角度测量两条线之间的旋转或转动。想象一下开门或转动轮子。以度 (°)、弧度 (rad) 或梯度为单位测量。360° = 完整圆周 = 一次完整旋转。

• 角度 = 旋转量
• 完整圆周 = 360° = 2π rad
• 直角 = 90° = π/2 rad
• 直线 = 180° = π rad

度：将圆周分为 360 份（历史原因）。弧度：基于圆的半径。2π 弧度 = 360°。弧度在数学/物理学中是“自然”的。π rad = 180°，所以 1 rad ≈ 57.3°。

• 360° = 2π rad (完整圆周)
• 180° = π rad (半圆)
• 90° = π/2 rad (直角)
• 1 rad ≈ 57.2958° (转换)

梯度：100 grad = 90° (公制角度)。角分/角秒：度的细分单位（天文学）。密位：军事导航（6400 密位 = 圆周）。每种单位都有特定应用。

• 梯度：400 grad = 圆周
• 角分：1′ = 1/60°
• 角秒：1″ = 1/3600°
• 密位 (NATO)：6400 mil = 圆周

每圈 360°（源于巴比伦 - 约 360 天/年）。细分：1° = 60′ (角分) = 3600″ (角秒)。普遍用于导航、测量和日常使用。

• 360° = 完整圆周
• 1° = 60 角分 (′)
• 1′ = 60 角秒 (″)
• 对人类友好，具历史性

弧度：弧长 = 半径。2π rad = 圆周长/半径。是微积分（sin, cos 导数）的自然单位。物理学、工程学标准。π rad = 180°。

• 2π rad = 360° (精确值)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57.2958°
• 数学/物理学的自然单位

梯度：400 grad = 圆周（公制角度）。100 grad = 直角。密位：军事导航 - 北约使用 6400 密位。苏联使用 6000。存在不同标准。

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (直角)
• 密位 (NATO)：每圈 6400
• 密位 (USSR)：每圈 6000

rad = deg × π/180。deg = rad × 180/π。grad = deg × 10/9。在微积分中务必使用弧度！三角函数的导数需要弧度。

• rad = deg × (π/180)
• deg = rad × (180/π)
• grad = deg × (10/9)
• 微积分需要弧度

sin, cos, tan 将角度与比率联系起来。单位圆：半径=1，角度=θ。点坐标：(cos θ, sin θ)。对物理学、工程学、图形学至关重要。

• sin θ = 对边/斜边
• cos θ = 邻边/斜边
• tan θ = 对边/邻边
• 单位圆：(cos θ, sin θ)

角度正常加减。45° + 45° = 90°。完整旋转：加/减 360° (或 2π)。使用模运算进行循环计算：370° = 10°。

• θ₁ + θ₂ (正常加法)
• 循环：θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• 负角度：-90° = 270°

罗盘方位：0°=北，90°=东，180°=南，270°=西。军事上使用密位以求精确。罗盘有 32 个方位点（每个 11.25°）。GPS 使用十进制度数。

• 方位：从北方起 0-360°
• 北约密位：每圈 6400
• 罗盘方位点：32 个 (每个 11.25°)
• GPS：十进制度数

恒星位置：角秒级精度。视差：毫角秒。哈勃望远镜：约 50 mas 解析度。盖亚卫星：微角秒级精度。时角：24h = 360°。

• 角秒：恒星位置
• 毫角秒：视差、VLBI
• 微角秒：盖亚卫星
• 时角：15°/小时

坡度：百分比等级或角度。10% 等级 ≈ 5.7°。道路设计使用百分比。测量使用度/分/秒。公制国家使用梯度系统。

• 坡度：% 或度
• 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
• 测量：DMS (度-分-秒)
• 梯度：公制测量

rad = deg × π/180。deg = rad × 180/π。快速法：180° = π rad，所以用此比例进行乘除。

• rad = deg × 0.01745
• deg = rad × 57.2958
• π rad = 180° (精确值)
• 2π rad = 360° (精确值)

角度 = arctan(坡度/100)。10% 坡度 = arctan(0.1) ≈ 5.71°。反向：坡度 = tan(角度) × 100。

• θ = arctan(坡度等级/100)
• 10% → arctan(0.1) = 5.71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• 陡峭：100% = 45°

1° = 60′ (角分)。1′ = 60″ (角秒)。总计：1° = 3600″。用于精确计算的快速细分。

• 1° = 60 角分
• 1′ = 60 角秒
• 1° = 3600 角秒
• DMS：度-分-秒

道路坡度为 8%。角度是多少？

θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°。相对平缓的坡度！

以 135° 方位航行。这是哪个罗盘方向？

0°=北，90°=东，180°=南，270°=西。135° 介于东 (90°) 和南 (180°) 之间。方向：东南 (SE)。

一颗恒星移动了 0.5 角秒。这等于多少度？

1″ = 1/3600°。所以 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°。极微小的移动！

巴比伦人使用 60 进制（六十进制）系统。360 有很多因数（24 个！）。约等于一年 360 天。便于天文学和计时。它也能被 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... 整除。

弧度由弧长 = 半径定义。这使得微积分变得优美：d/dx(sin x) = cos x（仅在弧度中成立！）。在度数中，d/dx(sin x) = (π/180)cos x（很乱）。大自然“使用”弧度！

公制角度：100 grad = 直角。在法国大革命期间随公制系统一起尝试推行。从未流行——度数太根深蒂固。在某些测量领域仍在使用（瑞士、北欧）。计算器上有 'grad' 模式！

