45°) × 100 = 100% ደረጃ።

አርክደቂቃ (′) = 1/60 የዲግሪ (አንግል)። የጊዜ ደቂቃ = 1/60 የሰዓት (ጊዜ)። ሙሉ በሙሉ የተለያዩ! በሥነ ፈለክ 'የጊዜ ደቂቃ' ወደ አንግል ይለወጣል፡ 1 min = 15 አርክደቂቃዎች (ምክንያቱም 24h = 360°、 ስለዚህ 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′)።

ሚሊ የተነደፈው 1 ሚሊ ≈ 1 ሜትር በ1 ኪሜ (ተግባራዊ ባለስቲክስ) እንዲሆን ነው። እውነተኛ የሂሳብ ሚሊራዲያን = 1/1000 rad ≈ 6283 በአንድ ክብ። NATO ወደ 6400 (የ2 ሃይል、 በቀላሉ ይከፈላል) ቀለል አድርጎታል። USSR 6000 (በ10 ይከፈላል) ተጠቅሟል። ስዊድን 6300 (ስምምነት)። ሁሉም ከ2π×1000 ቅርብ ናቸው።

አዎ! አዎንታዊ = በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ (የሂሳብ ስምምነት)። አሉታዊ = በሰዓት አቅጣጫ። -90° = 270° (ተመሳሳይ አቀማመጥ、 የተለየ አቅጣጫ)። በአሰሳ ከ0-360° ክልል ይጠቀሙ። በሂሳብ/ፊዚክስ አሉታዊ አንግሎች የተለመዱ ናቸው። ምሳሌ፡ -π/2 = -90° = 270°።