1 毫角秒 ≈ 从 10 公里外看一根人类头发的宽度！哈勃太空望远镜可以分辨约 50 mas。天文学的惊人精度。用于测量恒星视差、双星。

军用密位：1 密位 ≈ 1 公里距离处的 1 米宽度（北约：1.02 米，足够接近）。便于心算估计距离。不同国家使用不同的密位（每圈 6000、6300、6400）。实用的弹道学单位！

90 = 360/4（四分之一转）。但“直”来自拉丁语 'rectus' = 挺直、笔直。直角构成垂直线。对建筑至关重要——建筑物需要直角才能站立！

巴比伦人使用六十进制（以 60 为基数）数字系统进行天文学和计时。他们将圆周分为 360 份，因为 360 ≈ 一年的天数（实际上是 365.25 天），而且 360 有 24 个因数——对于分数计算非常方便。

这个以 60 为基数的系统至今仍然存在：每分钟 60 秒，每小时和每度 60 分。数字 360 的因式分解为 2³ × 3² × 5，可被 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 整除——简直是计算机的梦想！

• 公元前 2000 年：巴比伦天文学家以度为单位追踪天体位置
• 选择 360° 是因为其可除性和对年份的近似
• 60 进制给我们带来了小时（24 = 360/15）和分/秒
• 希腊天文学家从巴比伦的星表中采用了 360°

欧几里得的《几何原本》（公元前 300 年）正式化了角度几何学——直角 (90°)、余角（和为 90°）、补角（和为 180°）。像喜帕恰斯这样的希腊数学家使用以度为基础的表格创建了三角学，用于天文学和测量。

中世纪的航海家使用星盘和带有 32 个方位点（每个 11.25°）的罗盘。海员需要精确的方位；角分 (1/60°) 和角秒 (1/3600°) 应运而生，用于星表和航海图。

• 公元前 300 年：欧几里得的《几何原本》定义了几何角度
• 公元前 150 年：喜帕恰斯创建了第一批三角函数表（度）
• 1200 年代：星盘使用度数标记进行天体导航
• 1569 年：麦卡托地图投影需要保持角度不变的数学

当牛顿和莱布尼茨发展微积分时（1670 年代），度数变得麻烦：以度计算 d/dx(sin x) = (π/180)cos x——一个丑陋的常数！罗杰·科茨 (1682-1716) 和莱昂哈德·欧拉正式化了弧度：角度 = 弧长 / 半径。现在 d/dx(sin x) = cos x，非常优美。

詹姆斯·汤姆森在 1873 年创造了“弧度”(radian) 一词（源自拉丁语 'radius'）。弧度成为了数学分析、物理学和工程学的标准单位。然而，度数在日常生活中仍然存在，因为人们更喜欢整数而不是 π。

• 1670 年代：微积分揭示度数会产生混乱的公式
• 1714 年：罗杰·科茨发展了“圆测量”（弧度的前身）
• 1748 年：欧拉在分析中广泛使用弧度
• 1873 年：汤姆森将其命名为“弧度”；成为数学标准

第一次世界大战的炮兵需要实用的角度单位：密位诞生了——1 密位 ≈ 1 公里距离处 1 米的偏差。北约标准化为 6400 密位/圈（一个很好的 2 的幂），而苏联使用 6000（便于十进制计算）。真正的毫弧度 = 6283/圈。

太空时代的天文学达到了毫角秒的精度（依巴谷卫星，1989 年），然后是微角秒（盖亚卫星，2013 年）。盖亚卫星测量恒星视差的精度为 20 微角秒——相当于从 1000 公里外看到一根人类头发！现代物理学普遍使用弧度；只有导航和建筑仍然偏爱度数。

• 1916 年：军事炮兵采用密位进行距离计算
• 1960 年：国际单位制 (SI) 承认弧度为相干导出单位
• 1989 年：依巴谷卫星：约 1 毫角秒精度
• 2013 年：盖亚卫星：20 微角秒精度——绘制 10 亿颗恒星的地图

使用度：日常角度、导航、测量、建筑。使用弧度：微积分、物理方程、编程（三角函数）。弧度是“自然”的，因为弧长 = 半径 × 角度。像 d/dx(sin x) = cos x 这样的导数仅在弧度中成立！

圆周长 = 2πr。半圆（直线）= πr。弧度的定义是弧长/半径。对于半圆：弧长 = πr，半径 = r，所以角度 = πr/r = π 弧度。因此，根据定义，π rad = 180°。

使用反正切：角度 = arctan(坡度等级/100)。示例：10% 坡度 = arctan(0.1) ≈ 5.71°。不仅仅是相乘！10% ≠ 10°。反向：坡度等级 = tan(角度) × 100。45° = tan(45°) × 100 = 100% 坡度。

角分 (′) = 1/60 度（角度）。时间分钟 = 1/60 小时（时间）。完全不同！在天文学中，“时间分钟”可转换为角度：1 分钟 = 15 角分（因为 24h = 360°，所以 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′）。

密位的设计是为了让 1 密位 ≈ 1 公里处的 1 米（实用弹道学）。真正的数学毫弧度 = 1/1000 rad ≈ 每圈 6283。北约简化为 6400（2 的幂，便于划分）。苏联使用 6000（可被 10 整除）。瑞典使用 6300（折衷方案）。所有这些都接近 2π×1000。

是的！正数 = 逆时针（数学惯例）。负数 = 顺时针。-90° = 270°（相同位置，不同方向）。在导航中，使用 0-360° 范围。在数学/物理学中，负角度很常见。示例：-π/2 = -90° = 270°。